四川省德阳市中考数学试题(解析版).doc
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四川省德阳市中考数学试题(解析版).doc
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四川省德阳市2015年中考数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)
1.﹣的倒数为( )
A. B. 3 C. ﹣3 D. ﹣1
2.为了考察一批电视机的使用寿命,从中任意抽取了10台进行实验,在这个问题中样本是( )
A. 抽取的10台电视机
B. 这一批电视机的使用寿命
C. 10
D. 抽取的10台电视机的使用寿命
3.中国的领水面积约为370000km2,将数370000用科学记数法表示为( )
A.37×104 B. 3.7×104 C. 0.37×106 D. 3.7×105
4.如图,已知直线AB∥CD,直线EF与AB、CD相交于N,M两点,MG平分∠EMD,若∠BNE=30°,则∠EMG等于( )
A.15° B. 30° C. 75° D. 150°
5.下列事件发生的概率为0的是( )
A. 射击运动员只射击1次,就命中靶心
B. 任取一个实数x,都有|x|≥0
C. 画一个三角形,使其三边的长分别为8cm,6cm,2cm
D. 抛掷一枚质地均匀且六个面分别刻有1到6的点数的正方体骰子,朝上一面的点数为6
6.如图,已知⊙O的周长为4π,的长为π,则图中阴影部分的面积为( )
A.π﹣2 B. π﹣ C. π D. 2
7.某商品的外包装盒的三视图如图所示,则这个包装盒的体积是( )
A.200πcm3 B. 500πcm3 C. 1000πcm3 D. 2000πcm3
8.将抛物线y=﹣x2+2x+3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方,图象的剩余部分不变,得到一个新的函数图象,那么直线y=x+b与此新图象的交点个数的情况有( )种.
A.6 B. 5 C. 4 D. 3
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点,则∠B的度数是( )
A.60° B. 45° C. 30° D. 75°
10.如图,在一次函数y=﹣x+6的图象上取一点P,作PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B,且矩形PBOA的面积为5,则在x轴的上方满足上述条件的点P的个数共有( )
A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
11.如图,在五边形ABCDE中,AB=AC=AD=AE,且AB∥ED,∠EAB=120°,则∠DCB=( )
A.150° B. 160° C. 130° D. 60°
12.已知m=x+1,n=﹣x+2,若规定y=,则y的最小值为( )
A.0 B. 1 C. ﹣1 D. 2
二、填空题(每小题3分,共15分)
13.分解因式:
a3﹣a= .
14.不等式组的解集为 .
15.在某次军事夏令营射击考核中,甲、乙两名同学各进行了5次射击,射击成绩如图所示,则这两人中水平发挥较为稳定的是 同学.
16.如图,在直角坐标系xOy中,点A在第一象限,点B在x轴的正半轴上,△AOB为正三角形,射线OC⊥AB,在OC上依次截取点P1,P2,P3,…,Pn,使OP1=1,P1P2=3,P2P3=5,…,Pn﹣1Pn=2n﹣1(n为正整数),分别过点P1,P2,P3,…,Pn向射线OA作垂线段,垂足分别为点Q1,Q2,Q3,…,Qn,则点Qn的坐标为 .
17.下列四个命题中,正确的是 (填写正确命题的序号)
①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点;
②函数y=(1﹣a)x2﹣4x+6与x轴只有一个交点,则a=;
③半径分别为1和2的两圆相切,则两圆的圆心距为3;
④若对于任意x>1的实数,都有ax>1成立,则a的取值范围是a≥1.
三、解答题(共69分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18.计算:
2﹣1+tan45°﹣|2﹣|+÷.
19.如图,四边形ABCD为菱形,M为BC上一点,连接AM交对角线BD于点G,并且∠ABM=2∠BAM.
(1)求证:
AG=BG;
(2)若点M为BC的中点,同时S△BMG=1,求三角形ADG的面积.
20.(11分)(2015•德阳)希望学校八年级共有4个班,在世界地球日来临之际,每班各选拔10名学生参加环境知识竞赛,评出了一、二、三等奖各若干名,校学生会将获奖情况绘制成如图所示的两幅不完整的统计图,请依据图中信息解答下列问题:
(1)本次竞赛获奖总人数为 人;获奖率为 ;
(2)补全折线统计图;
(3)已知获得一等奖的4人为每班各一人,学校采取随机抽签的方式在4人中选派2人参加上级团委组织的“爱护环境、保护地球”夏令营,请用列举法求出抽到的两人恰好来自二、三班的概率.
21.如图,直线y=x+1和y=﹣x+3相交于点A,且分别与x轴交于B,C两点,过点A的双曲线y=(x>0)与直线y=﹣x+3的另一交点为点D.
(1)求双曲线的解析式;
(2)求△BCD的面积.
22.大华服装厂生产一件秋冬季外套需面料1.2米,里料0.8米,已知面料的单价比里料的单价的2倍还多10元,一件外套的布料成本为76元.
(1)求面料和里料的单价;
(2)该款外套9月份投放市场的批发价为150元/件,出现购销两旺态势,10月份进入批发淡季,厂方决定采取打折促销.已知生产一件外套需人工等固定费用14元,为确保每件外套的利润不低于30元.
①设10月份厂方的打折数为m,求m的最小值;(利润=销售价﹣布料成本﹣固定费用)
②进入11月份以后,销售情况出现好转,厂方决定对VIP客户在10月份最低折扣价的基础上实施更大的优惠,对普通客户在10月份最低折扣价的基础上实施价格上浮.已知对VIP客户的降价率和对普通客户的提价率相等,结果一个VIP客户用9120元批发外套的件数和一个普通客户用10080元批发外套的件数相同,求VIP客户享受的降价率.
23.如图,已知BC是⊙O的弦,A是⊙O外一点,△ABC为正三角形,D为BC的中点,M为⊙O上一点,并且∠BMC=60°.
(1)求证:
AB是⊙O的切线;
(2)若E,F分别是边AB,AC上的两个动点,且∠EDF=120°,⊙O的半径为2,试问BE+CF的值是否为定值?
若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
24.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(﹣3,0),与y轴交于点C,且OC=OB.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE,CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求出此时点E的坐标;
(3)点P在抛物线的对称轴上,若线段PA绕点P逆时针旋转90°后,点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上,求点P的坐标.
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)
1.﹣的倒数为( )
A. B. 3 C. ﹣3 D. ﹣1
考点:
倒数..
分析:
直接根据倒数的定义即可得出结论.
解答:
解:
∵(﹣)×(﹣3)=1,
∴﹣的倒数为﹣3.
故选C.
点评:
本题考查的是倒数的定义,熟知乘积是1的两数互为倒数是解答此题的关键.
2.为了考察一批电视机的使用寿命,从中任意抽取了10台进行实验,在这个问题中样本是( )
A. 抽取的10台电视机
B. 这一批电视机的使用寿命
C. 10
D. 抽取的10台电视机的使用寿命
考点:
总体、个体、样本、样本容量..
分析:
根据样本的定义即可得出答案.
解答:
解:
根据样本的定义可知为了考察一批电视机的使用寿命,从中任意抽取了10台进行实验,
则10台电视机的使用寿命是样本,
故选D.
点评:
本题主要考查简单随机抽样的有关定义,掌握样本、总体、个体、样本容量等概念是解题的关键.
3.中国的领水面积约为370000km2,将数370000用科学记数法表示为( )
A.37×104 B. 3.7×104 C. 0.37×106 D. 3.7×105
考点:
科学记数法—表示较大的数..
分析:
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
解答:
解:
370000=3.7×105,
故选:
D.
点评:
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
4.如图,已知直线AB∥CD,直线EF与AB、CD相交于N,M两点,MG平分∠EMD,若∠BNE=30°,则∠EMG等于( )
A.15° B. 30° C. 75° D. 150°
考点:
平行线的性质..
分析:
先根据平行线的性质求出∠MND的度数,再由角平分线的定义即可得出结论.
解答:
解:
∵直线AB∥CD,∠BNE=30°,
∴∠DME=∠BNE=30°.
∵MG是∠EMD的角平分线,
∴∠EMG=∠EMD=15°.
故选A.
点评:
本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为:
两直线平行,同位角相等.
5.下列事件发生的概率为0的是( )
A. 射击运动员只射击1次,就命中靶心
B. 任取一个实数x,都有|x|≥0
C. 画一个三角形,使其三边的长分别为8cm,6cm,2cm
D. 抛掷一枚质地均匀且六个面分别刻有1到6的点数的正方体骰子,朝上一面的点数为6
考点:
概率的意义..
专题:
计算题.
分析:
找出不可能事件,即为概率为0的事件.
解答:
解:
事件发生的概率为0的是画一个三角形,使其三边的长分别为8cm,6cm,2cm.
故选C.
点评:
此题考查了概率的意义,熟练掌握概率的意义是解本题的关键.
6.如图,已知⊙O的周长为4π,的长为π,则图中阴影部分的面积为( )
A.π﹣2 B. π﹣ C. π D. 2
考点:
扇形面积的计算;弧长的计算..
分析:
首先根据⊙O的周长为4π,求出⊙O的半径是多少;然后根据的长为π,可得的长等于⊙O的周长的,所以∠AOB=90°;最后用⊙O的面积的减去△AOB的面积,求出图中阴影部分的面积为多少即可.
解答:
解:
∵⊙O的周长为4π,
∴⊙O的半径是r=4π÷2π=2,
∵的长为π,
∴的长等于⊙O的周长的,
∴∠AOB=90°,
∴S阴影==π﹣2.
故选:
A.
点评:
此题主要考查了扇形面积的计算,以及弧长的计算方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确求阴影面积常用的方法:
①直接用公式法;②和差法;③割补法.
7.某商品的外包装盒的三视图如图所示,则这个包装盒的体积是( )
A.200πcm3 B. 500πcm3 C. 1000πcm3 D. 2000πcm3
考点:
由三视图判断几何体..
分析:
首先根据商品的外包装盒的三视图确定几何体的形状是圆柱,然后根据圆柱的体积=底面积×高,求出这个包装盒的体积是多少即可.
解答:
解:
根据图示,可得
商品的外包装盒是底面直径是10cm,高是20cm的圆柱,
∴这个包装盒的体积是:
π×(10÷2)2×20
=π×25×20
=500π(cm3).
故选:
B.
点评:
(1)此题主要考查了由三视图想象几何体的形状,首先分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状,然后综合起来考虑整体形状.
(2)此题还考查了圆柱的体积的求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:
圆柱的体积=底面积×高.
8.将抛物线y=﹣x2+2x+3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方,图象的剩余部分不变,得到一个新的函数图象,那么直线y=x+b与此新图象的交点个数的情况有( )种.
A.6 B. 5 C. 4 D. 3
考点:
二次函数图象与几何变换..
分析:
首先根据题意画出函数图象,然后平移直线y=k+b,找出两函数图象的交点个数即可.
解答:
解:
如图1,所示:
函数图象没有交点.
如图2所示:
函数图象有1个交点.
如图3所示函数图象有3个交点.
如图4所示,图象有两个交点.
如图5所示;函数图象有一个交点.
综上所述,共有4中情况.
故选:
C.
点评:
本题主要考查的是二次函数图象与一次函数图象的交点问题,根据题意画出函数图象是解答此类问题的常用方法.
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点,则∠B的度数是( )
A.60° B. 45° C. 30° D. 75°
考点:
直角三角形斜边上的中线;轴对称的性质..
分析:
根据轴对称的性质可知∠CED=∠A,根据直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质可得∠ECA=∠A,∠B=∠BCE,根据等边三角形的判定和性质可得∠CED=60°,再根据三角形外角的性质可得∠B的度数,从而求得答案.
解答:
解:
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点,
∴∠CED=∠A,CE=BE=AE,
∴∠ECA=∠A,∠B=∠BCE,
∴△ACE是等边三角形,
∴∠CED=60°,
∴∠B=∠CED=30°.
故选:
C.
点评:
本题考查轴对称的性质,直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质,等边三角形的判定和性质,三角形外角的性质,关键是得到∠CED=60°.
10.如图,在一次函数y=﹣x+6的图象上取一点P,作PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B,且矩形PBOA的面积为5,则在x轴的上方满足上述条件的点P的个数共有( )
A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
考点:
一次函数图象上点的坐标特征..
分析:
分两种情况:
①当0<x<6时,②当x<0时列出方程,分别求解即可.
解答:
解:
①当0<x<6时,设点P(x,﹣x+6),
∴矩形PBOA的面积为5,
∴x(﹣x+6)=5,化简x2﹣6x+5=0,解得x1=1,x2=5,
∴P1(1,5),P2(5,1),
②当x<0时,设点P(x,﹣x+6),
∴矩形PBOA的面积为5,
∴﹣x(﹣x+6)=5,化简x2﹣6x﹣5=0,解得x3=3﹣,x4=3+(舍去),
∴P3(3﹣,3+),
∴在x轴的上方满足上述条件的点P的个数共有3个.
故选:
C.
点评:
本题主要考查了一次函数上点的坐标特征,解题的关键是要分两种情况讨论求解.
11.如图,在五边形ABCDE中,AB=AC=AD=AE,且AB∥ED,∠EAB=120°,则∠DCB=( )
A.150° B. 160° C. 130° D. 60°
考点:
等腰三角形的性质;平行线的性质;多边形内角与外角..
分析:
根据两直线平行,同旁内角互补求出∠E,然后判断出△ADE是等边三角形,根据等边三角形的三个角都是60°可得∠EAD=60°,再求出∠BAD=60°,然后根据等腰三角形两底角相等和四边形的内角和等于360°计算即可得解.
解答:
解:
∵AB∥ED,
∴∠E=180°﹣∠EAB=180°﹣120°=60°,
∵AD=AE,
∴△ADE是等边三角形,
∴∠EAD=60°,
∴∠BAD=∠EAB﹣∠DAE=120°﹣60°=60°,
∵AB=AC=AD,
∴∠B=∠ACB,∠ACD=∠ADC,
在四边形ABCD中,∠BCD=(360°﹣∠BAD)=(360°﹣60°)=150°.
故选A.
点评:
本题考查了等腰三角形的性质,平行线的性质,等边三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,以及多边形的内角和,熟记各性质并准确识图,理清图中各角度之间的关系是解题的关键.
12.已知m=x+1,n=﹣x+2,若规定y=,则y的最小值为( )
A.0 B. 1 C. ﹣1 D. 2
考点:
一次函数的性质..
专题:
新定义.
分析:
根据x+1≥﹣x+2和x+1<﹣x+2得出x的取值范围,列出关系式解答即可.
解答:
解:
因为m=x+1,n=﹣x+2,
当x+1≥﹣x+2时,可得:
x≥0.5,则y=1+x+1+x﹣2=2x,则y的最小值为1;
当x+1<﹣x+2时,可得:
x<0.5,则y=1﹣x﹣1﹣x+2=﹣2x+2,则y<1,
故选B.
点评:
此题考查一次函数问题,关键是根据题意列出关系式分析.
二、填空题(每小题3分,共15分)
13.分解因式:
a3﹣a= a(a+1)(a﹣1) .
考点:
提公因式法与公式法的综合运用..
专题:
因式分解.
分析:
先提取公因式a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
解答:
解:
a3﹣a,
=a(a2﹣1),14.不等式组的解集为 ﹣1<x≤3 .
=a(a+1)(a﹣1).
故答案为:
a(a+1)(a﹣1).
点评:
本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用平方差公式进行二次分解,注意要分解彻底.
考点:
解一元一次不等式组..
分析:
分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可.
解答:
解:
由①得x>﹣1,
由②得x≤3.
故原不等式组的解集为﹣1<x≤3.
故答案为:
﹣1<x≤3.
点评:
此题考查的是解一元一次方程组的方法,解一元一次方程组应遵循的法则:
“同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了”的原则.
15.在某次军事夏令营射击考核中,甲、乙两名同学各进行了5次射击,射击成绩如图所示,则这两人中水平发挥较为稳定的是 甲 同学.
考点:
方差;条形统计图..
分析:
先根据平均数的定义分别计算出甲和乙的平均数,甲=乙=7;再根据方差的计算公式S2=[(x1﹣)2+(x2﹣)2+…+(xn﹣)2]计算出它们的方差,然后根据方差的意义即可确定答案.
解答:
解:
∵甲=(6+7+6+8+8)=7,乙=(5+7+8+8+7)=7;
∴S2甲=[(6﹣7)2+(7﹣7)2+(6﹣7)2+(8﹣7)2+(8﹣7)2=,
S2乙=[(5﹣7)2+(7﹣7)2+(8﹣7)2+(8﹣7)2+(7﹣7)2=;
∴S2甲<S2乙,
∴甲在射击中成绩发挥比较稳定.
故答案为:
甲.
点评:
本题考查了方差的定义和意义:
数据x1,x2,…xn,其平均数为,则其方差S2=[(x1﹣)2+(x2﹣)2+…+(xn﹣)2];方差反映了一组数据在其平均数的左右的波动大小,方差越大,波动越大,越不稳定;方差越小,波动越小,越稳定.
16.如图,在直角坐标系xOy中,点A在第一象限,点B在x轴的正半轴上,△AOB为正三角形,射线OC⊥AB,在OC上依次截取点P1,P2,P3,…,Pn,使OP1=1,P1P2=3,P2P3=5,…,Pn﹣1Pn=2n﹣1(n为正整数),分别过点P1,P2,P3,…,Pn向射线OA作垂线段,垂足分别为点Q1,Q2,Q3,…,Qn,则点Qn的坐标为 (n2,n2) .
考点:
相似三角形的判定与性质;坐标与图形性质..
专题:
规律型.
分析:
利用特殊直角三角形求出OPn的值,再利用∠AOB=60°即可求出点Qn的坐标.
解答:
解:
∵△AOB为正三角形,射线OC⊥AB,
∴∠AOC=30°,
又∵Pn﹣1Pn=2n﹣1,PnQn⊥OA,
∴OQn=(OP1+P1P2+P2P3+…+Pn﹣1Pn)=(1+3+5+…+2n﹣1)=n2,
∴Qn的坐标为(n2•cos60°,n2•sin60°),
∴Qn的坐标为(n2,n2).
故答案为:
(n2,n2).
点评:
本题主要考查了坐标与图形性质,解题的关键是正确的求出OQn的值.
17.下列四个命题中,正确的是 ①④ (填写正确命题的序号)
①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点;
②函数y=(1﹣a)x2﹣4x+6与x轴只有一个交点,则a=;
③半径分别为1和2的两圆相切,则两圆的圆心距为3;
④若对于任意x>1的实数,都有ax>1成立,则a的取值范围是a≥1.
考点:
命题与定理..
分析:
根据三角形的外心定义对①进行判断;利用分类讨论的思想对②③进行判断;根据不等式的性质对④进行判断.
解答:
解:
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点,所以①正确;
函数y=(1﹣a)x2﹣4x+6与x轴只有一个交点,则a=或1,所以②错误;
半径分别为1和2的两圆相切,则两圆的圆心距为1或3;
若对于任意x>1的实数,都有ax>1成立,则a的取值范围是a≥1,所以④正确.
故答案为:
①④.
点评:
本题考查了命题与定理:
判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果…那么…”形式.有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.
三、解答题(共69分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18.计算:
2﹣1+tan45°﹣|2﹣|+÷.
考点:
实数的运算;负整数指数幂;特殊角的三角函数值..
分析:
分别根据特殊角的三角函数值、绝对值的性质及负整数指数幂的计算法则分别计算出各数,再根据实数混合运算的法则进行计算即可;
解答:
解:
原式=+1﹣(3﹣2)+3÷2
=﹣1+
=2.
点评:
本题考查的是分式的化简求值,熟知特殊角的三角函数值、绝对值的性质及负整数指数幂的计算法则是解答此题的关键.
19.如图,四边形ABCD为菱形,M为BC上一点,连接AM交对角线BD于点G,并且∠ABM=2∠BAM.
(1)求证:
AG=BG;
(2)若点M为BC的中点,同时S△BMG=1,求三角形ADG的面积.
考点:
菱形的性质..
分析:
(1)根据菱形的对角线平分一组对角,得出∠ABD=∠CBD,再根据∠ABM=2∠BAM,得出∠ABD=∠BAM,然后根据等角对等边证明即可.
(2)根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得.
解答:
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABD=∠CBD,
∵∠ABM=2∠BAM,
∴∠ABD=∠BAM,
∴AG=BG;
(2)解:
∵AD∥BC,
∴△ADG∽△MBG,
∴=,
∵点M为BC的中点,
∴=2,
∴=()2=4
∵S△BMG=1,
∴S△ADG=4.
点评:
本题考查了菱形的性质,等腰三角形的判定,三角形相似的判定和性质,熟练掌握性质定理是解题的关键.
20.希望学校八年级共有4个班,在世界地球日来临之际,每班各选拔10名学生参加环境知识竞赛,评出了一、二、三等奖各若干名,校学生会将获奖情况绘制成如图所示的两幅不完整的统计图,请依据图中信息解答下列问题:
(1)本次竞赛获奖总人数为 20 人;获奖率为 50% ;
(2)补全折线统计图;
(3)已知获得一等奖的4人为每班各一人,学校采取随机抽签的方式在4人中选派2人参加上级团委组织的“爱护环境、保护地球”夏令营,请用列举法求
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