电磁场理论课件优质PPT.ppt
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设矢性函数在上连续,且和都在此区间内,如果极限存在,则称这个极限值称为在t处的导数,简称导矢。
即几何意义:
表示的矢端曲线上M点处的切线上的一个矢量,其方向指向t增大的方向。
微分:
称为矢性函数在处的微分,几何意义:
方向dt0与的方向一致dt0与的方向相反模值,矢径函数的微分模值弧微分所以,说明:
矢径函数对其矢端曲线弧长的导数为曲线上的单位矢量。
是曲线l上指向正方向的单位矢量,3、积分不定积分:
若,则称为的一个原函数,的原函数的集合叫做的不定积分,记作定积分:
若矢性函数在区间上的极限存在则称为在区间上的定积分。
三、多元矢性函数的运算1、偏导2、全微分,1.2正交曲线坐标系,坐标系是联系数与形的工具有无穷多种坐标系,1.2正交曲线坐标系,一、正交曲线坐标系的概念1、广义坐标直角坐标系中考虑,若存在单值关系,反过来,同样有单值关系,则称为广义坐标系下M点的曲线坐标。
2、广义坐标曲面,若为任意常数,则称广义坐标曲面注:
单值性决定了空间任意一点都对应三个等值曲面,该点是三曲面的交点。
3、广义坐标曲线两坐标曲面相交所成的曲线称为坐标曲线,4、正交曲线坐标系过任意点M的三条坐标曲线都相互正交,构成正交曲线坐标系。
二、单位矢量1、坐标单位矢量引入:
(空间任意点M处的单位矢量)性质:
模值方向:
在M点分别与线相切,正方向指向增加的方向。
正交性,于是,单位矢量表示为,若记,则单位矢量为,hi称为拉梅系数(Lame)或度量因子,3、求解拉梅系数直角坐标系正交坐标系根据定义式,各方向的微分元与各自坐标的微分之比,三.线元、面元和体元,1、矢量线元根据矢量运算法则根据全微分运算法则引入拉梅系数,矢量线元表示为其中,是矢量线元在M点坐标线ui上的投影模值:
四.常用坐标系,1、直角坐标系,矢径单位矢量拉梅系数线元面元体元,矢径拉梅系数单位矢量矢量线元矢量面元体元,2、圆柱坐标系,矢径拉梅系数单位矢量,3、球坐标系,矢量线元矢量面元体元,五、矢量的变换直角坐标系中某正交坐标系中则各分量,1.3梯度、散度和旋度,一、标量场与矢量场1、场的分类如果在全部空间或部分空间的每一点,都对应着某个物理量的一个确定值,就说在这个空间里确定了该物理量的场。
标量场若该物理量是数量,就称这个场为标量场(或数量场)例如:
温度场、密度场、电位场矢量场若该物理量是矢量,就称这个场为矢量场例如:
力场、速度场、电场、磁场,2、场的描述标量场函数描述或或等值面描述等值面的特性a.等值面是互不相交的b.等值面的疏密程度反映着场的分布情况,等高线图,矢量场函数描述矢量线描述在矢量线上面每一点M处的切线方向与该点矢量的方向相重合。
矢量线的特性a.矢量线是互不相交的b.矢量线的疏密程度反映着场的分布情况求矢量线方程由矢性函数微分的几何意义可知而所以矢量线的微分方程是,二、标量场的方向导数和梯度1、方向导数定义式意义函数f在给定点处沿某个方向对距离的变化率f在给定点处沿方向增加f在给定点处沿方向减小f在给定点处沿方向不变,计算公式由全增量公式,代入定义式中,若用分别表示M点处与的夹角,则,代入上式,考虑当l0时,0,略去下标M,得,l在坐标曲线上ui的投影,对坐标单位矢量的方向余弦,引入将方向导数表达式写成,其中,方向上的单位矢量,f在M点处的梯度,2、梯度,定义式方向函数在该点变化率最大的方向模值最大变化率,性质方向导数等于梯度矢量在该方向上的投影,场中每一点M处的梯度,垂直于过该点等值面,且总指向函数增大的方向,性质:
同时具有矢量和微分的性质,错例,例1.2已知试证明,证明:
注意:
这是一个常用的结果,需要记忆。
三.矢量场的通量和散度,矢量场的通量,1、通量微分定义,对于有向曲面S,若曲面S是闭合曲面,物理意义:
a)若,闭合面内有正源;
b)若,闭合面内有负源;
c)若,闭合面无源。
2、散度,物理意义,2)矢量场的散度值表示场中一点处的通量对体积的变化率,也就是在该点处单位体积所穿出之通量,也称为源强度。
在场空间中任意点M处作一个闭合曲面,所围的体积为,则定义场矢量在M点处的散度为:
1)矢量场的散度是一个标量;
定义,讨论:
1)若,则该矢量场称为有源场;
2)若处处成立,则该矢量场称为无源场。
有正源,有负源,计算公式利用散度的定义式,可以推导出散度运算的微分表达式.,利用哈密顿算子的运算法则,可得,注意:
通常按上面的哈密顿算子展开计算是十分繁杂的(因为微分运算不仅要对矢量场各分量进行,而且要对单位方向矢量进行),故一般不用哈密顿算子点乘来计算散度,而是直接使用微分式。
2)圆柱坐标系,3)球坐标系,1)直角坐标系,常用坐标系下的散度计算,例1.3球心在坐标原点,半径为a的球形域内均匀分布有密度为的电荷,则空间任意点的电通量密度矢量可用下式表达,求:
3.散度定理,证明,从散度定义,可以得到:
则在一定体积V内的总的通量为:
式中:
S为包围的闭合面,数学表达式,矢量场的散度在给定体积的体积分,等于此矢量场在该体积外表面上的闭合面积分。
意义,三、矢量场的环量和旋度,1.环量与环量密度,环量:
在矢量场中,矢量沿某一闭合有向曲线l的曲线积分,称为该矢量按所取方向沿曲线的环量,注意:
当闭合曲线所围曲面的方向取定后,曲线的方向总是按右旋法则确定。
环量密度,意义:
该点给定方向上的单位面积的环量,在矢量场中,围绕空间某点M取一面元Sn,其边界曲线为l,面元法线方向为,当面元以任意方式向M收缩时,则在l上的环量与Sn比值的极限称为在M点处沿方向的环量密度。
2.旋度,定义式,特点:
旋度矢量的模等于该点的最大环量密度,其方向就是取得该最大环量密度的方向。
物理意义,1)矢量的旋度为矢量,是空间坐标的函数;
3)矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度。
2)在矢量场中,若,称为有旋场;
计算公式,行列式表示,哈密顿算子与矢量场函数叉积的形式,利用旋度的定义式,可以推导出旋度运算的表达式,3)球坐标系,2)圆柱坐标系,1)直角坐标系,常用坐标系下的旋度计算,3、斯托克斯定理,意义:
矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分。
应用:
将曲线积分转换为曲线积分,进而简化计算。
(见习题),则称此矢量场为有势场,称为矢量场的势函数或位函数。
1.4几种重要的矢量场,一.有势场,1、定义:
对于一个矢量场,若在给定的区域内存在单值数性函数满足,2、性质:
证明:
设和是的任意两个势函数,则,于是,因此,势函数不唯一,线积分与积分路径无关,证明:
推论:
有势场的闭合回路线积分恒等于零,即,保守场:
线积分与路径无关的矢量场常常被称为保守场。
有势场必为保守场,求解势函数,1)选取参考点,取点M0为参考点,而M表示任意场点,则,于是,2)选取积分路径,3)计算积分,因为,所以,有势场与无旋场等价,推论:
无旋场必为保守场,3、对势函数的说明,利用势函数求解有势场较为方便,如果一个矢量场在给定的区域内存在着的点,则不可随便利用来定义辅助的势函数,二.管形场,1、定义:
对于矢量场,若在其定义域内的每一点上都有,则称为管形场。
管形场就是无散场。
在面单连域内,管形场在任一个矢量管的两个任意横截面上的通量都相等,即,2、性质,说明:
管形场中穿过同一矢量管的所有截面的通量都相等,在面单连域内,矢量场为管形场的充要条件是它为另一矢量场的旋度,即,注意:
1)与有势场中的势函数类似,的选择也不是唯一的,满足的矢势函数有无穷多,且具有不同的函数形式。
因此,在实际物理应用时,为了避免矢势函数的这种多值性,往往要加以另外的限制条件,以使其具有唯一确定的形式。
2)如果一个矢量场在给定的区域内存在着的点,则不可随便利用来引入辅助的矢势函数,因为若对两边取散度,并注意,就会在这些点上出现的矛盾。
三.调和场,1、定义:
若对于矢量场,恒有和,则称此矢量场为调和场。
换言之,调和场就是既无散又无旋的无源矢量场。
2、注意:
对于一个实际的物理场,调和场只能在有限的区域内存在,其原因是场的散度和旋度代表着产生场的两种源,若在无限空间内既无散源又无旋源,这个场也就不存在了。
3、拉普拉斯方程,调和场,引入拉普拉斯算子或,则有,拉普拉斯(Laplace)方程,1.5*函数、格林定理与亥姆霍兹定理,一.函数,1、定义,函数是偶函数,函数有还原性(筛选性),2、性质,3、例1.6试证明是函数,证明:
二、格林定理*,1、格林第一恒等式,2、格林第二恒等式,3、格林第三恒等式,泊松方程的积分解,三调和函数的性质*,1、调和函数的法向导数的闭合曲面积分等于零。
2、调和函数在区域内任意点处的值,都可以通过在区域边界上的值及法向导数值按下式表达,3、调和函数在球心上的值等于该函数在球面上的算数平均值,4、调和函数在区域内无极值,四.亥姆霍兹定理,在给定的区域内,一个散度和旋度均不恒为零的矢量场,可以表示成一个无旋场(有势场)和一个无散场(管形场)之和的形式,其中,无旋场由该区域内的及在边界上的法向分量唯一确定;
无散场由区域内的及在边界上的切向分量唯一确定。
1、文字表述,2、数学表达式,3、亥姆霍兹定理表明:
3)和是等效的表面源,它们的面积分表示以外的源对场的贡献。
2)散度是有势场部分的源,称为通量源;
旋度是管形场部分的源,称为旋涡源。
体积分表示体积内的通量源和旋涡源与场的联系。
矢量场可以用一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和表示。
此标量函数由的散度和在边界S上的法向分量完全确定;
而矢量函数由的旋度和在边界上的切向分量完全确定。
下课,
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