河南省专升本真题高数(及答案).docx
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2007年河南省普通高等学校
选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试
《高等数学》试卷
题号
一
二
三
四
五
六
总分
核分人
分数
一.单项选择题(每题2分,共计50分)
在每小题的备选答案中选出一个正确答案,并将其代码写在题干后
面的括号内.不选、错选或多选者,该题无分.
1.集合的所有子集共有()
A.5B.6C.7D.8
2.函数的定义域为()
A.B.C.D.
3.当时,与不等价的无穷小量是()
A.B.C.D.
4.当是函数的()
A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点
5.设在处可导,且,则的值为()
A.-1B.-2C.-3D.-4
6.若函数在区间内有,则在区间内,图形()
A.单调递减且为凸的B.单调递增且为凸的
C.单调递减且为凹的D.单调递增且为凹的
7.曲线的拐点是()
A.B.C.D.
8.曲线的水平渐近线是()
A.B.C.D.
9.()
A.0B.C.2D.1
10.若函数是的原函数,则下列等式正确的是()
A.B.
C.D.
11.()
A.B.
C.D.
12.设,则()
A.-3B.-1C.1D.3
13.下列广义积分收敛的是()
A.B.
C.D.
14.对不定积分,下列计算结果错误是()
A.B.
C.D.
15.函数在区间的平均值为()
A.B.C.8D.4
16.过轴及点的平面方程为()
A.B.
C.D.
17.双曲线绕轴旋转所成的曲面方程为()
A.B.
C.D.
18.()
A.B.C.0D.极限不存在
19.若,则()
A.B.1C.D.0
20.方程所确定的隐函数为,则()
A.B.C.D.
21.设为抛物线上从到的一段弧,则
()
A.-1B.0C.1D.2
22.下列正项级数收敛的是()
A.B.
C.D.
23.幂级数的收敛区间为()
A.B.C.D.
24.微分特解形式应设为()
A.B.
C.D.
25.设函数是微分方程的解,且,则在处()
A.取极小值B.取极大值C.不取极值D.取最大值
得分
评卷人
二、填空题(每题2分,共30分)
26.设,则_________.
27.____________.
28.若函数在处连续,则____________.
29.已知曲线上点处的切线平行于直线,则点的坐标为________
30.设,则_________
31.设,则__________
32.若函数在处取得极值2,则______,_____
33._________
34._________
35.向量的模________
36.已知平面:
与平面:
垂直,则______
37.设,则________
38.已知,交换积分次序后,则_______
39.若级数收敛,则级数的和为_______
40.微分方程的通解为________
得分
评卷人
三、判断题(每小题2分,共10分)
你认为正确的在题后括号内划“√”,反之划“×”.
41.若数列单调,则必收敛.()
42.若函数在区间上连续,在内可导,且,则一定不存在,使.()
43..()
44..()
45.函数在点处可微是在处连续的充分条件.()
得分
评卷人
四、计算题(每小题5分,共40分)
46.求.
47.求函数的导数.
48.求不定积分.
49.计算定积分.
50.设,且为可微函数,求.
51.计算,其中为圆环区域:
.
52.将展开为的幂级数,并写出收敛区间.
53.求微分方程的通解.
得分
评卷人
五、应用题(每题7分,共计14分)
54.某工厂欲建造一个无盖的长方题污水处理池,设计该池容积为V立方米,底面造价每平方米元,侧面造价每平方米元,问长、宽、高各为多少米时,才能使污水处理池的造价最低?
55.设平面图形D由曲线,直线及y轴所围成.求:
(1)平面图形D的面积;
(2)平面图形D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积.
得分
评卷人
六、证明题(6分)
56.若在上连续,则存在两个常数与,对于满足的任意两点,证明恒有
.
2007年河南省普通高等学校
选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试
(答案)
一
1解:
子集个数。
2解:
。
3解:
根据常用等价关系知,只有与比较不是等价的。
应选A。
4解:
;。
5解:
。
6解:
单调增加;凸的。
应选B。
7解:
,应选A。
8解:
。
9解:
。
10解:
根据不定积分与原函数的关系知,。
应选B。
11解:
。
12解:
。
13解:
由积分和积分的收敛性知,收敛,应选C。
14解:
分析结果,就能知道选择C。
15解:
。
16解:
经过轴的平面可设为,把点代入得应选C。
也可以把点代入所给的方程验证,且不含。
17解:
把中换成得,应选A。
18解:
。
19解:
。
20解:
令,应选A。
21解:
:
从0变到1,。
22解:
对级数、需要利用积分判别法,超出大纲范围。
级数有结论:
当时收敛,当时发散。
级数、与级数利用比较判别法的极限形式来确定---发散的,应选C。
23解:
令,级数化为收敛区间为,即
。
24解:
不是特征方程的特征根,特解应设为。
应选B。
25解:
有。
二
26解:
。
27解:
构造级数,利用比值判别法知它是收敛的,根据收敛级数的必要条件。
28解:
。
29解:
。
30解:
。
31解:
。
32解:
;。
33解:
。
34解:
。
35解:
。
36解:
。
37解:
。
38解:
,所以次序交换后为。
39解:
,而,所以。
40解:
有二重特征根1,故通解为(为任意常数)。
三
41解:
如数列单调,但发散,应为×。
42解:
如在满足上述条件,但存在,使得,应为×。
43解:
第二步不满足或,是错误的,事实上。
应为×。
44解:
因,由定积分保序性知:
,应为√。
45解:
在点处可微可得在点处连续,反之不成立,应为应为√。
四
46解:
。
47解:
两边取自然对数得,----(1分)
两边对求导得:
,-------(3分)
即,------(4分)
故。
-----(5分)
48解:
----(1分)
-----(3分)
--(4分)
。
----(5分)
49解:
因,所以
-----(2分)
------(4分)
。
-----(5分)
50解:
令,有,利用微分的不变性得
----(3分)
------(4分)
---(5分)
51解:
积分区域如图07-1所示:
的边界、用极坐标表示分别为,;故积分区域在极坐标系系下为
图07-1
,----(2分)
故----(3分)
---(4分)
。
---(5分)
52解:
因;---(2分)
。
所以;。
--(3分)
故--(4分)
。
--(5分)
53解:
方程可化为,这是一阶线性非齐次微分方程,---(1分)
它对应的齐次方程的通解为,---(2分)
设原方程有通解,代入方程得,
即,--(3分)
所以,---(4分)
故所求方程的通解为。
---(5分)
五
54解:
设长方体的长、宽分别为,则高为,又设造价为,---(1分)
由题意可得
;---(3分)
而在定义域内都有意义.
令得唯一驻点,-----(5分)
由题可知造价一定在内部存在最小值,故就是使造价最小的取值,此时高为。
所以,排污无盖的长方体的长、宽、高分别为、、时,工程造价最低。
---(7分)
图07-2
55解:
平面图形D如图07-2所示:
---(1分)
取为积分变量,且
(1)平面图形D的面积为
----(3分)
。
----(4分)
(2)平面图形D绕轴旋转一周所生成
旋转体的体积为
。
-----(7分)
或
。
六
56证明:
因在有意义,从而在上连续且可导,即在上满足拉格朗日中值定理的条件,-----(2分)
故存在,使得,----(3分)
又因在上连续,根据连续函数在闭区间上最值定理知,在上既有最大值又有最小值,不妨设分别是最小值和最大值,从而时,有。
------(5分)
即,
故。
---(6分)
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