勾股定理知识讲解.docx
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勾股定理知识讲解
勾股定理知识点
学习要求:
学习重点是利用计算面积和拼图的方法探索并验证勾股定理借助三角形三边关系来判断一个三角形是否是直角三角形。
难点是各种拼图的理解和勾股定理的应用。
中考执占:
I<7八、、八\、♦
主要考查勾股定理及直角三角形判定条件的应用和勾股数常与三角形其他知识结合
考查。
一、探索勾股定理:
1•勾股定理(重点)
内容:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;
表示方法:
如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2b2c2
即:
直角三角形的三边关系为:
两直角边的平方和等于斜边的平方
注:
勾股定理揭示的是直角三角形三边关系的定理,只使用与直角三角形。
使用勾股定理时
首先确定最长边即斜边。
2•勾股定理的证明(难点)
勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
1图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变
2根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理
常见方法如下:
方法一:
4S
S正方形EFGH
St方形ABCD,
1
4ab
2
(ba)2
c2,化简可证.
b
a
方法二:
见右图四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S4—abc22abc2
2
222
大正方形面积为S(ab)a2abb
所以a2b2c2
111
方法三:
S梯形(ab)(ab),S梯形2SADESABE
222
得证
3•勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐
角三角形(a2b2>c2)和钝角三角形(a2b2vc2的三边就不具有这一特征,因而在
应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形
4•勾股定理的应用(重点)
1已知直角三角形的任意两边长,求第三边
在ABC中,C90,则c.a2—b2,b.c^a2,a.c^b2
2知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系。
3可运用勾股定理解决一些实际问题
4不能直接用勾股定理解决问题可通过添加辅助线转化为直角三角形在用勾股定理
5、勾股定理的应用题型:
折叠问题中的应用;测量问题中的应用;实际生活中的应用;方案问题中的应用。
注:
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题•在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构
造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.
5、例1、如图1是边长分别为a、b的两个正方形,经如图2所示的割补可以得到
边长为c的正方形,且面积等于割补前的两正方形的面积之和•利用这个方法可以
推得或验证勾股定理•现请你通过对图2的观察指出下面对割补过程的理解不正确
的是()
A.割⑤补⑥B.割③补①C.割①补④D.割③补②
解答:
B
2、(2013资阳)如图1,点E在正方形ABCD内,满足AEB90,AE=6,BE=8,则阴影部
分的面积是
60
C.76
D•80
A•48
3、(2013安顺)如图,有两颗树,一颗高10米,另一颗高4米,两树相距8米.一只鸟从
一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢,问小鸟至少飞行()
A.8米B.10米C.12米D.14米
4、如图,在直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(1,4)和(3,0),点C是y轴上的一个动
点,且A、B、C三点不在同一条直线上,当△ABC的周长最小时,点C的坐标是
A.(0,0)B.(0,1)C.(0,2)D.(0,3)
5、如图是一段楼梯,高
BC是3米,斜边AC是5米,若在楼梯上铺地毯,则至少需要地
毯的长是()
A、5mB、6mC、7mD、8m
6、(2011宜宾)如图,矩形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为()
A.3B.4C.5
D.6
7、(2016宿迁)如图,把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为
MN,再过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,折痕为BE.若AB的长为2,则FM的长为
M
圏甲
&图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的
在Rt△ABC中,若直角边AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外
延长一倍,得到图乙所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是(
A.52B.48C.72D.76
9、•如图RtABC,C90AC3,BC4,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积
10、如图ABC中,C90,1
2,CD1.5,BD2.5,求AC的长
分析:
此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来
11、(2016临沂)如图,将一张矩形纸片ABCD折叠,使两个顶点A、C重合,折痕为FG,
若AB=4,BC=8,则△ABF的面积为
.[来源学_科_网]
如图所示,在直SLtO摆繭肴七个正方形,已亂5尸1,$旷2,岔心Sg,另外三*正方形的也长
分刖次乩b,c.
(1)图中RtiABC与全等,刪DE二」a=nAC2+BC2=_.
⑵用上述
(1)中患踰缶咖值.煨示=±ABC与吐BDE的斜辽相芋并且有一介第是盲魚只需
设一牛锐角相等冃阿1
CRE
二、一定是直角三角形吗?
1、直角三角形的判定条件(重点)
222
如果三角形三边长a,b,c满足abc,那么这个三角形是直角三角形,其中c为
斜边
1勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过数转
化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和a2b2与较长
边的平方c2作比较,若它们相等时,以a,b,c为三边的三角形是直角三角形;若
222222
abc,时,以a,b,c为三边的三角形是钝角三角形;若abc,时,以a,b,c为三边的三角形是锐角三角形;
2定理中a,b,c及a2b2c2只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三
边长a,b,c满足a2c2b2,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但是b为
斜边
3勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:
当斜边的平方等于两条直角边的平方和
时,这个三角形是直角三角形
2、勾股数(难点)
1能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即a2b2c2中,a,b,c为
正整数时,称a,b,c为一组勾股数
2记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等
3用含字母的代数式表示n组勾股数:
n21,2n,n21(n2,n为正整数);
2n1,2n22n,2n22n1(n为正整数)
2222
mn,2mn,mn(mn,m,n为正整数)
注:
⑴判断勾股数的方法:
必须满足a2b2c2,必须是正整数,两者缺一不可。
⑵、勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加
思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.
3、例1、已知:
如图,/B=/D=90。
,/A=60°,AB=4,CD=2。
求:
四边形ABCD的面积。
2、如图,是一农民建房时挖地基的平面图,按标准应为长方形,他在挖完后测量了一下,发现AB=DC=8m,AD=BC=6m,AC=9m,请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格
DC
考点:
矩形的判定
分析:
本题是数学问题在生活中的实际应用,所以要把实际问题转化成数学问题来解决,运用直角三角形的判别条件,验证它是否为直角三角形.
4、方案设计方面的应用
如图,铁路AB两站相距25km,C、D是两个工厂位于铁路的同侧,其中CALAB,DBLAB,
且AC=15kmBD=10km
1)尺规作图,在铁路AB上找一个点E建中转站,使得CE=DE请作这个点。
(作CD的中垂线与AB的交点即为E点)
2)此时中转站E距A站多远,请求出来。
三、勾股定理的应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通
常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅
相成,完成对问题的解决.
1、确定几何体上的最短路线(重点)
在平面上解决最短路线的根据是线段的性质:
在平面上,两点之间,线段最短,在
立体图形中,由于有一些面是曲面,两点间的最短路线就不一定是两点间的线段长,
故应将其展开成平面图形,利用平面图形中线段的性质确定最短路线.
例、(2012山东青岛3分)如图,圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点
A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为(
/\
/\
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1
1.
■
1
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*
-
【考点】圆柱的展开,矩形的性质,轴对称的性质,三角形三边关系,勾股定理。
【分析】如图,圆柱形玻璃杯展开(沿点A竖直剖开)后侧面是一个长18宽12的矩形,作点A关于杯上沿MN的对称点B,连接BC交MN于点P,连接BM,过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。
由轴对称的性质和三角形三边关系知AP+PC为蚂蚁到达蜂蜜
的最短距离,且AP=BP。
由已知和矩形的性质,得DC=9,BD=12。
在Rt△BCD中,由勾股定理得BCDC2BD29212215。
:
.AP+PC=BP+PC=BC=15,即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。
%*
%r
*
%
%
2
(2OO9-®施州)如图,长方俸的长为师宽丸讪高为20.点B禹点酣距离为5,—只酬如舉淞长方低的*点谯到晶需要胆濮狀距离是(>
//
||
1
1
1
C
120
V
在b国E.25C.10|5+5D.戏
2、直角三角形的判别法的应用
直角三角形的判别法常用于判断一个角是否是直角或判断三边关系,解题时一般
需构造三角形,再根据三边关系判别该三角形是否为为一边的平方是否等于其它两边的平方和即可.
解答:
直角三角形的判别法常用于判断一个角是否是直角或判断三边关系,解题时
一般需构造三角形,再根据三边关系判别该三角形是否为一边的平方是否等于其它
两边的平方和即可
1
例、如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=AB
4
请问FE与DE是否垂直?
请说明。
常见图形:
专题训练:
一、选择题
1以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是(
A、8,15,17B、4,5,6C、5,8,10
2、、如图,每个小正方形的边长为1,A、B、
C是小正方形的顶点,则/
ABC的度数是(
)
A、90°B、60°
C、45°
D、30°
3、(2012泰安)如图,在矩形
ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交
AD、AC于点E、0,连接CE,贝UCE的长为()
A.3B.3.5C.2.5D.2.8考点:
线段垂直平分线的性质;勾股定理;矩形的性质。
222
4、若厶ABC的三边长a、b、c满足abc506a8b10c,那么△ABC是()
A、锐角三角形、B、直角三角形、C、钝角三角形、D、无法确定
5、△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则厶ABC的周长为()
A.42B.32C.42或32D.37或33
考点:
勾股定理
分析:
本题应分两种情况进行讨论:
(1)当厶ABC为锐角三角形时,在Rt△ABD和Rt△ACD中,运用勾股定理可将BD和CD的长求出,两者相加即为BC的长,从而可将△ABC的周长求出;
(2)当厶ABC为钝角三角形时,在Rt△ABD和Rt△ACD中,运用勾股定理可将BD和CD的长求出,两者相减即为B
、填空题
1直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,则直角三角形的面积为
2、矩形纸片ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,现将纸片折叠压平,使A与C重合,设折痕为EF,则重叠部分△AEF的面积等于.
3、
4、
如图,在正行形月万CQ中,E是AB上—点*AE=ZBEfP
是AC±_一动点,测刖+忠的最小值是.
(2010?
青岛)把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠,使顶点B和点D重合,折
痕为EF.若AB=3cm,BC=5cm,则重叠部分△DEF的面积是cm2.
B恰好落在边AC上,与点B'重合,AE为折痕,则EB'=1.5.
6、如图,△ABC中,有一点P在AC上移动.若AB=AC=5BC=6,则AP+BP+C的最小值为(
A.8B.8.8C.9.8D.10
【答案】C.
三、解答题
1、四边形ABCD中,/B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。
2、如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点
知AB=8cm,BC=10cm,求EF的长。
3、如图,一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙),有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处。
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1-
(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;
⑵当AB=4,BC=4,CC仁5时,求蚂蚁爬过的最短路径的长;
⑶求点B1到最短路径的距离。
4、(2013?
湘西州)如图,Rt△ABC中,/C=90°AD平分/CAB,DE丄AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.
(1)求DE的长;
5、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE丄DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。
6、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且/QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160m。
假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN
上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?
请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒?
7、(2015?
威海)
(1)如图1,已知/ACB=/DCE=90°,AC=BC=6,CD=CE,AE=3,/CAE=45°,求证AD=B。
(2)如图2,已知/ACB=/DCE=90°°/ABC=/CED=/CAE=30°°AC=3,AE=8,求
AD的长.
A
8、(拓展创新)在教材中,我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系,利
用完全相同的四个直角三角形采用拼图的方式验证了勾股定理的正确性。
问题1:
以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形,探究S1+S2与S3的关系(图1).
问题2:
以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形,探究S'+S'与S的关系
(如图2).
问题3:
以直角三角形的三边为直径向形外作半圆,探究S+S〃与S的关系(如图3).
(2012歉•大邑换月考)
(1)中*BCfAC=b,AB=c.若ZC=flO°i如图①根据勾股定理,则J+bZc©若是亘隹三角轨如图②和图③茴你其比勾脍定理,试猜想攀4淀与/的关系,并证朋你的结论.
(2)利用
(1)的结说解答如下间St
SfiiAEC中,函边汗1・1=3,求第三逆的變化范蚩.
【井析】:
1)更②右如二是岳甬三角形,过点A作AI」月G垂束为哦G为鹉根据AD不变由勾殷定理稈岀萼我讹-戏mJ?
-〔心)<业简得出占b咲召團③中,3AEC是钝骨三用影,辻B作BDlACi交ICniL长銭千D.ttCD^ii根抿勾股定忍存伽)24-32-s2=c\
【2)科用
(1)0]圻论代+扉:
>川以貶三角第三边关濡定JI!
1<求解.
tx*
D
(2)由
(1)知I若AAEC是毓角三常球*有a2+b2>匚弓
'*■a=1>b=3?
九勺石严冋,Q护—口XQ
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