河南省专升本高等数学真题(带答案详解).doc
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2009年河南省普通高等学校
选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试
高等数学
题号
一
二
三
四
五
总分
分值
60
30
40
14
6
150
注意事项:
答题前,考生务必将自己的姓名、座位号、考生号涂写在答题卡上。
本试卷的试题答案在答题卡上,答试卷上无效。
一、选择题(每小题2分,共计60分)
在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案,有铅笔把答题卡上对应的题目的标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再涂其他答案标号.
1.下列函数相等的是()
A.,B.,
C.,D.,
【答案】D.
解:
注意函数的定义范围、解析式,应选D.
2.下列函数中为奇函数的是()
A.B.
C.D.
【答案】C.
解:
,
,选C.
3.极限的值是()
A.B.C.0D.不存在
【答案】D.
解:
,,应选D.
4.当时,下列无穷小量中与等价是()
A.B.C.D.
【答案】C.
解:
由等价无穷小量公式,应选C.
5.设,则是的()
A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点
【答案】B.
解:
是的可去间断点,应选B.
6.已知函数可导,且,则()
A.2B.-1C.1D.-2
【答案】D.
解:
,应选D.
7.设具有四阶导数且,则()
A.B.C.1D.
【答案】D.
解:
,,应选D.
8.曲线在对应点处的法线方程()
A.B.C.D.
【答案】A.
解:
,应选A.
9.已知,且,则()
A.B.C.D.
【答案】B.
解:
由得
,
把代入得,所以,应选B.
10.函数在某点处连续是其在该点处可导的()
A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件
【答案】A.
解:
根据可导与连续的关系知,应选A.
11.曲线的凸区间为()
A.B.C.D.
【答案】A.
解:
,,应选A.
12.设()
A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线
C.仅有垂直渐近线D.既无水平又无垂直渐近线
【答案】B.
解:
,,应选B.
13.下列说法正确的是()
A.函数的极值点一定是函数的驻点
B.函数的驻点一定是函数的极值点
C.二阶导数非零的驻点一定是极值点
D.以上说法都不对
【答案】D.
解:
根据极值点与驻点的关系和第二充分条件,应选D.
14.设函数在连续,且不是常数函数,若,则在
内()
A.必有最大值或最小值B.既有最大值又有最小值
C.既有极大值又有极小值D.至少存在一点,使
【答案】A.
解:
根据连续函数在闭区间上的性质及的条件,在对应的开区间内至少有一个最值,应选A.
15.若的一个原函数为,则()
A.B.C.D.
【答案】B.
解:
应选B.
16.若,则()
A.B.
C.D.
【答案】C.
解:
=,应选C.
17.下列不等式不成立的是()
A.B.
C.D.
【答案】D.
解:
根据定积分的保序性定理,应有,应选D.
18.=()
A.B.
C.D.
【答案】C.
解:
因,考察积分的可加性有
,应选C.
19.下列广义积分收敛的是()
A.B.C.D.
【答案】C.
解:
由广义积分性质和结论可知:
是的积分,收敛的,应选C.
20.方程在空间直角坐标系中表示的曲面是()
A.球面B.圆锥面C.旋转抛物面D.圆柱面
【答案】C.
解:
根据方程的特点是抛物面,又因两个平方项的系数相等,从而方程在空间直角坐标系中表示的曲面是旋转抛物面,应选C.
21.设,,则与的夹角为()
A.B.C.D.
【答案】D.
解:
应选D.
22.直线与平面的位置关系是()
A.平行但直线不在平面内B.直线在平面内
C.垂直D.相交但不垂直
【答案】A.
解:
因,直线在平面内或平行但直线不在平面内.又直线上点不在平面内.故直线与平面的位置关系是平行但直线不在平面内,应选A.
23.设在点处有偏导数,则()
A.B.C.D.
【答案】B.
解:
原式
应选B.
24.函数的全微()
A.B.
C.D.
【答案】D
解:
,应选D
25.化为极坐标形式为()
A.B.
C.D.
【答案】D.
解:
积分区域有,应选D.
26.设L是以A(-1,0),B(-3,2),C(3,0)为顶点的三角形区域的边界,方向为ABCA,则
A.-8B.0C8D.20
【答案】A.
解:
由格林公式知,,
应选A.
27.下列微分方程中,可分离变量的是()
A.B.
C.D.
【答案】C.
解:
根据可分离变量微分的特点,可化为
知,应选C.
28.若级数收敛,则下列级数收敛的是()
A.B.
C.D.
【答案】A.
解:
由级数收敛的性质知,收敛,其他三个一定发散,应选A.
29.函数的幂级数展开为()
A.B.
C.D.
【答案】C.
解:
根据可知,
应选C.
30.级数在处收敛,则此级数在处()
A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.无法确定
【答案】B.
解:
令,级数化为,问题转化为:
处收敛,确定处是否收敛.由阿贝尔定理知是绝对收敛的,故应选B.
二、填空题(每小题2分,共30分)
31.已知,则.
解:
.
32.当时,与等价,则.
解:
.
33.若,则.
解:
因,
所以有.
34.设函数在内处处连续,则.
解:
函数在内处处连续,当然在处一定连续,又因为
,所以.
35.曲线在(2,2)点处的切线方程为___________.
解:
因.
36.函数在区间[0,2]上使用拉格朗日中值定理结论中.
解:
.
37.函数的单调减少区间是_________.
解:
应填或或或.
38.已知则.
解:
.
39.设向量与共线,且,则_________.
解:
因向量与共线,可设为,
所以.
40.设,则_______.
解:
.
41.函数的驻点为________.
解:
.
42.区域为,则.
解:
利用对称性知其值为0或.
43.交换积分次序后,.
解:
积分区域,
则有.
44.是的特解,则该方程的通解为_________.
解:
的通解为,根据方程解的结构,原方程的通解为.
45.已知级数的部分和,则当时,.
解:
当时,.
三、计算题(每小题5分,共40分)
46.求.
解:
.
47.设是由方程确定的隐函数,求.
解:
方程两边对求导得
即
所以.
48.已知,求.
解:
方程两边对求导得
,即,
所以.
故
.
49.求定积分.
解:
.
50.已知求全微分.
解:
因,
且它们在定义域都连续,从而函数可微,并有
.
2
51.求,其中区域由直线围成.
解:
积分区域如图所示:
把看作Y型区域,且有
故有
.
52.求微分方程的通解.
解:
这是一阶线性非齐次微分方程,
它对应的齐次微分方程的通解为,
设原方程的解为代入方程得,
即有,
所以,
故原方程的通解为.
53.求幂级数的收敛区间(考虑区间端点).
解:
这是标准缺项的幂级数,考察正项级数,
因,
当,即时,级数是绝对收敛的;
当,即时,级数是发散的;
当,即时,级数化为,显然是发散的。
故原级数的收敛区间为.
四、应用题(每小题7分,共14分)
54.靠一楮充分长的墙边,增加三面墙围成一个矩形场地,在限定场地面积为64的条件下.问增加的三面墙的各为多少时,其总长最小.
解:
场地如图所示:
设增加的三面墙的长度分别为;
总长为,则有,,
从而,问题就转化为求函数最小值问题.
令得唯一驻点,且有,
所以是极小值点,即为最小值点,此时.
故,另增的三面墙的长度分别为,,时,增加三面围墙的总长最小.
55.设由曲线与直线围成的,其中
3
,
求绕轴旋转形成的旋转体的体积.
解:
平面图形如图所示:
把看作Y区域,且,
代入Y型区域绕所成旋转一
周所得体积公式有
.
五、证明题(6分)
56.设,其中函数在闭区间上连续且,证明在开区间内,方程有唯一实根.
证明:
因为在上有意义,所以在上连续,且有,
,
由连续函数在闭区间上的零点定理知,在内至少有一个实根;
又因为,知在内是增函数.从而知在内至多有一个实根;
故在内有唯一实根.
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