“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题+参考答案及评分标准.doc
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2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题
考试时间2018年3月18日9∶00-11∶00满分150分
一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分)。
每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)
1.若关于的方程有两个相等的实数根,则的值为()
A. B. C. D.1
2.如图,、都是正方形,边长分别为、()。
坐标原点为的中点,、、在轴上。
若二次函数的图像过、两点,则()
A.B.C.D.
(第4题图)
(第3题图)
(第2题图)
3.如图,为的重心,点在延长线上,且,过、的直线交于点,则()
A. B. C. D.
4.如图,、分别为的垂心、外心,,若外接圆的半径
为,则()
A. B. C. D.
5.满足方程的整数对有()
A.0对 B.2对 C.4对 D.6对
二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)
6.已知,,为正整数,且。
若,,是三个连续正整数的平方,则的最小值为。
7.如图,为矩形,为对角线的中点,、在轴上。
若函数()的图像过、两点,则矩形的面积为。
(第8题图)
(第7题图)
8.如图,是边长为8的正三角形,为边上一点,为的内切圆,为的边上的旁切圆。
若、的半径都是,则。
9.若实数满足,则。
其中表示不超过的最大整数。
10.网络爬虫是一种互联网网页抓取工具。
其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。
图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题”。
图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。
请你回答下列问题:
把一个矩形区域划分成个凸多边形区域(这些凸多边形区域除公共边外,没有公共部分)。
已知构成这个凸多边形的顶点中,恰有6个顶点在矩形内,12个顶点在矩形的边界上(含矩形的顶点);同时,任何三个顶点不共线(除矩形边界上的顶点共线外)。
若围成这个凸多边形的线段中,恰有18条线段在矩形区域内,则这个凸多边形中四边形个数的最大值为。
三、解答题(共4题,每小题20分,共80分)
11.已知二次函数的图像交轴于、两点,且。
若函数在上的最小值为,求,的值。
12.如图,在圆内接四边形中,,是边的中点,点在对角线上,且满足。
求证:
。
(第12题图)
13.已知关于的方程的两根都是素数,求的值。
14.一个由个单位小方格组成的的方格表中的个小方格被染成了红色,使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2,求的最大值。
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准
考试时间2018年3月18日9∶00-11∶00满分150分
一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分)。
每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)
1.若关于的方程有两个相等的实数根,则的值为()
A.B.C.D.1
【答案】A
【解答】依题意,。
因此,。
∴,。
∴。
2.如图,、都是正方形,边长分别为、()。
坐标原点为的中点,、、在轴上。
若二次函数的图像过、两点,则()
A.B.C.D.
【答案】B
【解答】依题意,点坐标为,点的坐标为。
(第2题图)
由二次函数的图像过、两点,得
,消去,得。
∴,解得(舍负根)。
∴。
3.如图,为的重心,点在延长线上,且,过、的直线交于点,则()
A.B.C.D.
【答案】D
【解答】如图,连,并延长交于点。
(第3题图)
∵为的重心,且,
∴为中点,且,。
过点作,交于点。
则,。
设,则,,。
∴,。
(第3题答题图)
另解:
如图,连,并延长交于点。
∵为的重心,且,
∴为中点,且,。
∴,。
(第3题答题图)
在中,利用梅涅劳斯定理,得。
∴,。
∴。
4.如图,、分别为的垂心、外心,,若外接圆的半径为,则()
A.B.C.D.
【答案】B
【解答】如图,连结并延长交于点,连、、。
∵为的外心,
(第4题图)
∴为直径,,。
又为的垂心,
∴,。
∴,。
∴四边形为平行四边形,。
∵,外接圆的半径为,
∴,。
(第4题答题图)
∴。
5.满足方程的整数对有()
A.0对B.2对C.4对D.6对
【答案】C
【解答】方程化为。
依题意,为完全平方数。
由,得。
结合为整数,得。
故,,,4,。
当时,,不是完全平方数。
当时,,不是完全平方数。
当时,,不是完全平方数。
当时,。
∴方程化为,即,或
∴,或,或,或。
∴,或,或,或。
∴满足方程的整数对有、、、,共4对。
二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)
6.已知,,为正整数,且。
若,,是三个连续正整数的平方,则的最小值为。
【答案】
【解答】依题意,设,则,,为正整数,且。
∴,可见为偶数,且。
∴,,。
可见,,且当增大时,的值也随之增大。
又时,,,符合要求。
∴的最小值为。
7.如图,为矩形,为对角线的中点,、在轴上。
若函数()的图像过、两点,则矩形的面积为。
【答案】
【解答】设,,则。
作于,由为中点,得为中点,且。
∴。
结合(第7题图)
,得。
∴,。
∴矩形的面积。
(第7题答题图)
8.如图,是边长为8的正三角形,为边上一点,为的内切圆,为的边上的旁切圆。
若、的半径都是,则。
【答案】
【解答】如图,设切的三边、、依次于点、、,边切于点,、的延长线切于点、。
则由、的半径都是,为正三角形,以及切线长性质定理,得
(第8题图)
,,,。
∴
∴。
(第8题答题图)
∴,。
9.若实数满足,则。
其中表示不超过的最大整数。
【答案】
【解答】设,其中为整数,。
则。
∵当时,;当时,;
当时,;当时,。
∴对任意实数,的值具有形式:
,,,,为整数。
∵,。
∴,其中。
∴。
10.网络爬虫是一种互联网网页抓取工具。
其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。
图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题”。
图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。
请你回答下列问题:
把一个矩形区域划分成个凸多边形区域(这些凸多边形区域除公共边外,没有公共部分)。
已知构成这个凸多边形的顶点中,恰有6个顶点在矩形内,12个顶点在矩形的边界上(含矩形的顶点);同时,任何三个顶点不共线(除矩形边界上的顶点共线外)。
若围成这个凸多边形的线段中,恰有18条线段在矩形区域内,则这个凸多边形中四边形个数的最大值为。
【答案】
【解答】设这个凸多边形中,有个三角形,个四边形,个五边形,…,个边形。
则这个凸多边形的内角和为
。
另一方面,矩形内部有6个顶点,对于每个顶点,围绕它的多边形的内角和为。
矩形边界线段内(不含矩形顶点)有8个顶点,在每个顶点处,各多边形在此汇合成一个平角,其和为。
在矩形的每个顶点处,各多边形在此汇合成一个直角,其和为。
因此,这个凸多边形的内角和为。
∴
。
。
………①
再考虑这个凸多边形的边数。
由于每个凸边形有条边,因此,这个凸多边形的边数和为。
另一方面,由条件知,在矩形内部的18条边,每条边都是两个凸多边形的公共边,应计算2次。
而在矩形边界上的12个点,得到12条线段,它们都对应某个凸多边形的边。
因此,这个凸多边形的边数和为。
∴。
………②
由①、②,消去,得。
∴。
(第10题答题图)
又如图所示的划分符合要求,此时,,。
∴的最大值为,即这个凸多边形中,最多有9个四边形。
三、解答题(共4题,每小题20分,共80分)
11.已知二次函数的图像交轴于、两点,且。
若函数在上的最小值为,求,的值。
【解答】∵函数的图像交轴于、两点,
∴,是方程的两个实根。
∴,。
…………………………5分
又,
∴,。
………………①…………………………10分
∵,在上的最小值为。
∴时,。
∴…………②…………………………15分
由①、②,解得,。
∴,。
…………………………20分
12.如图,在圆内接四边形中,,是边的中点,点在对角线上,且满足。
求证:
。
【解答】∵,
∴。
∴。
又,
∴。
(第12题图)
∴…………①。
……………………5分
设、相交于点,
∵,。
∴。
∴。
…………………②
……………………10分
又为边中点,
(第12题答题图)
∴,结合①,得。
结合②,得,
∴。
……………………15分
∴,即。
……………………20分
13.已知关于的方程的两根都是素数,求的值。
【解答】设方程的两根分别为、,
则由韦达定理,知,。
∴…………①……………………5分
显然,都不等于2,因此,,都是奇数。
∴。
……………………10分
若,中有一个数为奇数,不妨设为奇数,则
,其中,2,3,4。
当时,,不是素数,舍去;
当时,,不是素数,舍去;
当时,,不是素数,舍去。
当时,是素数。
此时,,,也是素数。
∴,,,符合要求。
……………………15分
若,都是偶数,则,不妨设,则
当,时,,,不是素数,舍去;
当,时,,,,都是素数;
当,时,,,,都不是素数,舍去;
∴,,,符合要求。
综上所述,,或。
……………………20分
14.一个由个单位小方格组成的的方格表中的个小方格被染成了红色,使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2,求的最大值。
【解答】的最大值为。
先考虑一个的方格表,其中有个小方格被染成了红色,使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2,由枚举可以知道,的最大值为2。
…………………10分
并且只有如下图所示的两种情况(包括对称的情形)。
将一个的方格表分成4个的方格表,由于每个的方格表中至多有2个红色小方格,于是。
…………………………15分
另一方面,如下图所示的染色恰有8个红色小方格,并且任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2。
综上所述,的最大值为。
…………………………20分
14
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