北京中考模拟第28题(几何综合题)(教师版).doc
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北京中考模拟第28题(几何综合题)(教师版).doc
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2015年北京各区中考一模试题分类汇编第28题
1、(海淀28).在菱形中,,点是对角线上一点,连接,,将线段绕点逆时针旋转并延长得到射线,交的延长线于点.
(1)依题意补全图形;
备用图
(2)求证:
;来源:
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(3)用等式表示线段,,之间的数量关系:
_____________________________.
1、(海淀28)
2、(西城28)△ABC中,AB=AC,取BC的中点D,作DE⊥AC于点E,取DE的中点F,连接BE,AF,交于点H.
(1)如图1,如果∠BAC=90°,那么∠AHB=,.
(2)如图2,如果∠BAC=60°,猜想∠AHB的度数和的值,并证明你的结论.
(3)如果∠BAC=α,那么.(用含有α的表达式表示)
图1 图2 图3
2.(西城28)解:
(1)90,.………………………………………………………………………2分
(2)结论:
,.
证明:
如图8,连接AD.
∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴△ABC是等边三角形.
∵D为BC的中点,
∴AD⊥BC.
图8
∴∠1+∠2=90°.
又∵DE⊥AC,
∴∠DEC=90°.
∴∠2+∠C=90°.
∴∠1=∠C=60°.
设AB=BC=k(),
则,.
∵F为DE的中点,
∴,.
∴,.
∴.…………………………………………………………3分
又∵∠1=∠C,
∴△ADF∽△BCE.…………………………………………………4分
∴,…………………………………………………5分
∠3=∠4.
又∵∠4+∠5=90°,∠5=∠6,
∴∠3+∠6=90°.
∴.………………………………………………………6分
(3).………………………………………………………………7分
注:
写或其他答案相应给分.
3、(东城28).已知:
Rt△A′BC′和Rt△ABC重合,∠A′C′B=∠ACB=90°,∠BA′C′=∠BAC=30°,现将Rt△A′BC′绕点B按逆时针方向旋转角α(60°≤α≤90°),设旋转过程中射线C′C和线段AA′相交于点D,连接BD.
(1)当α=60°时,A’B过点C,如图1所示,判断BD和A′A之间的位置关系,不必证明;
(2)当α=90°时,在图2中依题意补全图形,并猜想
(1)中的结论是否仍然成立,不必证明;
(3)如图3,对旋转角α(60°<α<90°),猜想
(1)中的结论是否仍然成立;若成立,请证明你的结论;若不成立,请说明理由.
图1图2图3
3.(东城28)解:
(1)当时,.------------1分
(2)补全图形如图1,
仍然成立;------------3分
(3)猜想仍然成立.
图1
证明:
作,,垂足分别为点,如图2,则.
∵,
∴.
∵,
∴,.
∴.
图2
在和中,
∴.
∴.
在和中,
∴.
∴.
∵,
∴为等腰三角形.
∴------------7分
4、(朝阳28).在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点D在射线BC上(不与点B、C重合),连接AD,将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE,连接BE.
(1)如图1,点D在BC边上.
①依题意补全图1;
②作DF⊥BC交AB于点F,若AC=8,DF=3,求BE的长;
(2)如图2,点D在BC边的延长线上,用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系
(直接写出结论).
图2
图1
4(朝阳28)题答案
5、(丰台28).在△ABC中,CA=CB,CD为AB边的中线,点P是线段AC上任意一点(不与点C重合),过点P作PE交CD于点E,使∠CPE=∠CAB,过点C作CF⊥PE交PE的延长线于点F,交AB于点G.
(1)如果∠ACB=90°,
①如图1,当点P与点A重合时,依题意补全图形,并指出与△CDG全等的一个三角形;
②如图2,当点P不与点A重合时,求的值;
(2)如果∠CAB=a,如图3,请直接写出的值.(用含a的式子表示)
图2
图1
图3
5(丰台28).
(1)
①作图.…….1分
(或).…….2分
②过点P作∥交于点,交于点,.…….3分
∴.∵∠CPE=∠CAB,
∴∠CPE=∠CPN.∴∠CPE=∠FPN.
∵,∴∠PFC=∠PFN=90°.
∵PF=PF,∴≌.∴..…….4分
由①得:
≌.∴.∴..…….5分
(2)..…….7分
6、(石景山28).在△中,.
(1)如图1,直线是的垂直平分线,请在图1中画出点关于直线的对称点,连接,,与交于点;
(2)将图1中的直线沿着方向平移,与直线交于点,与直线交于点,过点作直线的垂线,垂足为点.
①如图2,若点在线段上,请猜想线段,,之间的数量关系,并证明;
②若点在线段的延长线上,直接写出线段,,之间的数量关系.
图1图2备用图
6、(石景山28)解:
(1)正确画出图形.……………1分
(2)①.……………2分
证明:
过点作⊥于点.……3分
∵⊥于点,,⊥,
∴四边形为矩形.
图1
∴,∥.
∴.……………4分
由
(1)和平移可知,
∠==∠,
∠=.
∴∠=∠=90°.
图2
∵,
∴△≌△.
图3
G
∴.………………………5分
∴.
即.……………6分
②.………………7分
7、(房山28).如图1,已知线段BC=2,点B关于直线AC的对称点是点D,点E为射线CA上一点,且ED=BD,连接DE,BE.
(1)依题意补全图1,并证明:
△BDE为等边三角形;
(2)若∠ACB=45°,点C关于直线BD的对称点为点F,连接FD、FB.将△CDE绕点D顺时针旋转α度(0°<α<360°)得到△,点E的对应点为E′,点C的对应点为点C′.
①如图2,当α=30°时,连接.证明:
=;
②如图3,点M为DC中点,点P为线段上的任意一点,试探究:
在此旋转过程中,线段PM长度的取值范围?
图1
图2
图3
7、(房山28)图1
解:
(1)补全图形,如图1所示;……1分
证明:
由题意可知:
射线CA垂直平分BD
∴EB=ED
又∵ED=BD
∴EB=ED=BD
∴△EBD是等边三角形………………2分
图2
(2)①证明:
如图2:
由题意可知∠BCD=90°,BC=DC
又∵点C与点F关于BD对称
∴四边形BCDF为正方形,
∴∠FDC=90°,
∵
∴
由
(1)△BDE为等边三角形
∴,ED=BD
∴…………………3分
又∵旋转得到的
图3
(1)
∴
∴
∴…………………………4分
②线段PM的取值范围是:
设射线CA交BD于点O,
图3
(2)
I:
如图3
(1)
当,D、M、P、C共线时,PM有最小值.
此时DP=DO=,DM=1
∴PM=DP-DM=………………………5分
II:
如图3
(2)
当点P与点重合,且P、D、M、C共线时,PM有最大值.
此时DP=DE′=DE=DB=,DM=1
∴PM=DP+DM=………………………6分
∴线段PM的取值范围是:
8、(通州28).在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是对角线AC上任意一点,F是线段BC延长线上一点,且CF=AE,连接BE、EF.
(1)如图1,当E是线段AC的中点时,易证BE=EF.
(2)如图2,当点E不是线段AC的中点,其它条件不变时,请你判断
(1)中的结论:
.
(填“成立”或“不成立”)
图1图2图3
(3)如图3,当点E是线段AC延长线上的任意一点,其它条件不变时,
(1)中的结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
8、(通州28).在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是对角线AC上任意一点,F是线段BC延长线上一
(2)结论:
成立.………………………..(1分)
(3)结论:
成立.………………………..(2分)
证明:
过点E作EG∥BC交AB延长线于点G,……………..(3分)
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=BC,
又∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠ACB=60°, …………………………..(4分)
又∵EG∥BC,
∴∠AGE=∠ABC=60°,
又∵∠BAC=60°,
∴△AGE是等边三角形,
∴AG=AE=GE,
∴BG=CE, …………………………..(5分)
又∵CF=AE,
∴GE=CF, ………………………………………..(6分)
又∵∠BGE=∠ECF=60°,
∴△BGE≌△ECF(SAS),
∴BE=EF. ………………………………………..(7分)
9、(延庆28).已知,点P是△ABC边AB上一动点(不与A,B重合)分别过点A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为边AB的中点.
(1)如图1,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是,QE与QF的数量关系是;
(2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;
(3)如图3,当点P在线段BA的延长线上时,此时
(2)中的结论是否成立?
请画出图形并给予证明.
9、(延庆28).-----------2分
解:
(1)AE∥BF,QE=QF,
(2)QE=QF,
证明:
如图2,延长EQ交BF于D,
----------3分
∵AE∥BF,
∴∠AEQ=∠BDQ,
在△BDQ和△AEQ中
-----------4分
∴△BDQ≌△AEQ(ASA),
∴QE=QD,
∵BF⊥CP,
∴FQ是Rt△DEF斜边上的中线,
-----------5分
∴QE=QF=QD,
即QE=QF.
(3)
(2)中的结论仍然成立,
证明:
如图3,
延长EQ、FB交于D,
∵AE∥BF,
∴∠AEQ=∠D,
在△AQE和△BQD中
,图3
-----------6分
∴△AQE≌△BQD(AAS),
∴QE=QD,
∵BF⊥CP,
-----------7分
∴FQ是Rt△DEF斜边DE上的中线,
∴QE=QF.
说明:
第三问画出图形给1分
10、(燕山)28.△ABC中,∠ABC=45°,AH⊥BC于点H,将△AHC绕点H逆时针旋转90°后,点C的对应点为点D,直线BD与直线AC交于点E,连接EH.
图2
图1
(1)如图1,当∠BAC为锐角时,
①求证:
BE⊥AC;
②求∠BEH的度数;
(2)当∠BAC为钝角时,
请依题意用实线补全图2,并用等式表示出线段EC,ED,EH之间的数量关系.
10、(燕山)28.
(1)①证明:
∵AH⊥BC于点H,∠ABC=45°,
∴△ABH为等腰直角三角形,
∴AH=BH,∠BAH=45°,
∴△AHC绕点H逆时针旋转90°得△BHD,
图1-1
由旋转性质得,△BHD≌△AHC,
∴∠1=∠2.………………………1分
∵∠1+∠C=90°,
∴∠2+∠C=90°,
∴∠BEC=90°,即BE⊥AC.………………………2分
②解法一:
如图1-1,
∵∠AHB=∠AEB=90°,
∴A,B,H,E四点均在以AB为直径的圆上,………………………3分
∴∠BEH=∠BAH=45°.………………………4分
解法二:
如图1-2,
过点H作HF⊥HE交BE于F点,∴∠FHE=90°,
即∠4+∠5=90°.
又∵∠3+∠5=∠AHB=90°,
∴∠3=∠4.
在△AHE和△BHF中,
图1-2
∴△AHE≌△BHF,………………………3分
∴EH=FH.
∵∠FHE=90°,∴△FHE是等腰直角三角形,
∴∠BEH=45°.………………………4分
(2)补全图2如图;………………………5分
图2-2
EC-ED=EH.………………………7分
11(怀柔28).在等边△ABC外侧作直线,点关于直线的对称点为D,连接BD,CD,其中CD交直线
于点E.
(1)依题意补全图1;
(2)若∠PAB=30°,求∠ACE的度数;
(3)如图2,若60°<∠PAB<120°,判断由线段AB,CE,ED可以构成一个含有多少度角的三角形,并证明.
图1
图2
11(怀柔28).解:
(1)补全图形,如图1所示.……………………………1分
(2)连接AD,如图2.∵点D与点B关于直线AP对称,∴AD=AB,∠DAP=∠BAP=30°.
∵AB=AC,∠BAC=60°.∴AD=AC,∠DAC=120°.
图1
图2
∴2∠ACE+60°+60°=180°∴∠ACE=30°……………………………3分
(3)线段AB,CE,ED可以构成一个含有60°角的三角形.……………………………4分
证明:
连接AD,EB,如图3.
∵点D与点B关于直线AP对称,
图3
∴AD=AB,DE=BE,
可证得∠EDA=∠EBA.
∵AB=AC,AB=AD.
∴AD=AC,∴∠ADE=∠ACE.
∴∠ABE=∠ACE.设AC,BE交于点F,
又∵∠AFB=∠CFE.∴∠BAC=∠BEC=60°.
∴
12(门头沟28).在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,DE⊥BC于E,连接CD.
(1)如图1,如果∠A=30°,那么DE与CE之间的数量关系是.
(2)如图2,在
(1)的条件下,P是线段CB上一点,连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60°,得到线段DF,连接BF,请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系,并证明你的结论.
(3)如图3,如果∠A=α(0°<α<90°),P是射线CB上一动点(不与B、C重合),连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转2α,得到线段DF,连接BF,请直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系(不需证明).
图1图2图3
12(门头沟28)
解:
(1)DE=EC.……………………………………………………………………1分
(2)DE、BF、BP三者之间的数量关系是BF+BP=DE.…………………2分
理由如下:
∵∠ACB=90°,D是AB的中点,∠A=30°
∴DC=DB,∠CDB=60°.
∵线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DF,
∴∠PDF=60°,DP=DF.
又∵∠CDB=60°,∴∠CDB-∠PDB=∠PDF-∠PDB,
∴∠CDP=∠BDF.
∴△DCP≌△DBF.………………………………………………………3分
∴CP=BF.
而CP=BC-BP,
∴BF+BP=BC,……………………………………………………………4分
在Rt△CDE中,∠DEC=90°,
∴,
∴CE=DE,∴BC=2CE=DE,∴BF+BP=DE.
(3)BF+BP=2DEtanα,BF-BP=2DEtanα.……………………………………7分
13(平谷28).
(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=80°,∠A+∠C=180°,点M是AD边上一点,把射线BM绕点B顺时针旋转40°,与CD边交于点N,请你补全图形,求MN,AM,CN的数量关系;
图1
图2
图3
(2)如图2,在菱形ABCD中,点M是AD边上任意一点,把射线BM绕点B顺时针旋,与CD边交于点N,连结MN,请你补全图形并画出辅助线,直接写出AM,CN,MN的数量关系是 ;
(3)如图3,正方形ABCD的边长是1,点M,N分别在AD,CD上,若△DMN的周长为2,则△MBN的面积最小值为 .
13(平谷28)解:
(1)
………………………………………………………1
延长DA到点E,使AE=CN,连接BE
∵∠BAD+∠C=180°.∴∠EAB=∠C.
又∵AB=BC,AE=CN,∴△ABE≌△CBN.
∴∠EBA=∠CBN,BE=BN.…………∴∠EBN=∠ABC.
∵∠ABC=80°,∠MBN=40°,∴∠EBM=∠NBM=40°.
∵BM=BM,∴△EBM≌△NBM.
∴EM=NM.……∴MN=AM+CN.
(2)
……………………………………………………5
MN (3)…………………………………………………………………………8 14(顺义28).如图,△ABC中,AB=AC,点P是三角形右外一点,且∠APB=∠ABC. (1)如图1,若∠BAC=60°,点P恰巧在∠ABC的平分线上,PA=2,求PB的长; (2)如图2,若∠BAC=60°,探究PA,PB,PC的数量关系,并证明; (3)如图3,若∠BAC=120°,请直接写出PA,PB,PC的数量关系. 14(顺义28) 来源: 学 15(大兴28)已知: 如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,ÐABC=90°.点E为边AD上一点,将△ABE沿直线BE折叠,使点A落在四边形对角线BD上的点G处,EG的延长线交直线BC于点F. (1)点E可以是AD的中点吗? 请说明理由; (2)求证△ABG∽△BFE; (3)设AD=a,AB=b,BC=c.当四边形EFCD为平行四边形时,求a,b,c应满足的关系. 15(大兴28) 解 (1)不可以;理由如下: 根据题意得: AE=GE,ÐEGB=ÐEAB=90°, ∴Rt△EGD中,GE<ED, ∴AE<ED,因此点E不可以是AD的中点。 …………2分 (2)证明: ∵AD∥BC,∴ÐAEB=ÐEBF ∵△ABE沿直线BE折叠, ∴△EAB≌△EGB, ∴ÐAEB=ÐBEG, ∴ÐEBF=ÐBEF,∴FE=FB, ∴△FEB为等腰三角形。 ∵ÐABG+ÐGBF=90°,ÐEFB+ÐGBF=90°, ∴ÐABG=ÐEFB, 在等腰△ABG和△FEB中, ÐBAG=(180°-ÐABG)/2 ÐFBE=(180°-ÐEFB)/2 ∴ÐBAG=ÐFBE ∴△ABG∽△BFE.……………………………………………4分 (3)如图,过点D作DH⊥BC ∵四边形EFCD为平行四边形 ∴EF∥DC∴ÐC=ÐEFB, ∵△ABG∽△BFE,∴ÐEFB=ÐGBA, ∴ÐC=ÐGBA∵ÐDAB=ÐDHC=90° ∴△ABD∽△HCD,∴∴ ∴.…………………………………………7分 18
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