中考数学专题复习第八讲:一元二次方程及应用(学生版).doc
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中考数学专题复习第八讲:一元二次方程及应用(学生版).doc
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2013年中考数学专题复习第八讲:
一元二次方程及应用
【基础知识回顾】
一、一元二次方程的定义:
1、一元二次方程:
含有个未知数,并且未知数最方程
2、一元二次方程的一般形式:
其中二次项是一次项是,是常数项
【名师提醒:
1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠o这一条件
2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列,并一般首项为正】
二、一元二次方程的常用解法:
1、直接开平方法:
如果aX2=b则X2=X1=X2=
2、配方法:
解法步骤:
1、化二次项系数为即方程两边都二次项系数
2、移项:
把项移到方程的边
3、配方:
方程两边都加上把左边配成完全平方的形式
4、解方程:
若方程右边是非负数,则可用直接开平方法解方程
3、公式法:
如果方程aX2+bx+c=0(a±0)满足b2-4ac≥0,则方程的求根公式为
4、因式分解法:
一元二次方程化为一般形式式,如果左边分解因式,即产生A.B=0的形式,则可将原方程化为两个方程,即从而方程的两根
【名师提醒:
一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用,较常用到的是法和法】
三、一元二次方程根的判别式
关于X的一元二次方程aX2+bx+c=0(a±0)根的情况由决定,我们把它叫做一元二次方程根的判别式,一般用符号表示
方程有两个实数跟,则
①当时,方程有两个不等的实数根
②当时,方程看两个相等的实数根
③当时,方程没有实数根
【名师提醒:
在使用根的判别式解决问题时,如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数】
一、一元二次方程根与系数的关系:
关于X的一元二次方程aX2+bx+c=0(a±0)有两个根分别为X1X2则X1+X2=
X2=
二、一元二次方程的应用:
解法步骤同一元一次方程一样,仍按照审、设、列、解、验、答六步进行
常见题型
1、增长率问题:
连续两率增长或降低的百分数Xa(1+X)2=b
2、利润问题:
总利润=X或利润—
3、几个图形的面积、体积问题:
按面积的计算公式列方程
【名师提醒:
因为通常情况下一元二次方程有两个根,所以解一元二次方程的应用题一定要验根,检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】
【重点考点例析】
考点一:
一元二次方程的有关概念(意义、一般形式、根的概念等)
例1(2012•兰州)下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A.x2+=0 B.ax2+bx+c=0
C.(x-1)(x+2)=1 D.3x2-2xy-5y2=0
对应训练
1.(2012•惠山区)一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0,则a=.
考点二:
一元二次方程的解法
例2(2012•安徽)解方程:
x2-2x=2x+1.
例3(2012•黔西南州)三角形的两边长分别为2和6,第三边是方程x2-10x+21=0的解,则第三边的长为( )
A.7B.3C.7或3D.无法确定
对应训练
2.(2012•台湾)若一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b,且a>b,则2a-b之值为何?
( )
A.-57B.63C.179D.181
3.(2012•南充)方程x(x-2)+x-2=0的解是( )
A.2B.-2,1C.-1D.2,-1
考点三:
根的判别式的运用
例3(2012•襄阳)如果关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是( )
A.k< B.k<且k≠0C.-≤k< D.-≤k<且k≠0
例4(2012•绵阳)已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0.
(1)求证:
方程恒有两个不相等的实数根;
(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求以此两根为边长的直角三角形的周长.
对应训练
3.(2012•桂林)关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.k<1B.k>1C.k<-1D.k>-1
4.(2012•珠海)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.
(1)当m=3时,判断方程的根的情况;
(2)当m=-3时,求方程的根.
考点四:
一元二次方程的应用
例5(2012•南京)某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车,在一定范围内,每部汽车的进价与销售量有如下关系:
若当月仅售出1部汽车,则该部汽车的进价为27万元,每多售出1部,所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部,月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售量在10部以内(含10部),每部返利0.5万元;销售量在10部以上,每部返利1万元.
(1)若该公司当月售出3部汽车,则每部汽车的进价为万元;
(2)如果汽车的售价为28万元/部,该公司计划当月返利12万元,那么需要售出多少部汽车?
(盈利=销售利润+返利)
对应训练
5.(2012•乐山)菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售,由于部分菜农盲目扩大种植,造成该蔬菜滞销.李伟为了加快销售,减少损失,对价格经过两次下调后,以每千克3.2元的单价对外批发销售.
(1)求平均每次下调的百分率;
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜,因数量多,李伟决定再给予两种优惠方案以供选择:
方案一:
打九折销售;
方案二:
不打折,每吨优惠现金200元.
试问小华选择哪种方案更优惠,请说明理由.
【备考真题过关】
一、选择题
1.(2012•乌鲁木齐)关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+|a|-1=0的一个根是0,则实数a的值为( )
A.-1B.0C.1D.-1或1
2.(2012•荆门)用配方法解关于x的一元二次方程x2-2x-3=0,配方后的方程可以是( )
A.(x-1)2=4B.(x+1)2=4C.(x-1)2=16D.(x+1)2=16
3.(2012•宜宾)将代数式x2+6x+2化成(x+p)2+q的形式为( )
A.(x-3)2+11B.(x+3)2-7C.(x+3)2-11D.(x+2)2+4
4.(2012•莆田)方程(x-1)(x+2)=0的两根分别为( )
A.x1=-1,x2=2B.x1=1,x2=2
C.x1=-1,x2=-2D.x1=1,x2=-2
5.(2012•淮安)方程x2-3x=0的解为( )
A.x=0B.x=3C.x1=0,x2=-3D.x1=0,x2=3
6.(2012•南昌)已知关于x的一元二次方程x2+2x-a=0有两个相等的实数根,则a的值是( )
A.1 B.-1 C. D.-
7.(2012•常德)若一元二次方程x2+2x+m=0有实数解,则m的取值范围是( )
A.m≤-1 B.m≤1 C.m≤4 D.m≤
8.(2012•泰州)某种药品原价为36元/盒,经过连续两次降价后售价为25元/盒.设平均每次降价的百分率为x,根据题意所列方程正确的是( )
A.36(1-x)2=36-25B.36(1-2x)=25
C.36(1-x)2=25D.36(1-x2)=25
9.(2012•河池)一元二次方程x2+2x+2=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根 D. 无实数根
11.(2012•泸州)若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k=0有两个实数根,则k的取值范围是( )
A.k≥2 B. k≤2 C. k>﹣2 D. k<﹣2
12.(2012•娄底)为解决群众看病贵的问题,有关部门决定降低药价,对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程正确的是( )
A.289(1﹣x)2=256 B.256(1﹣x)2=289
C.289(1﹣2x)=256 D.256(1﹣2x)=289
二、填空题
13.(2012•吉林)若方程x2-x=0的两根为x1,x2(x1<x2),则x2-x1=.
14.(2012•上海)如果关于x的一元二次方程x2-6x+c=0(c是常数)没有实根,那么c的取值范围是.
15.(2012•广州)已知关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个相等的实数根,则k值为.
17.(2012•鄂州)设x1、x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两个实根,且,则a= .
18.(2012•丹东)美丽的丹东吸引了许多外商投资,某外商向丹东连续投资3年,2010年初投资2亿元,2012年初投资3亿元.设每年投资的平
均增长率为x,则列出关于x的方程为 .
三、解答题
19.(2012•温州)解方程:
x2-2x=5.
20.(2012•无锡)解方程:
x2-4x+2=0
21.(2012•巴中)解方程:
2(x-3)=3x(x-3).
22.(2012•孝感)已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.
(1)求证:
无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根:
(2)若x1,x2是原方程的两根,且|x1-x2|=2,求m的值,并求出此时方程的两根.
24.(2012•徐州)为了倡导节能低碳的生活,某公司对集体宿舍用电收费作如下规定:
一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时,则一个月的电费为20元;若超过a千瓦时,则除了交20元外,超过部分每千瓦时要交元.某宿舍3月份用电80千瓦时,交电费35元;4月份用电45千瓦时,交电费20元.
(1)求a的值;
(2)若该宿舍5月份交电费45元,那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时?
25.(2012•襄阳)为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召,我市某单位准备将院内一块长30m,宽20m的长方形空地,建成一个矩形花园,要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为532m2,那么小道进出口的宽度应为多少米?
(注:
所有小道进出口的宽度相等,且每段小道均为平行四边形)
26.(2012•湘潭)如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m),现在已备足可以砌50m长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为300m2.
27.(2012•厦门)工厂加工某种零件,经测试,单独加工完成这种零件,甲车床需要x小时,乙车床需用(x2﹣1)小时,丙车床需用(2x﹣2)小时.
(1)单独加工完成这种零件,甲车床所用的时间是丙车床的,求乙车床单独加工完成这种零件所需的时间;
(2)加工这种零件,乙车床的工作效率与丙车床的工作效率能否相同?
请说明理由.
28.(2012•遵义)根据遵义市统计局发布的2011年遵义市国民经济和社会发展统计公报相关数据,我市2011年社会消费品总额按城乡划分绘制统计图①,2010年与2011年社会消费品销售额按行业划分绘制条形统计图②,根据图中信息回答下列问题:
(1)图①中“乡村消费品销售额”的圆心角是度,乡村消费品销售额为亿元;
(2)2010年到2011年间,批发业、零售业、餐饮住宿业中销售额增长的百分数最大的行业是;
(3)预计2013年我市的社会消品总销售额到达504亿元,求我市2011-2013年社会消费品销售总额的年平均增长率.
30.(2012•山西)山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:
(1)每千克核桃应降价多少元?
(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?
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- 中考 数学 专题 复习 第八 一元 二次方程 应用 学生