中考复习练习胡不归问题专题训练含答案解析.docx
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中考复习练习胡不归问题专题训练含答案解析
2020 年中考复习练习胡不归问题专题训练解析
一.试题(共 8 小题)
1.如图,△ABC 在直角坐标系中,AB=AC,A(0,2),C(1,0),D 为射线 AO 上一
点,一动点 P 从 A 出发,运动路径为 A→D→C,点 P 在 AD 上的运动速度是在 CD 上的
3 倍,要使整个运动时间最少,则点 D 的坐标应为()
A.(0,)B.(0,)C.(0,)D.(0,)
2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A(﹣1,0),B(0,
﹣),C(2,0),其对称轴与 x 轴交于点 D
(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;
(2)若 P 为 y 轴上的一个动点,连接 PD,则 PB+PD 的最小值为;
(3)M(x,t)为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点 N,使得以 A,B,M,N 为顶点的四边形为菱形,则这样的点 N 共有
个;
②连接 MA,MB,若∠AMB 不小于 60°,求 t 的取值范围.
3.如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 上有一动点 P,BC=6,∠ABC=150°,则线段 AP+BP+PD
的最小值为.
第1页(共27页)
4.如图,在△ACE 中,CA=CE,∠CAE=30°,⊙O 经过点 C,且圆的直径 AB 在线段 AE
上.
(1)试说明 CE 是⊙O 的切线;
(
)若ACE 中 AE 边上的高为 h,试用含 h 的代数式表示⊙O 的直径 AB;
(3)设点 D 是线段 AC 上任意一点(不含端点),连接 OD,当 CD+OD 的最小值为 6
时,求⊙O 的直径 AB 的长.
5.如图,抛物线 y= x2+mx+n 与直线 y=﹣ x+3 交于 A,B 两点,交 x 轴于 D,C 两点,
连接 AC,BC,已知 A(0,3),C(3,0).
(Ⅰ)求抛物线的解析式和 tan∠BAC 的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下:
(1)P 为 y 轴右侧抛物线上一动点,连接 PA,过点 P 作 PQ⊥PA 交 y 轴于点 Q,问:
是
否存在点 P 使得以 A,P,Q 为顶点的三角形与△ACB 相似?
若存在,请求出所有符合条
件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
,
(2)设 E 为线段 AC 上一点(不含端点) 连接 DE,一动点 M 从点 D 出发,沿线段 DE
以每秒一个单位速度运动到 E 点,再沿线段 EA 以每秒
当点 E 的坐标是多少时,点 M 在整个运动中用时最少?
个单位的速度运动到 A 后停止,
6.如图,已知抛物线 y=ax2﹣2ax﹣3a(a 为常数,且 a>0)与 x 轴从左至右依次交于 A,
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B 两点,与 y 轴交于点 C,经过点 B 的直线 y=﹣
x+b 与抛物线的另一交点为 D,与 y
轴交于点 E,且 DE:
BE=2:
3.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设 P 为线段 BD 上一点(不含端点),连接 AP,一动点 M 从点 A 出发,沿线段 AP
以每秒 1 个单位的速度运动到 P,再沿线段 PD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止.当
点 P 的坐标是多少时,点 M 在整个运动过程中用时最少?
(
)将ABC 绕点 B 顺时针旋转 α(0°<α<180°),当点 A 的对应点 A
落在ECB
的边所在直线上时,求此时点 C 的对应点 C'的坐标.
7.二次函数 y=ax2﹣2x+c 的图象与 x 轴交于 A、C 两点,点 C(3,0),与 y 轴交于点 B(0,
﹣3).
(1)a=,c=;
(2)如图 1,P 是 x 轴上一动点,点 D(0,1)在 y 轴上,连接 PD,求
小值;
(3)如图 2,点 M 在抛物线上,若
MBC=3,求点 M 的坐标.
PD+PC 的最
8.已知抛物线 y=a(x+3)(x﹣1)(a≠0),与 x 轴从左至右依次相交于 A、B 两点,与 y
轴相交于点 C,经过点 A 的直线 y=﹣x+b 与抛物线的另一个交点为 D.
(1)若点 D 的横坐标为 2,求抛物线的函数解析式;
第3页(共27页)
(2)若在
(1)的条件下,抛物线上存在点
,使得ACP 是以 AC 为直角边的直角三
角形,求点 P 的坐标;
(3)在
(1)的条件下,设点 E 是线段 AD 上的一点(不含端点),连接 BE.一动点 Q
从点 B 出发,沿线段 BE 以每秒 1 个单位的速度运动到点 E,再沿线段 ED 以每秒个
单位的速度运动到点 D 后停止,问当点 E 的坐标是多少时,点 Q 在整个运动过程中所用
时间最少?
第4页(共27页)
2020 年中考复习练习胡不归问题专题训练解析
参考答案与试题解析
一.试题(共 8 小题)
1.如图,△ABC 在直角坐标系中,AB=AC,A(0,2),C(1,0),D 为射线 AO 上一
点,一动点 P 从 A 出发,运动路径为 A→D→C,点 P 在 AD 上的运动速度是在 CD 上的
3 倍,要使整个运动时间最少,则点 D 的坐标应为()
A.(0,)B.(0,)C.(0,)D.(0,)
【分析】假设 P 在 AD 的速度为 3,在 CD 的速度为 1,首先表示出总的时间,再根据根
的判别式求出 t 的取值范围,进而求出 D 的坐标.
【解答】解:
假设 P 在 AD 的速度为 3,在 CD 的速度为 1,
设 D 坐标为(0,y),则 AD=2
∴设 t=+,
﹣y,CD= = ,
等式变形为:
t+ y﹣
= ,则 t 的最小值时考虑 y 的取值即可,
∴t2+( y﹣
∴y2+(
)t+( y﹣
﹣ t)y﹣t2+
)2=y2+1,
t+1=0,
△=(
﹣ t)2﹣4× (﹣t2+
t+1)≥0,
∴t 的最小值为
∴y=,
,
∴点 D 的坐标为(0,
故选 D.
),
第5页(共27页)
解法二:
假设 P 在 AD 的速度为 3V,在 CD 的速度为 1V,
总时间 t=+= (+CD),要使 t 最小,就要+CD 最小,
因为 AB=AC=3,过点 B 作 BH⊥AC 交 AC 于点 H,交 OA 于 D,易证△ADH∽△ACO,
所以==3,所以=DH,因为△ABC 是等腰三角形,所以 BD=CD,所以要
+CD 最小,就是要 DH+BD 最小,就要 B、D、H 三点共线就行了.因为△AOC∽△
BOD,所以=,即=
,所以 OD= ,
所以点 D 的坐标应为(0,
).
【点评】本题考查了勾股定理的运用、一元二次方程根的判别式(=
2﹣4ac)判断方
程的根的情况以及坐标于图形的性质题目的综合性较强,难度较大.
2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A(﹣1,0),B(0,
﹣),C(2,0),其对称轴与 x 轴交于点 D
(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;
(2)若 P 为 y 轴上的一个动点,连接 PD,则 PB+PD 的最小值为
;
(3)M(x,t)为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点 N,使得以 A,B,M,N 为顶点的四边形为菱形,则这样的点 N 共有
5个;
②连接 MA,MB,若∠AMB 不小于 60°,求 t 的取值范围.
(
【分析】 1)利用待定系数法转化为解方程组解决问题.
(2)如图 1 中,连接 AB,作 DH⊥AB 于 H,交 OB 于 P,此时 PB+PD 最小.最小值
就是线段 DH,求出 DH 即可.
(3)
先在对称轴上寻找满足ABM 是等腰三角形的点 M,由此即可解决问题.
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②作 AB 的中垂线与 y 轴交于点 E,连接 EA,则∠AEB=120°,以 E 为圆心,EB 为半
径作圆,与抛物线对称轴交于点 F、G.则∠AFB=∠AGB=60°,从而线段 FG 上的点
满足题意,求出 F、G 的坐标即可解决问题.
【解答】解:
(1)由题意解得,
∴抛物线解析式为 y=
x2﹣
x﹣ ,
∵y=x2﹣x﹣
∴顶点坐标( ,﹣
=
).
(x﹣ )2﹣
,
(2)如图 1 中,连接 AB,作 DH⊥AB 于 H,交 OB 于 P,
此时 PB+PD 最小.
理由:
∵OA=1,OB=
,
∴tan∠ABO==,
∴∠ABO=30°,
∴PH= PB,
∴PB+PD=PH+PD=DH,
∴此时 PB+PD 最短(垂线段最短).
在
ADH 中,∵∠AHD=90°,AD= ,∠HAD=60°,
∴sin60°=
∴DH=
,
,
∴PB+PD 的最小值为
.
故答案为.
(3)①以 A 为圆心 AB 为半径画弧与对称轴有两个交点,
以 B 为圆心 AB 为半径画弧与对称轴也有两个交点,
第7页(共27页)
线段 AB 的垂直平分线与对称轴有一个交点,
所以满足条件的点 M 有 5 个,即满足条件的点 N 也有 5 个,
故答案为 5.
② 如图,
AOB 中,∵tan∠ABO=
= ,
∴∠ABO=30°,
作 AB 的中垂线与 y 轴交于点 E,连接 EA,则∠AEB=120°,
以 E 为圆心,EB 为半径作圆,与抛物线对称轴交于点 F、G.
则∠AFB=∠AGB=60°,从而线段 FG 上的点满足题意,
∵EB==
,
∴OE=OB﹣EB=
,
∵F( ,t),EF2=EB2,
∴( )2+(t+
解得 t=
)2=(
或
)2,
,
故 F( ,
∴t 的取值范围
),G( ,
≤t≤
),
第8页(共27页)
【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识,解题的关键
是掌握待定系数法确定函数解析式,学会利用垂线段最短解决实际问题中的最短问题,
学会添加辅助线,构造圆解决角度问题,属于中考压轴题.
3.如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 上有一动点 P,BC=6,∠ABC=150°,则线段 AP+BP+PD
的最小值为6.
【分析】将△ADC 逆时针旋转
°,得到AD′C′,连接 BD′交 AC 于 P,交 AC′
于 E,连接 PD,求出 BD′,证明 PA=PE,PD=ED′,根据两点之间线段最短得到答
案.
【解答】解:
将△ADC 逆时针旋转 60°,得到
′C′,连接 BD′交 AC 于 P,交
AC′于 E,连接 PD,
∵∠BAD=30°,∠DAD′=60°,
∴∠BAD′=90°,又 AB=AD=AD′,
∴BD′==6,
∠ABP=45°,又∠BAP=15°,
∴∠APE=∠PAE=60°,
∴△EAP 为等边三角形,
∴PA=PE,
又∵△APD≌△AED′,
∴PD=ED′,
根据两点之间线段最短,
第9页(共27页)
∴AP+BP+PD 的最小值=PB+PE+ED′=6
故答案为:
6.
,
【点评】本题考查的是菱形的性质、轴对称变换和两点之间线段最短的知识,正确找出
辅助线是解题的关键,注意轴对称变换的性质的正确运用.
4.如图,在△ACE 中,CA=CE,∠CAE=30°,⊙O 经过点 C,且圆的直径 AB 在线段 AE
上.
(1)试说明 CE 是⊙O 的切线;
(
)若ACE 中 AE 边上的高为 h,试用含 h 的代数式表示⊙O 的直径 AB;
(3)设点 D 是线段 AC 上任意一点(不含端点),连接 OD,当 CD+OD 的最小值为 6
时,求⊙O 的直径 AB 的长.
(
【分析】 1)连接 OC,如图 1,要证 CE 是⊙O 的切线,只需证到∠OCE=90°即可;
(2)过点 C 作 CH⊥AB 于 H,连接 OC,如图 2,在
OHC 中运用三角函数即可解决
问题;
(3)作 OF 平分∠AOC,交⊙O 于 F,连接 AF、CF、DF,如图 3,易证四边形 AOCF
是菱形,根据对称性可得 DF=DO.过点 D 作 DH⊥OC 于 H,易得 DH= DC,从而有
CD+OD=DH+FD.根据垂线段最短可得:
当 F、 、 三点共线时,DH+FD(即 CD+OD)
最小,然后在
OHF 中运用三角函数即可解决问题.
【解答】解:
(1)连接 OC,如图 1,
第10页(共27页)
∵CA=CE,∠CAE=30°,
∴∠E=∠CAE=30°,∠COE=2∠A=60°,
∴∠OCE=90°,
∴CE 是⊙O 的切线;
(2)过点 C 作 CH⊥AB 于 H,连接 OC,如图 2,
由题可得 CH=h.
在
OHC 中,CH=OC•sin∠COH,
∴h=OC•sin60°=
∴OC==h,
OC,
∴AB=2OC=
h;
(3)作 OF 平分∠AOC,交⊙O 于 F,连接 AF、CF、DF,如图 3,
则∠AOF=∠COF= ∠AOC= (180°﹣60°)=60°.
第11页(共27页)
∵OA=OF=OC,
∴△AOF、△COF 是等边三角形,
∴AF=AO=OC=FC,
∴四边形 AOCF 是菱形,
∴根据对称性可得 DF=DO.
过点 D 作 DH⊥OC 于 H,
∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=30°,
∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°= DC,
∴CD+OD=DH+FD.
根据垂线段最短可得:
当 F、D、H 三点共线时,DH+FD(即 CD+OD)最小,
此时 FH=OF•sin∠FOH=
则 OF=4,AB=2OF=8
OF=6,
.
∴当 CD+OD 的最小值为 6 时,⊙O 的直径 AB 的长为 8
.
【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定
义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、垂线段最短
等知识,把 CD+OD 转化为 DH+FD 是解决第(3)小题的关键.
5.如图,抛物线 y= x2+mx+n 与直线 y=﹣ x+3 交于 A,B 两点,交 x 轴于 D,C 两点,
连接 AC,BC,已知 A(0,3),C(3,0).
(Ⅰ)求抛物线的解析式和 tan∠BAC 的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下:
(1)P 为 y 轴右侧抛物线上一动点,连接 PA,过点 P 作 PQ⊥PA 交 y 轴于点 Q,问:
是
否存在点 P 使得以 A,P,Q 为顶点的三角形与△ACB 相似?
若存在,请求出所有符合条
件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
,
(2)设 E 为线段 AC 上一点(不含端点) 连接 DE,一动点 M 从点 D 出发,沿线段 DE
以每秒一个单位速度运动到 E 点,再沿线段 EA 以每秒
当点 E 的坐标是多少时,点 M 在整个运动中用时最少?
第12页(共27页)
个单位的速度运动到 A 后停止,
【分析】(Ⅰ)只需把 A、C 两点的坐标代入 y= x2+mx+n,就可得到抛物线的解析式,
然后求出直线 AB 与抛物线的交点 B 的坐标,利用勾股定理逆定理判断出三角形 ABC 是
直角三角形,从而得到∠ACB=90°,然后根据三角函数的定义就可求出 tan∠BAC 的值;
(Ⅱ)
(1)过点 P 作 PG⊥y 轴于 G,则∠PGA=90°.设点 P 的横坐标为 x,由 P 在 y
轴右侧可得 x>0,则 PG=x,易得∠APQ=∠ACB=90°.若点 G 在点 A 的下方,①当
∠PAQ=∠CAB 时,△PAQ∽△CAB.此时可证得△PGA∽△BCA,根据相似三角形的性
质可得 AG=3PG=3x.则有 P(x,3﹣3x),然后把 P(x,3﹣3x)代入抛物线的解析式,
就可求出点 P 的坐标②当∠PAQ=∠CBA 时,△PAQ∽△CBA,同理,可求出点 P 的坐
(
标;若点 G 在点 A 的上方,同理,可求出点P 的坐标; 2)过点 E 作 EN⊥y 轴于 N,如
图 3.易得 AE=EN,则点 M 在整个运动中所用的时间可表示为+=DE+EN.作
点 D 关于 AC 的对称点 D′,连接 D′E,则有 D′E=DE,D′C=DC,∠D′CA=∠
DCA=45°,从而可得∠D′CD=90°,DE+EN=D′E+EN.根据两点之间线段最短可
得:
当 D′、E、N 三点共线时,DE+EN=D′E+EN 最小.此时可证到四边形 OCD′N
是矩形,从而有 ND′=OC=3,ON=D′C=DC.然后求出点 D 的坐标,从而得到 OD、
ON、NE 的值,即可得到点 E 的坐标.
【解答】解:
(Ⅰ)把 A(0,3),C(3,0)代入 y=x2+mx+n,得
,
解得:
.
∴抛物线的解析式为 y= x2﹣x+3
联立,
第13页(共27页)
解得:
或,
∴点 B 的坐标为(4,1).
如图 1.
∵C(3,0),B(4,1),A(0,3),
∴AB2=20,BC2=2,AC2=18,
∴BC2+AC2=AB2,
∴△ABC 是直角三角形,
∴∠ACB=90°,
∴tan∠BAC=
= = ;
(Ⅱ)方法一:
(1)存在点 P,使得以 A,P,Q 为顶点的三角形与△ACB 相似.
过点 P 作 PG⊥y 轴于 G,则∠PGA=90°.
设点 P 的横坐标为 x,由 P 在 y 轴右侧可得 x>0,则 PG=x.
∵PQ⊥PA,∠ACB=90°,
∴∠APQ=∠ACB=90°.
若点 G 在点 A 的下方,
①如图 2①,当∠PAQ=∠CAB 时,则△PAQ∽△CAB.
∵∠PGA=∠ACB=90°,∠PAQ=∠CAB,
∴△PGA∽△BCA,
∴==.
∴AG=3PG=3x.
则 P(x,3﹣3x).
把 P(x,3﹣3x)代入 y= x2﹣ x+3,得
x2﹣ x+3=3﹣3x,
整理得:
x2+x=0
解得:
x1=0(舍去),x2=﹣1(舍去).
②如图 2②,当∠PAQ=∠CBA 时,则△PAQ∽△CBA.
第14页(共27页)
同理可得:
AG= PG= x,则 P(x,3﹣ x),
把 P(x,3﹣ x)代入 y= x2﹣ x+3,得
x2﹣ x+3=3﹣ x,
整理得:
x2﹣x=0
解得:
x1=0(舍去),x2=
,
∴P(,);
若点 G 在点 A 的上方,
①当∠PAQ=∠CAB 时,则△PAQ∽△CAB,
同理可得:
点 P 的坐标为(11,36).
②当∠PAQ=∠CBA 时,则△PAQ∽△CBA.
同理可得:
点 P 的坐标为 P(,).
综上所述:
满足条件的点 P 的坐标为(11,36)、(
, )、( , );
方法二:
作△APQ 的“外接矩形”AQGH,易证△AHP∽△QGP,
∴,
∵以 A,P,Q 为顶点的三角形与△ACB 相似,
∴或,
设 P(2t,2t2﹣5t+3),A(0,3),H(2t,3),
①
,∴|
|= ,
∴2t1=
,2t2=
,
②
,∴|
|=3
∴2t1=11,2t2=﹣1,(舍),
∴满足题意的点 P 的坐标为(11,36)、(
, )、( , );
第15页(共27页)
(2)方法一:
过点 E 作 EN⊥y 轴于 N,如图 3.
在
ANE 中,EN=AE•sin45°=
AE,即 AE=
EN,
∴点 M 在整个运动中所用的时间为
+
=DE+EN.
作点 D 关于 AC 的对称点 D′,连接 D′E,
则有 D′E=DE,D′C=DC,∠D′CA=∠DCA=45°,
∴∠D′CD=90°,DE+EN=D′E+EN.
根据两点之间线段最短可得:
当 D′、E、N 三点共线时,DE+EN=D′E+EN 最小.
此时,∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°,
∴四边形 OCD′N 是矩形,
∴ND′=OC=3,ON=D′C=DC.
对于 y= x2﹣ x+3,
当 y=0 时,有 x2﹣ x+3=0,
解得:
x1=2,x2=3.
∴D(2,0),OD=2,
∴ON=DC=OC﹣OD=3﹣2=1,
∴NE=AN=AO﹣ON=3﹣1=2,
∴点 E 的坐标为(2,1).
方法二:
作点 D 关于 AC 的对称点 D′,DD′交 AC 于点 M,显然 DE=D′E,
作 D′N⊥y 轴,垂足为 N,交直线 AC 于点 E,如图 4,
在
ANE 中,EN=AE•sin45°=AE,即 AE=EN,
∴当 D′、E、N 三点共线时,DE+EN=D′E+EN 最小,
∵A(0,3),C(3,0),
∴lAC:
y=﹣x+3,
∴M(m,﹣m+3),D(2,0),
第16页(共27页)
∵DM⊥AC,∴KDM×KAC=﹣1,
∴﹣1×,
∴m= ,∴M( , ),
∵M 为 DD′的中点,
∴D′(3,1),
∵EY=D′Y=1,
∴E(2,1).
方法三:
如图,5,过 A 作射线 AF∥x 轴,过 D 作射线 DF∥y 轴,DF 与 AC 交于点 E.
∵A(0,3),C(3,0),
∴lAC:
y=﹣x+3.
∵OA=OC,∠AOC=90°,
∴∠ACO=45°,
∵AF∥OC,
∴∠FAE=45°.
∴EF=AE•sin45°=.
∴当且仅当 AF⊥DF 时,DE+EF 取得最小值,点 M 在整个运动中用时最少为:
=
=DE+EF,
∵抛物线的解析式为 y= x2﹣x+3,且 C(3,0),
∴可求得 D 点坐标为(2,0)
则 E 点横坐标为 2,将 x=2 代入 lAC:
y=﹣x+3.,得 y=1.
所以 E(2,1).
+
第17页(共27页)
第
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