小升初数学衔接教材 第14讲直线射线线段 教师版.docx
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小升初数学衔接教材 第14讲直线射线线段 教师版.docx
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小升初数学衔接教材第14讲直线射线线段教师版
第14讲直线、射线、线段
【教材精讲】
学习目标:
1、能在现实情境中,经历画图的数学活动过程,理解并掌握直线的性质,能用几何语言描述直线性质;
2、会用字母表示直线、射线、线段,会根据语言描述画出图形;
3、会用尺规画一条线段等于已知线段;
4、会比较两条线段的长短;了解“两点之间,线段最短”的性质。
5、理解线段中点的概念,进行线段的有关计算.
教学重点:
理解并掌握直线性质,会用字母表示图形和根据语言描述画出图形;会用尺规画一条线段等于已知线段;理解线段中点的概念。
教学难点:
根据语言描述画出图形;画一条线段等于已知线段是难点;线段的有关计算.
教学过程
一、知识链接
1.在小学已经学过了直线、射线、线段.请你画出一条直线、一条射线、一条线段?
2.填写下列表格:
端点个数
延伸方向
能否度量
线段
2
不能向任何一方延伸
能
射线
1
向一个方向无限延伸
否
直线
0
向两个方向无限延伸
否
二、自主探究
1、直线的性质
(1)如果你想将一根细木条固定在墙上,至少需要几个钉子?
操作一下,试试看。
答:
___2个________________________________________________
(2)经过一个已知点的直线,可以画多少条直线?
答:
___无数条_______________________________________________
(3)经过两个已知点画直线,可以画多少条直线?
答:
___1条________________________________________________
猜想:
如果将细木条抽象成直线,将钉子抽象为点,你可以得到什么结论?
两点确定一条直线。
直线的基本性质:
经过两点有一条直线,并且一条直线;
简述为:
经过两点有且只有一条直线
举例说明直线的性质在日常生活中的应用:
(1)在挂窗帘时,只要在两边钉两颗钉子扯上线即可,这是因为两点确定一条直线。
(2)建筑工人在砌墙时拉参照线,木工师傅锯木板时,用墨盒弹墨线,都是根据直线的基本性质。
2、直线有两种表示方法:
①用一个小写字母表示,记作直线a;②用两个大写英文字母表示,读作直线AB或直线BA。
平面上一个点与一条直线的位置有什么关系?
①点在直线上;②点在直线外。
当两条直线有且只有一个公共点时,我们就称这两条直线相交,这个公共点叫做这两条直线的交点。
3、射线和线段的表示方法:
如图。
显然,射线和线段都是直线的一部分。
图①中的线段记作线段AB或线段a;
图②中的射线记作射线OA或射线m。
注意:
用两个大写字母表示射线时,表示端点的字母一定要写在前面。
思考:
直线、射线和线段有什么联系和区别?
4、已知线段a,画一条线段等于已知线段。
【1】作一条线段等于已知线段
现在我们来解决这个问题。
作法:
(1)作射线AM
(2)在AM上截取AB=a。
则线段AB为所求。
【2】应用:
已知线段a、b,求作线段AB=a+b。
【3】如图,已知四点A、B、C、D,根据下列语句,画出图形.
(1)连接AD;
(2)画直线AB、CD交于点E;
(3)连接BD,并将其反向延长.
5、比较两条线段的长短
两条线段可能相等,也可能不相等,那么怎样比较两条线段的长短呢?
我们先来回答下面的问题。
怎样比较两个同学的身高?
一是用尺子测量;二是站在一起比(脚在同一高度)。
如果把两个同学看成两条线段,那么比较两条线段就有两种方法。
(1)度量法:
用刻度尺分别量出两条线段的长度从而进行比较。
(2)把一条线段移到另一条线段上,使一端对齐,从而进行比较,我们称为叠合法。
(如图)
6、线段的中点及等分点
1.如图
(1),点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM,点M叫做线段AB的中点
记作AM=MB或AM=MB=1/2AB或2AM=2MB=AB。
如图
(2),点M、N把线段AB分成相等的三段AM、MN、NB,点M、N叫做线段AB的三等分点。
类似地,还有四等分点,等等。
例题:
如图,点C在线段AB上,AC=6cm,MB=10cm,点M、N分别为AC、BC的中点.
(1)求线段BC的长;
(2)求线段MN的长;
(3)若C在线段AB延长线上,且满足AC﹣BC=bcm,M,N分别是线段AC,BC的中点,你能猜想MN的长度吗?
请写出你的结论(不需要说明理由).
【答案】
(1)7cm
(2)6.5cm(3)
【解析】
(1)∵BC=MB–MC;MC=
AC
∴BC=10-
×6=7cm
(2)∵MN=MB–NB;NB=
BC
∴MN=10-
×7=6.5cm
(3)
∵MN=MC-CN;MC=
AB;CN=
BC
∴MN=
AB-
BC=
7、线段的性质
思考:
如图:
从A地到B地有三条路,走哪条路距离最近?
归纳结论:
两点所连的线中,直线的距离最短。
简单地说成:
两点之间线段最短。
你能举出这条性质在生活中的一些应用吗?
两点间的距离的定义:
连接两点之间的线段的长度。
注意:
距离是用“数”来度量的,它是线段的长度,而不是线段本身。
三、课堂小结
这节课你学习了哪些知识?
【达标训练】
一、选择题(每题3分)
1.下列结论:
①两点确定一条直线;
②直线AB与直线BA是同一条直线;
③线段AB与线段BA是同一条线段;
④射线OA与射线AO是同一条射线.
其中正确的结论共有()个.
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】
试题分析:
根据直线、射线和线段的定义和表示方式直接判断。
解:
由直线公理知,两点确定一条直线,①正确;由直线的表示方式知,②正确;由线段的表示方式知,③正确;由射线的表示方式知,射线OA的端点是O,射线AO的端点是A,说明不是同一条射线,④错误。
正确的结论有3个。
故选C。
考点:
直线、射线和线段的定义和表示方式。
2.下列生活、生产现象中,其中可用“两点之间,线段最短”来解释的现象有()
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上;
②植树时,只要栽下两棵树,就可以把同一行树栽在同一直线上;
③从A到B架设电线,总是尽可能沿线段AB架设;
④把弯曲的公路改直,就能缩短路程.
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】
试题分析:
根据直线、线段的定义和性质直接判断。
解:
①②体现的是两点确定一条直线;③④运用的是两点之间线段最短的原理。
故选B。
考点:
直线、线段的定义和性质。
3.下列说法错误的是()
A.两点之间线段最短
B.两点确定一条直线
C.作射线OB=3厘米
D.延长线段AB到点C,使得BC=AB.
【答案】C
【解析】
试题分析:
根据直线、射线、线段的性质逐一判断即可。
解:
A选项和B选项为直线的基本性质,正确;射线不可衡量,C选项错误;线段可以衡量,D正确。
故选C。
考点:
直线、射线、线段的性质。
4.如图,已知C点为AB的中点,D点为BC的中点,AB=10cm,则AD等于()
A.6cmB.6.5cmC.7cmD.7.5cm
【答案】D
【解析】
试题分析:
计算指定线段长度,需要确定相关线段之间的数量关系。
解:
∵AD=AB–DB
又DB=
·CB=
·
·AB=
·
·10cm=2.5cm
∴AD=10cm–2.5cm=7.5cm
故选D。
考点:
线段的中点。
5.已知线段AB=10cm,点C是直线AB上一点,BC=4cm,若M是AC的中点,N是BC的中点,则线段MN的长度是:
A、7cmB、5cm或3cmC、7cm或3cmD、5cm
【答案】
【解析】
试题分析:
计算指定线段长度,需要确定相关线段之间的数量关系。
画出线段并标出各个点,会更直观的找到相关线段之间的数量关系。
本题需要注意的是,点C是直线AB上一点,有两种情况,一种是在线段AB上,一种是在线段AB的延长线上。
解:
第一种情况:
点C在线段AB上。
∵MN=MC+CN
又MC=
·AC=
·(AB–CB)=
·(10cm–4cm)=3cm
CN=
·CB=
·4cm=2cm
∴MN=3cm+2cm=5cm
第二种情况:
点C在线段AB的延长线上。
MN=MB+BN
又MB=AB-AM=AB-
·AC
=AB-
·(AB+BC)=10cm-
·(10cm+4cm)=3cm
BN=
·BC=
·4cm=2cm
∴MN=3cm+2cm=5cm
因此,线段MN的长度在两种情况下均为5cm。
故选D。
考点:
直线的性质、线段的中点。
6.如图,从A到B有①,②,③三条路线,最短的路线是①,其理由是()
A.因为它最直
B.两点确定一条直线
C.两点间的距离的概念
D.两点之间,线段最短
【答案】D
【解析】
试题分析:
根据线段的公理,两点之间线段最短,直接判断即可。
考点:
线段的公理。
7.如图,点A、B、C同一直线上,H为AC的中点,M为AB的中点,N为BC的中点,则下列说法:
①MN=HC;②MH=(AH﹣HB);③MN=(AC+HB);④HN=(HC+HB),其中正确的是()
A.①②B.①②④C.②③④D.①②③④
【答案】
【解析】
试题分析:
根据线段上各个点的位置,确定相关线段之间的数量关系。
解:
由MN=MH+HN=(AH–AM)+(HC-NC),又AM=
AB,NC=
BC,可知MN=AH+HC-
(AB+BC)=HC,知①正确;
由MH=AH–AM=AH–MB=AH-(MH+HB),知MH=
(AH-HB),②正确;
由MN=AC–AM–NC=AC-
AB-
BC=
AC,③错误;
由HN=HB+BN=HB+
BC=
HB+(
HB+
BC)=
(HC+HB),④正确。
综上,正确的说法有①②④。
故选B。
考点:
线段的中点。
8.如图,点M、N是线段AB的三等分点,则下列说法错误的是()
A.AM=MN=NB=
AB
B.点M是线段AN的中点
C.点N是线段AB的中点
D.AN=BM
【答案】C
【解析】
试题分析:
根据三等分点的定义,直接判断得出答案。
解:
由点M、N是线段AB的三等分点,知AM=MN=NB=
AB,A选项正确;由AM=MN,知点M是线段AN的中点,B选项正确;由AN=
AB,BM=
AB,知AN=BM,D选项正确;N是线段AB的三等分点,不是中点,C选项错误。
故选C。
考点:
三等分点的定义。
9.点到直线的距离是指()
A.从直线外一点到这条直线的垂线
B.从直线外一点到这条直线的垂线段
C.从直线外一点到这条直线的垂线的长
D.从直线外一点到这条直线的垂线段的长
【答案】D
【解析】
试题分析:
根据点到直线的距离的定义,可直接选出正确选项。
距离一定是用长度来衡量,排除A和B选项;只有线段才有长度,直线是不可衡量的,排除C选项。
故选D。
考点:
点到直线的距离的定义。
10.如果A、B、C三点在同一直线上,线段AB=3cm,BC=2cm,那么A、C两点之间的距离为()
A.1cmB.5cmC.1cm或5cmD.无法确定
【答案】C
【解析】
试题分析:
根据题中给出的数量关系和位置关系,画出示意图,直观的计算出A、C两点之间的距离。
解:
C点落在A、B两点之间时,AC=AB–BC=3cm-2cm=1cm;C点落在A、B两点之外时,AC=AB+BC=3cm+2cm=5cm。
故选C。
考点:
线段长度的计算。
二、填空题(每题3分)
11.如图,C、D为线段AB上的任意两点,那么图中共有___________条线段.
【答案】6
【解析】
试题分析:
根据线段的定义,列举出图形中各条线段。
从左往右数,AC、AD、AB;CD、CB;DB。
共6条。
故答案为6.
考点:
线段的定义。
12.如图,该图中不同的线段数共有___________条.
【答案】6
【解析】
试题分析:
根据线段的定义,列举出图形中各条线段,注意线段是具有两个端点的,只有一个端点的是射线。
从左往右数,BC、BD、BA;DC、DA;AC;以C点为起点的线段,已包括在上述线段中。
因此,共6条。
故答案为6.
考点:
线段的定义。
13.要把一根木条在墙上钉牢,至少需要_____枚钉子.其中的道理是_____.
【答案】2两点确定一条直线
【解析】
试题解析:
根据直线的公理,两点确定一条直线,即可得出本道题目的答案。
故答案为2、两点确定一条直线。
考点:
两点确定一条直线。
14.已知A、B、C三点在一条直线上,且线段AB=15cm,BC=5cm,则线段AC=______.
【答案】10cm或20cm
【解析】
试题分析:
根据题中的数量关系和位置关系,画出A、B、C三点及线段的示意图,计算线段AC的长度。
解:
有题可知,C点可能在线段AB上,也可能在线段AB的延长线上,有两种情况就需要分情况计算。
C点在线段AB上:
AC=AB–BC=15cm-5cm=10cm;C点在线段AB外:
AC=AB+BC=15cm+5cm=20cm。
故答案为10cm或20cm。
考点:
线段长度的计算。
15.对于线段的中点,有以下几种说法:
①若AM=MB,则M是AB的中点;②若AM=MB=
AB,则M是AB的中点;③若AM=
AB,则M是AB的中点;④若A,M,B在一条直线上,且AM=MB,则M是AB的中点.其中正确的是______.
【答案】②④
【解析】
试题分析:
根据线段中点的定义,逐一判断题干中每条说法是否正确。
回顾下线段中点的定义,点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM,点M叫做线段AB的中点。
解:
说法①中A、B、M三点不一定在一条直线上,错误;说法②满足线段中点的定义,正确;说法①中A、B、M三点不一定在一条直线上,错误;说法④满足线段中点的定义,正确。
正确的说法有②④。
故答案为②④。
考点:
线段中点的定义。
16.已知线段AB=20cm,直线AB上有一点C,且BC=6cm,点M是线段AB的中点,点N是线段BC的中点,则MN=_______________cm.
【答案】7cm或13cm
【解析】
试题分析:
根据题中的数量关系和位置关系,画出A、B、C、M、N五个点及线段的示意图,计算线段MN的长度。
解:
C点的位置有两种情况。
当C点在线段AB之外时,MN=MB+BN=
AB+
BC
=
·20cm+
·6cm=13cm;
当C点在线段AB之间时,MN=MB–NB=
AB-
BC
=
·20cm-
·6cm=7cm。
故答案为7cm或13cm。
考点:
线段长度的计算。
17.如图,想在河堤两岸搭建一座桥,图中搭建方式中,最短的是PB,理由__________.
【答案】垂线段最短。
【解析】
试题分析:
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。
【考点】垂线段最短。
18.如图所示,共有直线_______条,射线_______条,线段_______条.
【答案】226
【解析】
试题分析:
根据直线、射线和线段的定义,逐一列举,注意避免重复。
解:
直线有直线BC、直线AC,共2条;射线有射线AB、射线DC,共2条;线段有线段AD、线段AB、线段AC,线段DB、线段DC,线段BC,共6条。
故答案2、2、6。
考点:
直线、射线和线段的定义。
三、解答题。
19.如图B、C两点把线段AD分成2:
3:
4三部分,M是AD的中点,CD=8,求MC的长.
【答案】1
【解析】
试题分析:
根据题中各点的位置关系和数量关系,计算MC的长度。
由题知,MC=MD–CD
∵MD=
AD
又
CD=8
得AD=18
∴MD=9
∴MC=9–8=1
考点:
线段长度的计算。
【闯关测验】
一、选择题(每题3分)
1.下列图形中的线段和射线,能够相交的是()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
试题分析:
根据直线、射线和线段的基本性质中的延伸方向来判断。
直线可以沿两端无限延伸、射线可以沿一段无限延伸,线段不可以延伸。
A、B、C选项中的射线或直线均不会相交,D选项可以。
故选D。
考点:
直线、射线和线段的延伸方向。
2.在墙壁上固定一根横放的木条,则至少需要钉子的枚数是()
A.1枚B.2枚C.3枚D.任意枚
【答案】B
【解析】
试题分析:
两点确定一条直线,固定一根木条需要2枚钉子即可。
故选B。
考点:
直线的性质。
3.如图AB=CD,则AC与BD的大小关系是()
A.AC>BDB.AC<BDC.AC=BDD.无法确定
【答案】C
【解析】
试题分析:
比较线段的长度,需要找到线段之间的数量关系。
∵AC=AB+BC;BD=BC+CD
又AB=CD
∴AC=BD
故选C。
考点:
比较线段的长度。
4.下列说法中,错误的是()
A.经过一点的直线可以有无数条
B.经过两点的直线只有一条
C.一条直线只能用一个字母表示
D.线段CD和线段DC是同一条线段
【答案】C
【解析】
试题分析:
根据直线的性质,以及直线和线段的表示方式可作答本道题目。
由直线的性质知,A、B选项正确;由线段的表示方式知,D选项正确;直线的表示方式,可以用一个小写字母表示,也可以用两个大写字母表示,C选项错误。
故选C。
考点:
直线和线段的表示方式。
5.下列说法中正确的个数为()
(1)过两点有且只有一条直线;
(2)连接两点的线段叫两点间的距离;
(3)两点之间所有连线中,线段最短;
(4)射线比直线小一半.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】B
【解析】
试题分析:
根据直线、射线和线段的定义,验证每条说法。
由直线的性质知,
(1)说法正确;两点间的距离应该是连接两点的线段的长度,
(2)说法错误;两点之间,线段最短,(3)说法正确;直线和射线均不可衡量,无法比较,(4)说法错误。
故选B。
考点:
直线、射线和线段的定义。
6.点C在线段AB上,下列条件中不能确定点C是线段AB中点的是()
A.AC=BCB.AC+BC=ABC.AB=2ACD.BC=AB
【答案】B
【解析】
试题分析:
根据线段中点的定义,来判断每个选项。
首先回顾下线段中点的定义,点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM,点M叫做线段AB的中点。
A、C、D选项都可以说明点B把AC分成相等的两条线段,B选项不能确定点C是线段AB中点的是。
故选C。
考点:
线段中点的定义。
7.已知:
如图线段AB=6cm,点C是AB的中点,则AC的长是()
A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm
【答案】D
【解析】
试题分析:
根据线段中点的定义,知线段间的数量关系,直接得出AC的长度。
解:
由题AC=
AB=
·6cm=3cm
故选D。
考点:
线段中点,线段长度计算。
8.平面内不同的两点确定一条直线,不同的三点最多确定三条直线,若在平面内的不同的n个点最多可确定36条直线,则n的值为()
A.6B.7C.8D.9
【答案】D
【解析】
试题分析:
根据两点有且仅能确定一条直线。
∵平面内不同的两点确定1条直线,
;
平面内不同的三点最多确定3条直线,即
;
平面内不同的四点确定6条直线,即
;
∴平面内不同的n点确定
(n≥2)条直线,
∴平面内的不同n个点最多可确定36条直线时,
,对比选项,可知n=9。
故选D。
考点:
有关直线条数的计算。
9.如图,M是线段AB的中点,点N在AB上,若AB=10,NB=2,那么线段MN的长为()
A.5B.4C.3D.2
【答案】C
【解析】
试题分析:
找到相关线段间的数量关系,计算MN的长度。
MN=MB–NB=
AB–NB=
·10–2=3
故选C。
考点:
线段长度的计算。
10.下列四个生活、生产现象:
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上;
②植树时,只要定出两棵树的位置,就能确定同一行树所在的直线;
③从A地到B地架设电线,总是尽可能沿着线段AB架设;
④把弯曲的公路改直,就能缩短路程,
其中可用公理“两点之间,线段最短”来解释的现象有().
A.①②B.①③C.②④D.③④
【答案】D
【解析】
试题分析:
根据直线和线段的公理,逐一分析每条说法。
说法①和②体现的是两点确定一条直线,不选;说法③和④体现的是两点之间线段最短。
故选D。
考点:
直线和线段的公理。
二、填空题(每题3分)
11.在看中央电视台“动物世界”节目时,我们可以看到这样的画面:
非洲雄狮在广阔的草原上捕食鹿时,总是沿直线狂奔,其中蕴含的数学知识是______________.
【答案】两点之间,线段最短。
【解析】
试题分析:
抓住关键词,“总是沿直线狂奔”。
不难发现线段公理:
两点之间,线段最短。
考点:
线段公理。
12.下列说法中,①两点确定一条直线;②两点之间线段最短;③连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离;正确的有______________(只填序号).
【答案】①②③
【解析】
试题分析:
根据直线的公理、线段的公理、两点间距离的定义,直接判断各条说法。
说法①、②、③均为正确说法。
考点:
直线和线段的公理,两点间距离的定义。
13.如图,点C是线段AB上的点,点D是线段BC的中点,若AB=12,AC=8,则CD=______________。
【答案】2
【解析】
试题分析:
找到相关线段间的数量关系,计算CD的长度。
CD=
CB
又CB=AB–AC=12–8=4
∴CD=
·4=2
考点;线段长度的计算。
14.如图,AC⊥BC,垂足为点C,CD⊥AB,垂足为点D,则点A到BC的距离是线段______________的长度.
【答案】AC
【解析】
试题分析:
根据点到直线距离的定义,即点到直线的垂线段的长度,可知点A到BC的距离是线段AC的长度。
考点:
点到直线距离的定义。
15.往返甲乙两地的火车,中途还需停靠2个站,则铁路部门对此运行区间应准备
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