第2章 特殊三角形单元测试B卷提升篇浙教版学年八年级数学同步单元双基双测AB卷解析版Word格式文档下载.docx
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2=36°
.
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质,已知提供的度数并没有说明其为底角还是顶角,所以需要分类讨论解决.
4.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠E=35°
,则∠BAC的度数为( )
A.40°
B.45°
C.60°
D.70°
【思路点拨】根据平行线的性质可得∠CBD的度数,根据角平分线的性质可得∠CBA的度数,根据等腰三角形的性质可得∠C的度数,根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数.
∵AE∥BD,
∴∠CBD=∠E=35°
,
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBA=70°
∵AB=AC,
∴∠C=∠CBA=70°
∴∠BAC=180°
﹣70°
×
2=40°
【点睛】考查了平行线的性质,角平分线的性质,等腰三角形的性质和三角形内角和定理.关键是得到∠C=∠CBA=70°
5.(3分)(2019春•兰州期末)如图,在△ABC中,∠B与∠C的角平分线相交于点I,过点I作BC的平行线,分别交AB、AC于点D、E.若AB=9,AC=6,BC=8,则△ADE的周长是( )
A.14B.15C.17
【思路点拨】证明△ADE的周长=AD+DI+IE+EA=AB+AC,即可解决问题.
∵BI平分∠DBC,
∴∠DBI=∠CBI,
又∵DE∥BC,
∴∠DIB=∠IBC,
∴∠DIB=∠DBI,
∴BD=DI.
同理CE=EI.
∴△ADE的周长=AD+DI+IE+EA=AB+AC=15,
B.
【点睛】本题重点考查了等腰三角形的判定,即等角对等边,得到等腰三角形后,再进一步运用性质解答问题.
6.(3分)(2019春•渝中区校级期末)如图,AE垂直于∠ABC的平分线交于点D,交BC于点E,CE=
BC,若△ABC的面积为2,则△CDE的面积为( )
【思路点拨】先证明△ADB≌△EBD,从而可得到AD=DE,然后先求得△AEC的面积,接下来,可得到△CDE的面积.
∴∠ABD=∠EBD.
∵AE⊥BD,
∴∠ADB=∠EDB.
在△ADB和△EDB中,∠ABD=∠EBD,BD=BD,∠ADB=∠EDB,
∴△ADB≌△EBD,
∴AD=ED.
∵CE=
BC,△ABC的面积为2,
∴△AEC的面积为
又∵AD=ED,
∴△CDE的面积=
△AEC的面积=
【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定,掌握等高的两个三角形的面积比等于底边长度之比是解题的关键.
7.(3分)1.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC的中点,MN⊥AC于点N,则MN等于( )
【思路点拨】连接AM,根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC,根据勾股定理求得AM的长,再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长.
连接AM,
∵AB=AC,点M为BC中点,
∴AM⊥CM(三线合一),BM=CM,
∵AB=AC=5,BC=6,
∴BM=CM=3,
在Rt△ABM中,AB=5,BM=3,
∴根据勾股定理得:
AM=
=
=4,
又S△AMC=
MN•AC=
AM•MC,
∴MN=
【点睛】综合运用等腰三角形的三线合一,勾股定理.特别注意结论:
直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边.
8.(3分)(2019春•硚口区月考)直角三角形的两条直角边为a、b,斜边为c,斜边上的高为h,下列结论:
①a2+b2=c2;
②ab=ch;
③
.其中正确的是( )
A.①B.①②③C.①②D.①③
【思路点拨】利用直角三角形的面积及勾股定理求证每一个选项,即可得出结论.
∵直角三角形的两条直角边为a、b,斜边为c,斜边上的高为h,
∴由勾股定理可知:
a2+b2=c2,①正确;
这个直角三角形的面积=
ab=
ch,
∴ab=ch,②正确;
∴a2b2=c2h2,
∴
=
,③正确.
【点睛】本题考查了直角三角形的面积及勾股定理的综合应用,解题的关键是正确运用勾股定理和三角形面积进行变形.
9.(3分)如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°
,P为BC中点,∠EPF=90°
,给出四个结论:
①∠B=∠BAP;
②AE=CF;
③PE=PF;
④S四边形AEPF=
S△ABC,其中成立的有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
【思路点拨】对直角三角形、等腰三角形的边,角及面积进行考查,利用等腰三角形的性质得出角相等,利用全等三角形求得边相等以及面积相等.
∵AB=AC,∠BAC=90°
,P为BC中点,∴①正确;
∠B=∠PAC=45°
∵∠BPE+∠EPA=90°
,∠EPA+∠APF=90°
∴∠BPE=∠APF,又AP为公共边,
∴△PBE≌△PAF,∴BE=AF,又AB=AC,∴AE=CF,∴②正确;
②中,△PBE≌△PAF,∴PE=PF,∴③正确,
∵△PFC≌△PEA,△PBE≌△PAF,∴④也正确
所以①②③④都正确,故选A.
【点睛】熟练掌握等腰三角形及直角三角形的性质,能够利用勾股定理及全等三角形解一些简单问题.
10.(3分)(2019•港南区四模)如图,点P是∠AOB内任意一点,∠AOB=30°
,OP=8,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小值为( )
A.5B.6C.8D.10
【思路点拨】设点P关于OA的对称点为C,关于OB的对称点为D,当点M、N在CD上时,△PMN的周长最小.
分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交OA、OB于点M、N,连接OP、OC、OD、PM、PN.
∵点P关于OA的对称点为C,关于OB的对称点为D,
∴PM=CM,OP=OC,∠COA=∠POA;
∵点P关于OB的对称点为D,
∴PN=DN,OP=OD,∠DOB=∠POB,
∴OC=OD=OP=8cm,∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°
∴△COD是等边三角形,
∴CD=OC=OD=8.
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=8,
【点睛】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题,熟知两点之间线段最短是解答此题的关键.
二.填空题(共6小题,每小题4分,共24分)
11.(4分)(2019春•广丰区期末)已知一个直角三角形的两条边长分别为5cm、12cm,那么第三条边的长是 13cm或
cm .
【思路点拨】分①12是直角边时,②12是斜边时两种情况,根据勾股定理即可得到结论.
①12是直角边时,根据勾股定理,斜边=
=13cm,
②12是斜边时,根据勾股定理,第三条边的长=
cm,
故答案为:
13cm或
cm.
【点睛】本题考查了勾股定理,注意要分情况讨论.
12.(4分)(2019•江汉区模拟)如图所示,△ABC中,AB=AC,过AC上一点E作DE⊥AC,EF⊥BC,垂足分别为E,F,若∠BDE=140°
,则∠DEF= 65°
.
【思路点拨】由DE⊥AC,∠BDE=140°
,可计算出∠A,再利用等腰三角形的性质求出∠C,最后利用EF⊥BC及同角的余角相等得到∠DEF的度数.
∵DE⊥AC,∠BDE=140°
∴∠A=50°
又∵AB=AC,
∴∠C=
=65°
∵EF⊥BC,
∴∠DEF=∠C=65°
65°
【点睛】考查了垂直的性质,等腰三角形的性质和三角形的外角性质.
13.(4分)如图,在△ABC中,∠A=60°
,BE⊥AC,垂足为E,CF⊥AB,垂足为F,BE,CF交于点M.如果CM=4,FM=5,则BE等于12
【思路点拨】首先利用三角形内角和定理计算出∠1=∠2=30°
,再根据含30度角的直角三角形的性质:
在直角三角形中,30°
角所对的直角边等于斜边的一半可算出BM、EM的长,进而得到答案.
∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠AFC=90°
,∠AEB=90°
∵∠A=60°
∴∠1=∠2=30°
在Rt△EMC中,∵MC=4,
∴EM=2,
在Rt△FBM中,∵FM=5,
∴MB=2FM=10,
∴EB=12.
答案为:
12
【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质,关键是掌握在直角三角形中,30°
角所对的直角边等于斜边的一半.
14.(4分)(2019春•阜阳期中)在△ABC中,已知AC=10cm,BC=3
cm,AB边上的高CD=6cm,则AB= 11cm或5cm .
【思路点拨】分点D在线段BC上、线段BC的延长线上两种情况,根据勾股定理计算即可.
如图1,在Rt△ACD中,AD=
=8,
在Rt△BCD中,BD=
=3,
∴AB=AD+BD=11(cm),
如图2,AB=AD﹣BD=5(cm),
则AB=11cm或5cm,
11cm或5cm.
【点睛】本题考查的是勾股定理,如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
15.(4分)等腰三角形一腰的中线把三角形的周长分成18cm和12cm两部分,则等腰三角形的底边长为 6或14 .
【思路点拨】根据题意,已知所给出的两部分哪一部分含有底边不明确,所以分两种情况讨论,还要用三边关系验证能否组成三角形.
设等腰三角形的腰长是x,底边是y,
根据题意得
或
,解得
经检验,均符合三角形的三边关系.
因此三角形的底边是6或14.
故填6或14.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;
已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.
16.(4分)(2019春•大埔县期末)如图,已知S△ABC=10m2,AD平分∠BAC,直线BD⊥AD于点D,交AC于点E,连接CD,则S△ADC= 5 m2.
【思路点拨】根据明△ADC的面积是△ABC面积的一半,从而可以解答本题.
由已知可得,
∠BAD=∠EAD,∠ADB=∠ADE=90°
,AD=AD,
∴△ADB≌△ADE,
∴BD=DE,
∴△ADB的面积等于△ADE的面积,△CDB的面积等于△CDE的面积,
∵S△ABC=10m2,
∴S△ADC=5m2,
5.
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形的面积,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.
三.解答题(共7小题,共66分)
17.(6分)(2019春•萍乡期末)已知:
钝角△ABC.
(1)作出△ABC中的BC边上的高AD;
(2)以AD所在直线为对称轴,作出△ABC的轴对称图形△AB′C′.
【思路点拨】
(1)依据高线的定义,即可作出△ABC中的BC边上的高AD;
(2)依据轴对称的性质,即可作出△ABC的轴对称图形△AB′C′.
(1)如图所示,AD即为所求;
(2)如图所示,△AB′C′即为所求.
【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图,掌握轴对称的性质是解决问题的关键.
18.(8分)(2019春•和平区期末)如图,在四边形ABCD中,AB=AD=
,∠A=90°
,∠CBD=30°
,∠C=45°
,求BD及CD的长.
【思路点拨】作DE⊥BC于E,根据勾股定理求出BD,根据直角三角形的性质求出DE,根据等腰直角三角形的性质计算求出CD.
作DE⊥BC于E,
在Rt△ABD中,BD=
=2,
在Rt△DEB中,∠CBD=30°
∴DE=
BD=1,
在Rt△EDC中,∠C=45°
∴EC=DE=1,
由勾股定理得,CD=
【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质,如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
19.(8分)如图1,有一个面积为1的正方形,经过一次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形,如图2,其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形.再经过一次“生长”后,变成图3;
“生长”10次后,变成图4.如果继续“生长”下去,它将变得更加“枝繁叶茂”.
(1)随着不断的“生长”,形成的图形中所有正方形的面积和也随之变化.若生长n次后,变成的图中所有正方形的面积用Sn表示,则Sn= n+1 ;
(2)S0= 1 ,S1= 2 ,S2= 3 ,S3= 4 ;
(3)S0+S1+S2+…+S10= 66 .
【思路点拨】根据勾股定理,发现:
经过一次生长后,两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积,故经过一次生长后,所有正方形的积和等于2;
依此类推,经过n次生长后,所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的(n+1)倍.
(1)根据勾股定理以及正方形的面积公式,可以发现:
经过n次生长后,所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的(n+1)倍.故为n+1;
(2)1,2,3,4;
(3)根据上述规律,得:
原式=1+2+3+…+11=12×
5+6=66.
【点睛】注意根据勾股定理发现规律,还要注意1+2+…+11的简便计算方法,原式=12×
20.(10分)(2018秋•天津期末)如图,在△ABC中,已知AB=AC,AD是BC边上的中线,点E是AB边上一动点,点P是AD上的一个动点.
(1)若∠BAD=37°
,求∠ACB的度数;
(2)若BC=6,AD=4,AB=5,且CE⊥AB时,求CE的长;
(3)在
(2)的条件下,请直接写出BP+EP的最小值.
(1)利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题.
(2)利用面积法即可解决问题.
(3)连接PC,把问题转化为两点之间线段最短.
(1)∵AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC,
∵AD是BC边上的中线,
∴∠ADB=90°
∵∠BAD=37°
∴∠ABC=53°
∴∠ACB=53°
(2)∵CE⊥AB,
•BC•AD=
•AB•CE,
∵BC=6,AD=4,AB=5,
∴CE=
(3)连接PC.
∵AD垂直平分线段BC,
∴PB=PC.
∴PB+PE=PE+PC≥CE,
∴PE+PB的最小值为
【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题,等腰三角形的性质,点到直线的距离垂线段最短等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题.
21.(10分)如图
(1),等边△ABC中,D是AB边上的动点,以CD为一边,向上作等边△EDC,连接AE.
(1)△DBC和△EAC会全等吗?
请说说你的理由;
(2)试说明AE∥BC的理由;
(3)如图
(2),将
(1)动点D运动到边BA的延长线上,所作仍为等边三角形,请问是否仍有AE∥BC?
证明你的猜想.
(1)要证两个三角形全等,已知的条件有AC=BC,CE=CD,我们发现∠BCD和∠ACE都是60°
减去一个∠ACD,因此两三角形全等的条件就都凑齐了(SAS);
(2)要证AE∥BC,关键是证∠EAC=∠ACB,由于∠ACB=∠ACB,那么关键是证∠EAC=∠ACB,根据
(1)的全等三角形,我们不难得出这两个角相等,也就得出了证平行的条件.
(3)同
(1)
(2)的思路完全相同,也是通过先证明三角形BCD和ACE全等,得出∠EAC=∠B=60°
,又由∠ABC=∠ACB=60°
,得出这两条线段之间的内错角相等,从而得出平行的结论.
(1)△DBC和△EAC会全等
证明:
∵∠ACB=60°
,∠DCE=60°
∴∠BCD=60°
﹣∠ACD,∠ACE=60°
﹣∠ACD
∴∠BCD=∠ACE
在△DBC和△EAC中,
∵
∴△DBC≌△EAC(SAS),
(2)∵△DBC≌△EAC
∴∠EAC=∠B=60°
又∠ACB=60°
∴∠EAC=∠ACB
∴AE∥BC
(3)结论:
AE∥BC
理由:
∵△ABC、△EDC为等边三角形
∴BC=AC,DC=CE,∠BCA=∠DCE=60°
∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE
又∵∠ACB=60°
∴AE∥BC.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质;
本题中
(1)
(2)问实际是告诉解(3)题的步骤,通过全等三角形来得出角相等是解题的关键.
22.(12分)(2019春•浦东新区期末)已知:
如图,在△ABC中,点D,E是边BC上的两点,且AB=BE,AC=CD.
(1)若∠BAC=90°
,求∠DAE的度数;
(2)若∠BAC=120°
,直接写出∠DAE的度数;
(3)设∠BAC=α,∠DAE=β,猜想α与β的之间数量关系(不需证明).
(1)根据等腰三角形性质得出∠BAE=∠BEA,∠CAD=∠CDA,根据三角形内角和定理得出∠B=180°
﹣2∠BAE①,∠C=180°
﹣2∠CAD②,①+②得出∠B+∠C=360°
﹣2(∠BAE+∠CAD),求出2∠DAE=180°
﹣∠BAC,代入求出即可;
(2),(3)同
(1).
(1)∵BE=BA,
∴∠BAE=∠BEA,
∴∠B=180°
﹣2∠BAE,①
∵CD=CA,
∴∠CAD=∠CDA,
∴∠C=180°
﹣2∠CAD,②
①+②得:
∠B+∠C=360°
﹣2(∠BAE+∠CAD)
∴180°
﹣∠BAC=360°
﹣2[(∠BAD+∠DAE)+(∠DAE+∠CAE)],
∴﹣∠BAC=180°
﹣2[(∠BAD+∠DAE+∠CAD)+∠DAE],
﹣2(∠BAC+∠DAE),
∴2∠DAE=180°
﹣∠BAC.
∵∠BAC=90°
﹣90°
=90°
∴∠DAE=45°
(2)由
(1)知,∠DAE=
(180°
﹣∠BAC)=
﹣120°
)=30°
(3)由
(1)知,β=
﹣α),
∴α+2β=180°
【点睛】本题考查了三角形内角和定理,等腰三角形的性质的应用,关键是推出2∠DAE=180°
23.(12分)(2019春•宁德期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°
,点D从点B出发,沿B→C方向运动到点C(D不与B,C重合),连接AD,作∠ADE=30°
,DE交线段AC于点E,设∠BAD=x°
,∠AED=y°
(1)当BD=AD时,求∠DAE的度数;
(2)求y与x的关系式;
(3)当BD=CE时,求x的值.
【思路点拨】当BD=AD时△ABD为等腰三角形,尤其性质可得到∠DAE的度数;
y与x的关系由三角形内角和得到;
当BD=CE时,得到△ABD≌△DCE,由此求x的值.
(1)当BD=AD时,∠B=∠BAD=30°
,∵△ABC等腰三角形,∴∠BAC=120°
,∴∠DAE=∠BAC﹣∠BAD=120°
﹣30°
(2)由题可知,∠BAD+∠DAE=120°
即x+∠DAE=120
∠AED+∠DAE=180°
﹣∠ADE=150°
即y+∠DAE=150
两式相减得y﹣x=30即y=x+30
(3)由题可知,∠B+∠BAD=∠DAE+∠EDC且∠B=∠DAE=30°
∴∠BAD=∠EDC=x
又∵∠B=∠C和BD=CE
∴△ABD≌△DCE
∴CD=AB=AC
∴△ACD为等腰三角形且∠C=30°
∴∠DAE=75°
∴x=∠BAC﹣∠DAE=120°
﹣75°
=45
即x=45
【点睛】本题主要考查等腰三角形得性质,熟练掌握三角形全等是解答本题的关键.
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