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江苏高考数学试题与答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学(理工农医类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷
3至10页考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
1.如果函数
2
yaxbxa的图象与x轴有两个交点,则点(a,b)在aOb平面上的区域
(不包含边界)为()
bbbb
OOOO
aaaa
A.B.C.D.
2.抛物线
2
yax的准线方程是y2,则a的值为()
A.
1
8
B.-
1
8
C.8D.-8
4
3.已知x(,0),cosx,则tg2x()
25
A.
7
24
B.-
7
24
C.
24
7
D.-
24
7
4.设函数
f
x
21,x0,
(x)1若f(x)1,x的取值范围是()
则
00
x,x0
2
A.(-1,1)B.(1,)
C.(-∞,-2)∪(0,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
5.O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足
ABAC
OPOA(),0,则,P的轨迹一定通过ABC的
ABAC
A.外心B.内心C.重心D.垂心
6.函数
x1
yln,x(1,)
x1
的反函数为()
A.
x
e1
y,x(0,)
x
e1
B.
x
e1
y,x(0,)
x
e1
C.
x
e1
y,x(,0)
x
e1
D.
x
e1
y,x(,0)
x
e1
7.棱长为a的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为()
A.
3
a
3
B.
3
a
4
C.
3
a
6
D.
3
a
12
8.设
2
a0,f(x)axbxc,曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的
取值范围为0,,
4
则到曲线yf(x)对称轴距离的取值范围为()
P
A.
0,
1
a
B.
0,
1
2a
C.0,
b
2a
D.
0,
b
1
2a
2xmxxn
2
9.已知方程(x2)
(2)0的四个根组成一个首项为
1的的等差数列,
4
则|mn|()
A.1B.
3C.
4
1D.
2
3
8
10.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7,0),直线yx1与其相交于M、N
两点,MN中点的横坐标为
2
3
,则此双曲线的方程是()
2y
2
x
A.1
34
2y2
x
B.1
43
2y
2
x
C.1
52
2y2
x
D.1
25
11.已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1),一质点从
AB的中点P0沿与AB的夹角的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB
上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角),设P4的坐标为(x4,0),若1x42,则
tg的取值范围是()
A.(
1,1)B.(
3
1
3
,
2)C.(
3
2
5
,
1
2
)D.(
2
5
,
2
3
)
12.一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为()
A.3B.4C.33D.6
2003年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学(理工农医类)
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二.填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分把答案填在题中横线上
13.
(
1
9
x2)的展开式中
2x
9
x系数是
14.某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1200辆,6000辆和2000辆为检验该
公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验,这三种型号的轿车依次
应抽取___________,__________,___________辆
15.某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如图)现要栽种4种不
5
614
3
2
同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有
___________________种(以数字作答)
16.对于四面体ABCD,给出下列四个命题
①若ABAC,BDCD,则BCAD
②若ABCD,ACBD,则BCAD
③若ABAC,BDCD,则BCAD④若ABCD,ACBD,则BCAD
其中真命题的序号是__________________.(写出所有真命题的序号)
三、解答题:
本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或或演算步骤
17.(本小题满分12分)
有三种产品,合格率分别为0.90,0.95和0.95,各抽取一件进行检验
(Ⅰ)求恰有一件不合格的概率;
(Ⅱ)求至少有两件不合格的概率(精确到0.001)
18.(本小题满分12分)
已知函数f(x)sin(x)(0,0)是R上的偶函数,其图象关于点
3
M(,0)对称,且在区间0,
4
2
上是单调函数求和的值
19.(本小题满分12分)
如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是等腰直角三角形,ACB90,侧
棱AA2,D、E分别是
1
CC与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重
1
心G
(Ⅰ)求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示)
(Ⅱ)求点
A到平面AED的距离
1
C1
A1
B1
D
E
G
C
B
A
20.(本小题满分12分)
已知常数a0,向量c(0,a),i(1,0)经过原点O以ci为方向向量的直线
与经过定点A(0,a)以i2c为方向向量的直线相交于P,其中R试问:
是否存在两
个定点E、F,使得PEPF为定值若存在,求出E、F的坐标;若不存在,说明理由
21.(本小题满分12分)
已知a0,n为正整数
n
(Ⅰ)设y(xa),证明
n1
y'n(xa);
nn
(Ⅱ)设f(x)x(xa),对任意na,证明fn1'(n1)(n1)fn'(n)
n
22.(本小题满分14分)
设a0,如图,已知直线l:
yax及曲线
2
C:
yx,C上的点Q1的横坐标为作
直线平行于x轴,交直线l于点Pn1,再从点Pn1作直线平行于y轴,交曲线
C于点Q1.Q(n1,2,3,⋯)的横坐标构成数列an
nn
(Ⅰ)试求
a与a的关系,并求an的通项公式;
n1n
(Ⅱ)当
1
n
a1,a时,证明
1
2
k1
(aa)a
kk1k2
1
32
n
(Ⅲ)当a1时,证明
k1
(aa)a
kk1k2
1
3
c
yl
r2
Q3
r1
Q1
Q2
O
aa2a3
1
x
2003年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(江苏卷)答案
一、选择题:
本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分60分.
1.C2.B3.D4.D5.B6.B7.C8.B9.C10.D11.C12.A
二、填空题:
本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分.
13.
2114.6,30,1015.12016.①④
2
三、解答题
17.本小题要主考查相互独立事件概率的计算,运用数学知识解决问题的能力,满分12分.
解:
设三种产品各抽取一件,抽到合格产品的事件分别为A、B和C.
(Ⅰ)P(A)0.90,P(B)P(C)0.95,P(A)0.10,P(B)P(C)0.50.
因为事件A,B,C相互独立,恰有一件不合格的概率为
P(ABC)P(ABC)P(ABC)
P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)
20.900.950.050.100.950.950.176
答:
恰有一件不合格的概率为0.176.
解法一:
至少有两件不合格的概率为
P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC)
0.90
2
0.05
2
0.10
0.05
0.95
0.10
2
0.05
0.012
解法二:
三件产品都合格的概率为
P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.90
2
0.95
0.812
由(Ⅰ)知,恰有一件不合格的概率为0.176,所以至有两件不合格的概率为
1[P(ABC)0.176]1(0.8120.176)0.012.
答:
至少有两件不合的概率为0.012.
(18)在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识,以及分析问题和推理计算能力,
满12分分。
解:
由f(x)是偶函数,得f(x)f(x),
即sin(x)sin(x),
所以cossinxcossinx
对任意x都成立,且0,所以得cos0.
依题设0,.
所以解得
2
由f
(
x)
的图象关于点
M
对称
得f(
3
4
x)
f
3
(
4
x),
取x
0得
f
3
(
4
)sin(
3
4
)
2
3
cos
4
f(
3
4
)
3
sin(
3
)
cos
424
3
cos
3
0,又0,得k,k1,2,3,,
442
2
3
(
2k1),k0,1,2,.
当
k0时,
2
3
f
(x)
sin(
2
3
x
2
)[0,
在
]上是减函数
2
;
当k1,
时2,f(x)sin(2x)[
在0,]上是减函数;
22
当
k0时,
10
3
f
(
x)
sin(
x
2
)[0,
在
]上不是单调函数
2
;
所以
综合得
2
3
或
2.
19.本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识,同时考查空
间想象能力和推理运算能力.满分12分.
解法一:
(Ⅰ)解:
连结BG,则BG是BE在面ABD的射影,即∠EBG是A1B与平面ABD所成
的角.
设F为AB中点,连结EF、FC,
D,
E
分别是
CC,
1
AB,又DC平面ABC,
的中点
1
CDEF
为矩形
连结DE,GADB,GDF.EFD
是的重心在直角三角形中
2
EFFGFD
1
3
FD
2
EF
1,
FD
3.
于是
ED2,EG
12
3
6
3
.
FCCD2,AB22,
AB23,EB
1
3.
sinEBG
EG
EB
6
3
1
3
2
3
.
AB
与平面
1
ABD
所成的角是
arcsin
2
3
.
(Ⅱ)连结A1D,有
VAV
AEDD
1
AAE
1
EDAB,EDEF,又EFABF,
ED平面1,设A1到平面AED的距离为h,
AAB
则ShSED
AED1AB
A
111
又1SAAABSAEED
SAAEAAB2,AED
1
242
1
6
2
.
h
2226
3
6
即AAED
.1到平面的距离为
2
3
6
.
2
解法二:
(Ⅰ)连结BG,则BG是BE在面ABD的射影,即∠A1BG是A1B与平ABD所成的角.
如图所示建立坐标系,坐标原点为O,设CA=2a,
则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1)
A
1
(2a,0,2),E(a,a,1),
2a
3
G(
2a
3
1
3
).
CE(
a
3
a
3
2
3
),
BD
(0,
2a,1).
GE
BD
2
3
2
a
2
3
0.
解得
a
1.
BA
1
(2,2,2),BG
2
3
(
4
3
1
3
).
cos
ABG
1
|
BA
1
BA
1
BG
||BG
|
2
14
3
/
1
3
3
21
7
3
.
AB
与平面
1
ABDarccos
所成角是
7
3
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)有A(2,0,0)A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1)
AEED(1,1,1)(1,1,0)0,
AA
1
ED(0,0,2)(1,1,0)0,
ED
平面AAE,又ED
1
平面
AED.
(Ⅰ)当
2
a时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点E和F;
2
(Ⅱ)当
2112a11a
2
0a时,方程①表示椭圆,焦点E(a,)和F(a,)
2222222
2
1111
(Ⅲ)当a,方程①也表示椭圆,焦点))
时
E2和Faa2为合乎题意的
(0,(aa))(0,(
2
2222
两个定点.
(21)本小题主要考查导数、不等式证明等知识,考查综合运用所数学知识解决问题的能力,满分12
分.
证明:
(Ⅰ)因为
(xa)
n
nC
k
n
k0
nx
kk
(a),
n
所以1
knkk
ykCn(a)x
k0
k
n
n
0
k1nkk1
Cn(a)xn(xa)
1
n
1
.
(Ⅱ)对函数
nn
fn(x)x(xa)求导数:
f
n
(x)
n
nx
1n1
n(xa)
所以f
n
(n)
n
n[n
1
(n
n
a)
1
].
当x
a0时,
f(x)
n
0.
当x
a时,f(
n
x)
n
x
(x
n
a)
是关于
x
的增函数
.
因此
n
当
a,
时
(n1)
nn
(n1a)
n
n
(n
a)
n
nnnn∴fn(n1)(n1)[(n1)(n1a)](n1)(n(na))
1
nn
1nfn(n1)(nn(na))
(1)n().
即对任意na,fn1(n1)(n1)fn(n).
22.本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识,综合运用数学知识分析问题和解决问题的能
力,满分14分.
111
22224
(Ⅰ)解:
∵Qn(a,a),P(a,a),Q(a,a).
n1nn1nnn1nn
2
aaa
∴1,
2
ana∴
1n
a
1111
222122
2
ana1(a)()a
nn2n
aaaa
2
11
(1)
(1)
223
2
222122
()anan
32
aaa
(
1
a
1a
n22n112
n1n1n
122)()
221
)a(aa
11
aa
1
a
n1
12
,∴().
ana
a
1
21
1
(Ⅱ)证明:
由a=1知ana,∵a,∴.
1n1
a2,a
3
2
416
1
∵当k1,a2a.
时
k3
16
∴
n
k
1
n
111
(aka1)a(aa)(aa).
kk2kk11n1
161632
k1
n1
2
(Ⅲ)证明:
由(Ⅰ)知,当a=1时,ana,
1
因此
k
n
1
n21
n
k1kk1
222ii12i
(aka1)a(aa)a(aa)a
kk2111111
k1i1
2
(1
n3
21
a5
a1
23i21
a)aa(1a)a=.
1
1111
11
3
a
i11
11
2
1aa3
2013江苏高考数学试卷及答案(江苏卷)
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