届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识):6.4简单线性规划.doc
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课时跟踪检测(三十八) 简单线性规划
1.(2012·三明模拟)已知点(-3,-1)和点(4,-6)在直线3x-2y-a=0的两侧,则a的取值范围为( )
A.(-24,7) B.(-7,24)
C.(-∞,-7)∪(24,+∞) D.(-∞,-24)∪(7,+∞)
2.(2012·广东高考)已知变量x,y满足约束条件则z=3x+y的最大值为( )
A.12 B.11
C.3 D.-1
3.(2012·山东高考)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-y的取值范围是( )
A. B.
C.[-1,6] D.
4.(2013·滨州调研)在直角坐标平面上,不等式组所表示的平面区域的面积为,则t的值为( )
A.-或 B.-5或1
C.1 D.
5.(2013·日照模拟)已知x,y满足约束条件若0≤ax+by≤2,则点(a,b)所形成的区域的面积是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
6.(2012·江西高考)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:
亩)分别为( )
A.50,0 B.30,20
C.20,30 D.0,50
7.(2012·石家庄质检)已知点Q(5,4),动点P(x,y)满足则|PQ|的最小值为________.
8.(2012·通州模拟)定义符合条件的有序数对(x,y)为“和谐格点”,则当a=3时,“和谐格点”的个数是________.
9.(2012·上海高考)满足约束条件|x|+2|y|≤2的目标函数z=y-x的最小值是________.
10.在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积为5,直线mx-y+m=0过该平面区域,求m的最大值.
11.变量x、y满足
(1)设z=,求z的最小值;
(2)设z=x2+y2,求z的取值范围.
12.制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,请你给投资人设计一投资方案,使得投资人获得的利润最大.
1.(2012·山东烟台模拟)已知A(3,),O是坐标原点,点P(x,y)的坐标满足设Z为在上的射影,则Z的取值范围是( )
A.[-,] B.[-3,3]
C.[-,3] D.[-3,]
2.(2013·洛阳模拟)设变量x,y满足约束条件,则z=的最大值为( )
A. B.
C.2 D.1
3.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个,生产一个卫兵需5分钟,生产一个骑兵需7分钟,生产一个伞兵需4分钟,已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元,生产一个骑兵可获利润6元,生产一个伞兵可获利润3元.
(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元);
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少?
答案
课时跟踪检测(三十八)
A级
1.选B 根据题意知(-9+2-a)·(12+12-a)<0.
即(a+7)(a-24)<0,解得-7<a<24.
2.选B 作出如图所示的可行域,当直线z=3x+y经过点(3,2)时,z取得最大值,最大值为11.
3.选A 不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数的几何意义是直线在y轴上截距的相反数,其最大值在点A(2,0)处取得,最小值在点B处取得,即最大值为6,最小值为-.
4.选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.由解得交点B(t,t+2),直线y=x+2与y轴的交点为C(0,2),由平面区域的面积S==,得t2+4t-5=0,解得t=1或t=-5(不合题意,舍去).
5.选B 点(x,y)所在的区域是一个三角形区域,其顶点是(0,0),(2,0),(0,1),由于ax+by必然在这三个点上取得最大值或最小值,故a,b满足不等式组即在坐标平面aOb上,此不等式组表示一个矩形区域,其面积是2.
6.选B 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩,y亩,总利润为z,则z关于x,y的关系式为z=(0.55×4x-1.2x)+(0.3×6y-0.9y)=x+0.9y.
且x,y满足约束条件为
画可行域如图,
设l1:
y=-x,将l1上下平移可知,当直线z=x+0.9y过点A(30,20)(注:
可联立方程组解得点A坐标)时,z取最大值,因此,当总利润z最大时,x=30亩,y=20亩.
7.解析:
不等式组所表示的平面区域如图所示,直线AB的方程为x+y-2=0,过Q点且与直线AB垂直的直线为y-4=x-5,即x-y-1=0,其与直线x+y-2=0的交点为,而B(1,1),A(0,2),因为>1,所以点Q在直线x+y-2=0上的射影不在线段AB上,则|PQ|的最小值即为点Q到点B的距离,故|PQ|min==5.
答案:
5
8.解析:
中的有序数对为(0,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3),共7个.
答案:
7
9.解析:
由题意知约束条件表示的可行域为如图所示的菱形区域,所以当x=2,y=0时,目标函数z=y-x取得最小值-2.
答案:
-2
10.解:
不等式组表示的平面区域如图所示,其中A(a,2a),B.
所以S△OAB=××a=a2=5,
解得a=2,则A(2,4),B(2,-1).
又mx-y+m=0过定点P(-1,0),所以y=mx+m,斜率m的最大值为kPA==.
11.解:
由约束条件
作出可行域如图所示.
由
解得A.
由解得C(1,1).
由解得B(5,2).
(1)z==表示可行域中的点与原点O连线的斜率.
观察图形可知zmin=kOB=.
(2)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知,
dmin=|OC|=,dmax=|OB|=.
故z的取值范围为[2,29].
12.解:
设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目,z代表盈利金额,则有z=x+0.5y,
由题意知
目标函数z=x+0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即可行域.
作直线l0:
x+0.5y=0并平移,当直线经过可行域内的M点时,z最大,这里M点是直线x+y=10与0.3x+0.1y=1.8的交点.
解方程组
得x=4,y=6,此时z=4+0.5×6=7(万元).
∴当x=4,y=6时z取得最大值.
∴投资人用4万元投资甲项目,6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下,使可能的盈利最大.
B级
1.选B 约束条件所表示的平面区域如图.在上的射影为|OA―→|·cosθ=2cosθ(θ为与的夹角),
∵∠xOA=30°,∠xOB=60°,
∴30°≤θ≤150°,cosθ∈,
∴2cosθ∈[-3,3].
2.选A 画出不等式组表示的平面区域为如图中阴影部分.
表示可行域内的点(x,y)与点P(-3,-4)连线的斜率,结合图形可知点P(-3,-4)与可行域内的点A(0,1)连线的斜率最大,故zmax==.
3.解:
(1)依题意每天生产的伞兵个数为100-x-y,
所以利润W=5x+6y+3(100-x-y)
=2x+3y+300(x,y∈N).
(2)约束条件为
整理得
目标函数为W=2x+3y+300,
如图所示,作出可行域.
初始直线l0:
2x+3y=0,平移初始直线经过点A时,W有最大值.
由得最优解为A(50,50),
所以Wmax=550(元).
答:
每天生产卫兵50个,骑兵50个,伞兵0个时利润最大,为550元.
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