将军饮马问题的11个模型及例题Word文件下载.docx
- 文档编号:1544401
- 上传时间:2023-04-30
- 格式:DOCX
- 页数:34
- 大小:273.58KB
将军饮马问题的11个模型及例题Word文件下载.docx
《将军饮马问题的11个模型及例题Word文件下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《将军饮马问题的11个模型及例题Word文件下载.docx(34页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
此时IPA-PB|=AB,在l上任取异于点P的一点P'
连接AP'
、BP'
由三角形的三边关系知|P'
A-P'
B
I<
AB,
即|P'
B|<
|PA-PB|
4.已知:
如图,定点AB分布在定直线l的两侧(A、B两
AI点到l的距离不相等)
<
■
作点B关于直线l的对称点B'
连接B'
A并延长交
于点巳点P即为所求;
x=-6,「•点A的坐标为
CD为乙BAO的中位线,
根据对称的性质知l为线段BB的中垂线,由中垂
线的性质得:
PB=PB,要使IPA-PBI最大,则需
IPA-PB'
I值最大,从而转化为模型3.
典型例题1-1
如图,直线y=^+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C、D分别为线段ABOB的中点,点P为OA上一动点,当PC+PD1小时,点P的坐标为,此时PC+PD勺最小值为.
【分析】符合基本模型2的特征,作点D关于x轴的对称点D'
连接CD′交x轴于点P,此时PC+PD直最小,由条件知CD为△BAO的中位线,OP为^CDD'
的中位线,易求OP长,从而求出P点坐标;
PC+PD勺最小值即CD'
长,可用勾股定理(或两点之间的距离公式,实质相同)计算.
【解答】连接CD作点D关于x轴的对称点D'
连接CD交x轴
于点P,此时PC+PD直最小.令y=-x+4中x=0,则y=4,
一22
,点B坐标(0,4);
令y=x+4中y=0,贝片x+4=0,解得:
(-6,0).二.点C、D分别为线段AROB的中点,
••.CD//x轴,且CD=2AO=3
•・•点D'
和点D关于x轴对称,,。
为DD的中点,
D'
(0,-1),OP为4CDD的中位线,OP=1CD=2,
.・•点P的坐标为(-0).在Rt^CDD中,
CD=CD2DD2=.3242=5,即PC+PD勺最/」、值为5.
【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C、点P坐标;
若题型变
化,C、D不是AB和OB中点时,则先求直线CD的解析式,再求其与x轴的交点P的坐标.
典型例题1-2
如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(9,-2),点P在直线y=-x上运动,当|PA-PB|最大时点P的坐标为,|PA-PB|的最大值是.
【分析】符合基本模型4的特征,作A关于直线y=-x对称点C,连接BC,可得直线BC的方程;
求得BC与直线y=-x的交点P的坐标;
此时|PA-PB|=|PC-PB|二BC取得最大值,
再用两点之间的距离公式求此最大值
【解答】作A关于直线y=-x对称点C,易得C的坐标为(-1,0);
连接BC,可得直线BC
的方程为y=-4x--4,与直线
55
y=-x联立解得交点坐标P为(4,-4);
此时|PA
【小结】“两点一线”大多考查基本模型
2和4,需作一次对称点,连线得交点
-PB|=|PC-PB|二BC取得最大值,最大值BC=7(|1)2—
(2)2=手;
变式训练1-1
已知菱形OABC&
平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A(5,0),OB=4/另点P是对角线OB上的一个动点,D(0,1),当CP+DP!
短时,点P的坐标为()
i|&
blid占
A.(0,0)B.(1,2)C.(i,M)D.忖,力
变式训练1-2
如图,菱形ABCD43,对角线AC和BD交于点QAC=2BD=2/5,E为AB的中点,P为对角线AC上一动点,则PE+PB勺最小值为.
如图,已知直线y=x+1与y
A、E两点,与x轴交十B、
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上找一点
拓展模型J
铀交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=x+bx+cC两点,且B点坐标为(1,0).
M,使|AM-MC|的值最大,求出点M的坐标.
如图,A为锐角/MOW卜一定点;
日M
在射线OM±
找一点
*AP+PQ的值最小.
过点A作AQLON于点QAQ与OMf交于点P,此
时,AP+PQt小;
巳在射线ON上找一点Q使
ap£
里由:
AP+P&
AQ当且仅当A、P、Q三点共线时,
AP+PQX得最小值AQ根据垂线段最短,当
AQLON时,AQ最小.
如图,A为锐角/MO的一定点;
在射线OMk找一点P,在射线ONLh找一点Q使
A'
过点A'
AAQLON
AP+PQ的值最小.
于点QAQ交OMT点P,此时AP+PQt小;
由轴对称的性质知AP=A巳要使AP+PQt小,
只需AP+PQ最小,从而转化为拓展模型1
3.
如图,A为锐角/MONft一定点;
在射线OMh找一点P,在射线ON上找一点Q使
△APQ的周长最小
分别作A点关于直线OM勺对称点Ai,关于ON的对
称点A2,连接AiA2交。
时点P,交ON^点Q,点
P和点Q即为所求,此时△APQW长最小,最小值
即为线段A1A2的长度;
由轴对称的性质知AP=AP,AQ=AQ△APQ的周
长AP+PQ+AQ=A+PQ+AQ,当Ai、P、。
忿四点共线
时,其值最小.
4.
如图,A、B为锐角/MONft两个定点;
在OMk找一点巳在ONLh找一点Q,使四边形
APQB勺周长最小
作点A关于直线OM的对称点A,作点B关于直
ON的对称点B'
连接AB'
交。
爪P,交ON于Q
则点P、点Q即为所求,此时四边形APQ明长的
AJ
AB长为定值,由基本模型将
最小值即为线段AB和AB'
QB转化为QB,当A'
、P、
的长度之和;
PA转化为PA,将
QB四点共线时,
PA
+PQ+QB的值最小,即PA+PQ+QB勺值最小.
5.搭桥模型
如图,直线miln,A、B分别为m上方和n下方的定
点,(直线AB不与m垂直)
在mrn之间求作垂线段PQ使得AP+PQ+BQM、.
分析:
PQ为定值,只需AP+BQM小,可通过平移,使
P、Q“接头”,转化为基本模型
如图,将点A沿着平行于PQ的方向,向下平移至
点A'
使得AA=PQ连接AB交直线n于点
Q,过点Q作PQLn,交直线m于点P,线段PQ即
为所求,此时AP+PQ+B最小.
易知四边形QPAA为平行四边形,则QA=PA
当B、QA三点共线时,QA'
+BQ最小,即
AP+BQt小,PQ长为定值,此时AP+PQ+B最小.
6.
如图,定点A、B分布于直线l两侧,长度为a
(a为定值)的线段PQ在l上移动(P在Q左边)
确定PQ的位置,使得AP+PQ+Q鼠小
PQ为定值,只需AP+QB勺值最小,可通过平移,
使P、Q“接头”,转化为基本模型
将点A沿着平行于l的方向,向右移至A'
使
AA=PQ=a,连接AB交直线l于点Q在l上截取
PQ=a(P在Q左边),则线段PQ即为所求,此时
AP+PQ+QB最小值为AB+PQ即AB+a
易知四边形APQA为平行四边形,则PA=QA,
当A'
、QB三点共线时,QA+QB最小,即PA+QB
最小,又PQK为定彳1此时PA+PQ+QB!
最小.
7.
如图,定点A、B分布于直线l的同侧,长度a(a为定值)的线段PQ在l上移动(P在Q左边)
确定PQ的位置,使得四边形APQ洞长最小
AB长度确定,只需AP+PQ+Q最小,通过作A点
作A点关于l的对称点A,将点A'
沿着平行于
关于l的对称点,转化为上述模型3
的方向,向右移至A'
'
使A'
A'
=PQ=a连接
交l于Q,在l上截取QP=a(P在Q左边),线段
PQ即为所求,此时四边形APQBO长的最小值为
A'
B+AB+PQ即A'
B+AB+a
典型例题2-1
如图,在矩形ABCN,AB=10,BC=5若点MN分别是线段ACAB上的两个动点,则BM+MINJ最小值为.
【分析】符合拓展模型2的特征,作点B关于AC的对称点E,再过点E作AB的垂线段,该垂线段的长即BM+MN勺最小值,借
助等面积法和相似可求其长度.
【解答】作点B关于AC的对称点E,再过点E作ENLAB于N,贝UBM+MN=EM+MN
其最小值即EN<
;
AB=10,BC=5
•-AC=/aB2BC2=5V5,
等面积法求得AC边上的高为10/=2痣,.•.BE=4/5,
55
易知△ABS△ENE^.•・处」^,代入数据解得EN=8
ENBE
即BM+MN勺最小值为8.
【小结】该类题的思路是通过作对称,将线段转化,再根据定理、公理连线或作垂线;
可作
定点或动点关于定直线的对称点,有些题作定点的对称点易解,有些题则作动点的
对称点易解.
典型例题2-2
如图,/AOB=60,点P是/AOB内的定点且OP铅j,点MN分别是射线OAOB上异于点。
的动点,则ARMNW长的最小值是()
A3'
、后B办.C.6D.3
22
【分析】符合拓展模型3的特征;
作P点分别关于OAOB的对称点CD,连接CD分别交OAOB于MN,此日PMN^长最小,其值为CD长;
根据对称性连接OCOD,分析条件知△OC提顶角为120°
的等腰三角形,作底边上高,易求底边CD.
【解答】作P点分别关于OAOB的对称点
CD,连接CM别交OAOB于MN,如图,
/BOPhBOD/AOP=zAOC
贝UMP=MCNP=NDOP=OD=OC=;
PN+PM+MN=ND+MN+NC=D©
ODhBOP它BOD吆AOP吆AOC=2AOB=120,
•・・此时△PMNW长最小,作OHHLCD于H,
贝UCH=DH/OCH=30,OH=OC吏
CH=1QH_CD=2CH=3
即△PMN^长的最小值是3;
故选:
D.
【小结】根据对称的性质,发现△OC比顶角为120。
的
等腰三角形,是解题的关键,也是难点.
典型例题2-3
如图,已知平行四边形ABCO以点O为原点,OC所在的直线为x轴,建立直角坐标系,AB交y轴于点D,AD=2OC=6/A=60°
线段EF所在的直线为OD的垂直平分线,点P为线段EF上的动点,PMLx轴于点M点,点E与E'
关于x轴对称,连接BRE'
M.
(1)请直接写出点A坐标为
,点B坐标为
(2)当BP+PM+ME的长度最小时,请求出点P的坐标.
【分析】
(1)解直角三角形求出ODBD的长即可解决;
(2)符合“搭桥模型”的特征;
首先证明四边形OPME是平行四边形,可得OP=EM
PM是定值,PB+ME=OP+PB勺值最小时,BP+PM+ME的长度最小,此时P点为
直线OB与EF的交点,结合
【解答】
(1)在RtAADO^,-.ZA=60°
OB的解析式可得
P点坐标;
,AD=2
OD=Ntan60°
=2^/1,..A(一
••・四边形ABCO^平行四边形,,
AB=OC=6
DB=6-2=4,B(4,2底)
(2)如图,连接OPEF垂直平分线段ORPMLOC
BP+PM+ME的长度最小,
OB的解析式为
PEO=/EOM=PMO=90,•.四边形OMPE^矩形,
PM=OE=3,OE=OE,.1.PM=OE,PM//OE,
••・四边形OPME是平行四边形,
OP=EMPM是定值,PB+ME=OP+PB勺值最小时,
・•・当。
P、B共线时,BP+PM+ME的长度最小,二•直线
•••P(2,g).
般通过作对称和平移(构造平行四边
【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值,形)的方法,转化为基本模型.
典型例题2-4
如图所示,在平面直角坐标系中,Rt^AOB的顶点坐标分
别为A(―2,0),O(0,0),B(0,4),把^AOB绕点O
按顺时针方向旋转90°
得到△COD
(1)求GD两点的坐标;
(2)求经过AB、D三点的抛物线的解析式;
(3)在
(2)中抛物线的对称轴上取两点E、F(点E在点F的上方),且EF=1,使四边形
ACEF的周长最小,求出E、F两点的坐标.
【分析】符合拓展模型7的特征,通过作对称、平移、连线,可找出E、F点,结合直线的
解析式和抛物线的对称轴可解出E、F坐标.
(1)由旋转的性质可知:
OC=OA=2OD=OB=41C点的坐
标是(0,2),D点的坐标是(4,0),
(2)设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
4a-2b+c=0j
由题意,得'
16a+4b+c=0
%
c=4
解得a=-£
*b=1,c=4,
,所求抛物线的解析式为y=-;
/+x卜4;
(3)只需AF+CE最短,抛物线y=-jx1+«
+4的对称轴为x=1,
将点A向上平移至A(-2,1),则AF=AE,彳A关于对称轴x=1的对称点
A(4,1),连接A2C,A2c与对称轴交于点E,E为所求,可求得A2c的解析式
11一7一3
为y=-3+2,当x=1时,y=,,点E的坐标为(1,;
),点F的坐标为(1,弟.
【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线”;
其中,作对称和平移的顺序可互换
变式训练2-1
几何模型:
条件:
如图1,A,B是直线l同旁的两个定点.
问题:
在直线l上确定一点P,使PA+PBW值最小.
方法:
连接AB交l于点P,即为所求.(不必证明)模型应用:
(1)如图2,已知平面直角坐标系中两定点A(0,-1)和B(2,-1),P为x轴上一动
点,则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是,此时PA+PB=.
(2)如图3,正方形ABCDW边长为4,E为AB的中点,P是AC上一动点,连接BD,由正方形对称性可知,B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则PB+P郎最小值是.
(3)如图4,在菱形ABCD43,AB=10,/DAB=60,P是对角线AC上一动点,E,F分别是线段AB和BC上的动点,则PE+PF的最小值是.
(4)如图5,在菱形ABCD43,AB=6,/B=60°
点G是边CD边的中点,点E.F分别是AQAD上的两个动点,则EF+ED的最小值是.
图4'
图S
变式训练2-2
如图,矩形ABCD43,AD=15,AB=10,E为AB边上一点,且
DE=2AE连接CE与对角线BD交于F;
若P、Q分别为AB边和BC边上的动点,连接ERPQ和QF;
则四边形EPQF周长的最小值是.
变式训练2-3
如图,已知直线l1//l2,l1、l2之间的距离为8,点P到直线11的
离为6,点Q到直线12的距离为4,PQ=4由,在直线li上有一动点A,直线l2上有一动点B,满足AB±
l2,且PA+AB+BQt小,此时PA+BQ=
变式训练2-4
如图,已知在平面直角坐标系xOy中,直角梯形OABC勺边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2OC=3过点B作BD)±
BC,交OA于点D,将/DBC^点B按顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)当BE经过
(1)中抛物线的顶点时,求CF的长;
(3)在抛物线的对称轴上取两点P、Q(点Q在点P的上方),且PQ=1,要使四边形BCPQ
的周长最小,求出P、Q两点的坐标.
1.要在街道旁建奶站,向居民区
的距离之和最短?
小聪以街道为
3),B点坐标为(6,5),则A、
A、B到它
A点坐标为(0,
中考真题,………一一一…………工二大#
A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使x轴,建立了如图所示的平面直角坐标系,B两点到奶站距离之和的最小值是
E是OC上的一点,当^
2.如图,矩形ABOC勺顶点A的坐标为(-4,5),D是OB的中点,ADE的周长最小时,点E的坐标是()
A(0,❷)B.(0,上)
53
3.如图,在矩形ABCD43,AB=5,AD=3动点
离之和PA+PB的最小值为()
A.一/B..一I
C.(0,2)D.(0,叫)
3
P满足S»
APAB=1S矩形ABCD,则点P到AB两点距
C.啦D.V41
4.已知抛物线y=—x2+1具有如下性质:
该抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x
轴的距离始终相等,如图,点M的坐标为(V3,3),P是抛物线y=-Lx2+1上一个动点,
则^PMF周长的最小值是()
A.3B.4C.5D.6
第4题转5施
5.如图,点A(a,3),B(b,1)都在双曲线y言上,点C,D,分另是x轴,y轴上的动点,
则四边形ABCDO长的最小值为()
A.W2B.EVsC,2VT0+2V2D.8Vl
6.如图,在Rt^ABC中,/C=90°
AC=3BC=4DE分别是ABBC边上的动点,贝UAE+DE的最小值为()
A.
48
T
B.
24
■y
C.5
D-
D,E分别是边BGAC上的动点,
生了题
7.如图,Rt^ABC中,/BAC=90,AB=3,
AC=6/L点
贝UDA+DE勺最小值为
8.如图,等腰△ABC的底边BC=2Q面积为
垂直平分线,若点D在EG上运动,则4
120,点F在边BC上,且BF=3FCEG是腰AC的
CDF周长的最小值为
9.如图,菱形ABCD勺边长为6,/ABC=120,上的动点,当PB+PM勺值最小时,PM的长是
M是BC边的一个三等分点,P是对角线AC
)
C.
26
4
10.如图,在Rt^ABC中,/ACB=90,AC=6,
别是AqAC上的动点,则CE+EF的最小值为
BC=3AD平分/CAB交BC于D点,E,F分
AL
A:
;
15
D.6
11.如图,在平面直角坐标系中,
反比例函数
y上(x>
0)的图象与边长是6的正方形OABC
的两边AB,BC分别相交于
M,N两点.
△OMN勺面积为10.若动点P在x轴上,则PM+PN
的最小值是(
AD/
8VCc
第9版
A.6亚B.10
12.如图,△ABC中,AC=BC=2AB=1,
第IQ版第1赠
C2^D2/29
将它沿AB翻折得到^ABD则四边形ADBC厂
的形状是形,P、E、
的最小值是.
13.如图,已知抛物线y=i-x:
连接AGBC,已知A(0,
(1)求此抛物线的解析式;
(2)在抛物线对称轴l上找一大值;
1*
F分别为线段ARADDB上的任意点,则PE+PF;
4V■押
V力
+bx+c与直线y=^x+3交于A,B两点,交x轴于CD两点,3),C(-3,0)..
「1/
点M,使|MB-MD的值最大,并求出这个最,/
\A
(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点,连接于点Q,问:
是否存在点巳使彳导以A相似?
若存在,请求出所有符合条件的点明理由.
PA过点P作PQLPA交y轴
P,Q为顶点的三角形与△ABC
P的坐标;
若小存在,请说
14.如图,在四边形ABCD^,/B=/C=90°
AB>
C口AD=AB+CD
(1)用尺规作/ADC勺平分线DE,交BC于点E,连接AE(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在
(1)的条件下,
①证明:
AE±
DE,
②若CD=2AB=4,点MN分别是AE,AB上的动点,求BM+MN1最小值.
15.如图,抛物线y=ax2+bx+c(aw0)经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点.
(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标;
(2)连接AGBC,N为抛物线上的点且在第四象限,当&
nbc=Saabc时,求N点的坐标;
(3)在
(2)问的条件下,过点C作直线l//x轴,动点P(m,3)在直线l上,动点Q(日
0)在x轴上,连接PMPQNQ当m为何值时,PM+PQ+QN和最小,并求出PM+PQ+QN和的最小值.
16.如图,直线y=5x+5交x轴于点A,交y轴于点C,过A,C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B.
(1)求二次函数的表达式;
(2)连接BC,点N是线段BC上的动点,作NDLx轴交二次函数的图象于点D,求线段ND长度的最大值;
(3)若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点,点
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 将军 饮马 问题 11 模型 例题