平面向量复习题及答案Word格式文档下载.doc
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8、(易线性运算)若,化简
9、(中坐标运算)已知正△ABC的边长为1,则等于
检测题
1、(易线性运算)已知非零向量满足==(),则=()
A.B.C.0D.0
2、(易向量不等式)设是非零向量,则下列不等式中不恒成立的是()
A.B.C.D.
3、(中坐标运算)已知=,=,k,则实数的值是()
A.B.C.w.w.w.k.s.5u.c.o.mD.
4、(中坐标运算)已知平面向量,,则向量().
A.平行于第一、三象限的角平分线B.平行于轴
C.平行于第二、四象限的角平分线D.平行于轴
5、(中坐标运算)将二次函数的图象按向量平移后,得到的图象与一次函数的图象只有一个公共点,则向量()
A.B.C.D.
6.如图,在正六边形ABCDEF中,
已知,,则(用与表示).
巩固练习
1.若是夹角为的单位向量,且,,则(C)
A.1B.C.D.[
2.设,,则()
A. B.C.D.
答案C
3.在的面积等于 ()
A. B. C. D.
答案A
4.在中,,则的值为 ()
A.10 B.20 C.-10 D.20
5.已知下列命题中:
(1)若,且,则或,
(2)若,则或
(3)若不平行的两个非零向量,满足,则
(4)若与平行,则
(5)
其中真命题的个数是()A.B.C.D.
6.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且,则△ABC的内角A等于()
A.B.C.D.
7.在平行四边形中,与交于点是线段的中点, 的延长线与交于点.若,,则 ()
A. B. C. D.
答案B
8.已知,则向量与向量的夹角是()
A. B. C. D.
9.在平行四边形中,若,则必有()
A.是菱形 B.是矩形
C.是正方形 D.以上皆错
10.已知向量,向量则的最大值,最小值分别是()
A.B.C.D.
二.填空题
11.已知Rt△ABC的斜边BC=5,则的值等于.
答案-25
12.设p=(2,7),q=(x,-3),若p与q的夹角,则x的取值范围是
13.若平面向量,满足,平行于轴,,则.
TWT答案(-1,0)-(-2,-1)=(-3,1)
解析或,则
或.
14.在中,O为中线AM上一个动点,若AM=2,则的最小值是________。
答案-2
15.已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量,
,.
(1)若//,求证:
ΔABC为等腰三角形;
(2)若⊥,边长c=2,角C=,求ΔABC的面积.
证明:
(1)
即,其中R是三角形ABC外接圆半径, 为等腰三角形
解
(2)由题意可知
由余弦定理可知,
课后练习
1、已知ABCD为矩形,E是DC的中点,且=,=,则=()
(A)+(B)-(C)+(D)-
2、设非零向量a与b的方向相反,那么下面给出的命题中,正确的个数是()
(1)a+b=0
(2)a-b的方向与a的方向一致(3)a+b的方向与a的方向一致(4)若a+b的方向与b一致,则|a|<
|b|
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3、已知a=(1,-2),b=(1,x),若a⊥b,则x等于()
A.B.C.2D.-2
4、下列各组向量中,可以作为基底的是()
A.B.
C.D.
5、已知向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·
a=()
A.3B.9C.12D.13
6、已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60°
,那么|a+3b|=()
A. B. C. D.4
7、若向量的夹角为,,则向量的模为()
A.2 B.4 C.6 D.12
8、已知∥,则x+2y的值为()
A.0B.2C.D.-2
9、P是△ABC所在平面上一点,若,则P是△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
10、直线的方向向量可以是()
A.(4,3)B.(4,-3)C.(3,4)D.(-3,4)
11、点(2,-3)到直线的距离为( )
12、下列命题中:
①∥存在唯一的实数,使得;
②为单位向量,且∥,则=±
||·
;
③;
④与共线,与共线,则与共线;
⑤若其中正确命题的序号是()
A.①⑤ B.②③④ C.②③D.①④⑤
一、填空题(4*4’)
13、与向量=(12,5)平行的单位向量为
14、已知向量,且A、B、C三点共线,则k的值为_______
15、已知||=,||=5,||=2,且,则=_______
16、中,有命题①;
②;
③若,则为等腰三角形;
④若,则为锐角三角形.上述命题正确的是_____________
三、解答题(12'
+12'
+14'
)
17、ABCD是梯形,AB∥CD,且AB=2CD,M、N分别是DC和AB的中点,已知=,=,试用、表示。
18、已知,,且与夹角为120°
求:
⑴;
⑵;
⑶与的夹角。
19、设向量a,b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=3,求|3a+b|的值。
第三讲 平面向量
一、选择题
1.(2010•安徽,3)设向量a=(1,0),b=12,12,则下列结论中正确的是( )
A.|a|=|b|B.a•b=22
C.a-b与b垂直D.a∥b
解析:
,A项,∵|a|=1,
|b|=122+122=22,
∴|a|≠|b|;
B项,∵a•b=1×
12+0×
12=12;
C项,∵a-b=(1,0)-12,12=12,-12,
∴(a-b)•b=12,-12•12,12=14-14=0;
D项,∵1×
12-0×
12≠0,∴a不平行b.故选C.
答案:
2.若向量a与b不共线,a•b≠0,且c=a-a•aa•bb,则向量a与c的夹角为( )
A.0B.π6C.π3D.π2
∵a•c=a•a-a•aa•bb
=a•a-a2a•ba•b=a2-a2=0,
又a≠0,c≠0,∴a⊥c,∴〈a,c〉=π2,故选D.
3.(2010•全国Ⅱ)△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB.若CB→=a,CA→=b,|a|=1,
|b|=2,则CD→=( )
A.13a+23bB.23a+13b
C.35a+45bD.45a+35b
由角平分线的性质得|AD→|=2|DB→|,即有AD→=23AB→=23(CB→-CA→)=23(a-b).
从而CD→+AD→=b+23(a-b)=23a+13b.故选B.
4.(2010•辽宁)平面上O,A,B三点不共线,设OA→=a,OB→=b,则△OAB的面积等于( )
A.|a|2|b|2-(a•b)2
B.|a|2|b|2+(a•b)2
C.12|a|2|b|2-(a•b)2
D.12|a|2|b|2+(a•b)2
∵cos〈a,b〉=a•b|a||b|,
∴sin〈a,b〉=1-cos2〈a,b〉
=1-a•b|a||b|2
=|a|2|b|2-(a•b)2|a||b|,
∴S△OAB=12|OA→|OB→|sin〈OA→,OB→〉
=12|a||b|sin〈a,b〉,
=12|a|2|b|2-(a•b)2,
故选C.
5.若向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),a≠±
b,则a与b一定满足( )
A.a与b的夹角等于α-β
B.a⊥b
C.a∥b
D.(a+b)⊥(a-b)
∵a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ),
a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ),
∴(a+b)•(a-b)=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=1-1=0,
可知(a+b)⊥(a-b).
二、填空题
6.(2010•陕西)已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则m
=________.
a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),∴a+b=(1,m-1),
(a+b)∥c,∴2+m-1=0,∴m=-1.
-1
7.(2010•江西)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°
,则|a-b|=________.
|a-b|=(a-b)2=a2+b2-2a•b
=12+22-2×
1×
2cos60°
=3.
3
8.(2010•浙江)已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)满足|β|=1,且α与β-α的夹角为120°
,
则|α|的取值范围是________.
如图,数形结合知β=AB→,α=AC→,|AB|=1,C点在圆弧上运动,∠ACB=60°
设∠ABC=θ,由正弦定理知ABsin60°
=|α|sinθ,∴|α|=233sinθ≤233,当θ=90°
时取最
大值.
∴|α|∈0,233.
0,233
9.
得(x,y)=(2m,-m)+(-n,n),
于是x=2m-n,y=-m+n.由2m2-n2=2,消去m、n得M的轨迹方程为x2-2y2=2.
x2-2y2=2
三、解答题
10.
3cosγ+4cosβ=-5,①
同理可得,
4cosα+5cosγ=-3,②
3cosα+5cosβ=-4.③
解①②③联立方程组可得,
cosα=0,cosβ=-45,cosγ=-35,
即OA→•OB→=0,OB→•OC→=-45,OC→•OA→=-35.
(2)由
(1)知sinα=1,sinβ=35,sinγ=45.
如右图,S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA=12×
1+12×
35+12×
45=65.
11.已知向量a=cos3x2,sin3x2,
b=cosx2,-sinx2,且x∈0,π2,
(1)a•b及|a+b|;
(2)若f(x)=a•b-2λ|a+b|的最小值是-32,求λ的值.
解:
(1)a•b=cos3x2•cosx2-sin3x2•sinx2=cos2x.
|a+b|=cos3x2+cosx22+sin3x2-sinx22
=2+2cos2x=2cos2x.
∵x∈0,π2,∴cosx≥0,
∴|a+b|=2cosx.
(2)f(x)=cos2x-4λcosx即
f(x)=2(cosx-λ)2-1-2λ2.
∵x∈0,π2,∴0≤cosx≤1.
①当λ<
0时,当且仅当cosx=0时,
f(x)取得最小值-1,这与已知矛盾.
②当0≤λ≤1时,当且仅当cosx=λ时,
f(x)取得最小值-1-2λ2,由已知-1-2λ2=-32,
解得λ=12.
③当λ>
1时,当且仅当cosx=1时,f(x)取得最小值1-4λ,由已知得1-4λ=-32,
解得λ=58,这与λ>
1相矛盾.
综上所述,λ=12即为所求.
∴x1x2+14(x1x2)2=0(x1x2≠0).
∴x1x2=-4.
∴MA→=x1,-12x21+2,MB→=x2,-12x22+2.
∵x1-12x22+2-x2-12x21+2
=(x1-x2)12x1x2+2=0,
∴MA→∥MB→,即AM→∥AB→.
(2)解:
∵MA→=-2MB→,
∴x1=-2x2,-12x21+2=-2-12x22+2.
∴-2x22+2=x22-4,∴x2=±
2.
∴B(2,-1)或(-2,-1),∴kAB=22或-22.
∴AB的方程为y=±
22x-2.
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莲山课件www.5YkJ.Com
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