二次函数与菱形的专题.docx
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二次函数与菱形的专题
二次函数与菱形
1.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,﹣3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
(3)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?
若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2.已知抛物线y=ax2+bx+8(a≥1)过点D(5,3),与x轴交于点B、C(点B、C均在y轴右侧)且BC=2,直线BD交y轴于点A.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在坐标轴上是否存在一点N,使△ABN与△BCD相似?
若存在,求出点A、N的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在直线BD上是否存在一点P和平面一点Q,使以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形?
若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
3.如图,二次函数图象的顶点为坐标原点O,y轴为对称轴,且经过点A(3,3),一次函数的图象经过点A和点B(6,0).
(1)求二次函数与一次函数的解析式;
(2)如果一次函数图象与y轴相交于点C,E是抛物线上OA段上一点,过点E作y轴平行的直线DE与直线AC交于点D,∠DOE=∠EDA,求点E的坐标;
(3)点M是线段AC延长线上的一个动点,过点M作y轴的平行线交抛物线于F,以点O、C、M、F为顶点的四边形能否为菱形?
若能,求出点F的坐标;若不能,请说明理由.
4.如图,已知抛物线经过原点O和x轴上一点A(4,0),抛物线顶点为E,它的对称轴与x轴交于点D.直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B(﹣2,m)且与y轴交于点C,与抛物线的对称轴交于点F.
(1)求m的值及该抛物线对应的解析式;
(2)P(x,y)是抛物线上的一点,若S△ADP=S△ADC,求出所有符合条件的点P的坐标;
(3)点Q是平面任意一点,点M从点F出发,沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设点M的运动时间为t秒,是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形?
若能,请直接写出点M的运动时间t的值;若不能,请说明理由.
5.如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点A(﹣3,4)、
B(﹣3,0)、C(﹣1,0).以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点B.动点P从点D出发,沿DC边向点C运动,同时动点Q从点B出发,沿BA边向点A运动,点P、Q运动的速度均为每秒1个单位,运动的时间为t秒.过点P作PE⊥CD交BD于点E,过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当t为何值时,四边形BDGQ的面积最大?
最大值为多少?
(3)动点P、Q运动过程中,在矩形ABCD(包括其边界)是否存在点H,使以B,Q,E,H为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出此时菱形的周长;若不存在,请说明理由.
6.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点,交y的正半轴于点C,连接BC,且OB=OC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,点D为第一象限抛物线上一点,过点D作DE⊥BC于点E,设DE=d,点D的横坐标为t,求d与t的函数关系式;
(3)在
(2)的条件下,点F为抛物线的顶点,对称轴交x轴于点G,连接DF,过D作DH⊥DF交FG于点H,点M为对称轴左侧抛物线上一点,点N为平面上一点且tan∠HDN=,当四边形DHMN为菱形时,求点N的坐标.
7.如图,抛物线y=ax2﹣2x+c(a≠0)与x轴、y轴分别交于点A,B,C三点,已知点A(﹣2,0),点C(0,﹣8),点D是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)如图1,抛物线的对称轴与x轴交于点E,第四象限的抛物线上有一点P,将△EBP沿直线EP折叠,使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上,求点P的坐标;
(3)如图2,设BC交抛物线的对称轴于点F,作直线CD,点M是直线CD上的动点,点N是平面一点,当以点B,F,M,N为顶点的四边形是菱形时,请直接写出点M的坐标.
8.如图,▱ABCD的两个顶点B,D都在抛物线y=x2+bx+c上,且OB=OC,AB=5,tan∠ACB=.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在点E,使以A,C,D,E为顶点的四边形是菱形?
若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)动点P从点A出发向点D运动,同时动点Q从点C出发向点A运动,运动速度都是每秒1个单位长度,当一个点到达终点时另一个点也停止运动,运动时间为t(秒).当t为何值时,△APQ是直角三角形?
9.如图,抛物线y=﹣x2﹣x+1与y轴交于A点,过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(﹣3,0).
(1)求直线AB的函数关系式;
(2)动点E在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动,过点E作EG⊥x轴,交直线AB于点F,交抛物线于点G.设点E移动的时间为t秒,GF的长度为s个单位,求s与t的函数关系式,并写出t的取值围;
(3)设在
(2)的条件下(不考虑点E与点O、C重合的情况),连接CF,BG,当t为何值时,四边形BCFG为平行四边形?
问对于所求的t值,平行四边形BCFG是否菱形?
请说明理由.
10.如图,已知抛物线y=ax2+c过点(﹣2,2),(4,5),过定点F(0,2)的直线l:
y=kx+2与抛物线交于A、B两点,点B在点A的右侧,过点B作x轴的垂线,垂足为C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点B在抛物线上运动时,判断线段BF与BC的数量关系(>、<、=),并证明你的判断;
(3)P为y轴上一点,以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形,设点P(0,m),求自然数m的值;
(4)若k=1,在直线l下方的抛物线上是否存在点Q,使得△QBF的面积最大?
若存在,求出点Q的坐标及△QBF的最大面积;若不存在,请说明理由.
11.如图,抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为(﹣2,0),点P为抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E.
(1)求抛物线解析式;
(2)若点P在第一象限,当OD=4PE时,求四边形POBE的面积;
(3)在
(2)的条件下,若点M为直线BC上一点,点N为平面直角坐标系一点,是否存在这样的点M和点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是菱形?
若存在,直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
12.如图1,抛物线y=ax2+bx+4的图象过A(﹣1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,作直线BC,动点P从点C出发,以每秒个单位长度的速度沿CB向点B运动,运动时间为t秒,当点P与点B重合时停止运动.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图2,当t=1时,求S△ACP的面积;
(3)如图3,过点P向x轴作垂线分别交x轴,抛物线于E、F两点.
①求PF的长度关于t的函数表达式,并求出PF的长度的最大值;
②连接CF,将△PCF沿CF折叠得到△P′CF,当t为何值时,四边形PFP′C是菱形?
13.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(﹣4,0),B(﹣1,0)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在第三象限的抛物线上有一动点D.
①如图
(1),若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形,当平行四边形ODAE的面积为6时,请判断平行四边形ODAE是否为菱形?
说明理由.
②如图
(2),直线y=x+3与抛物线交于点Q、C两点,过点D作直线DF⊥x轴于点H,交QC于点F.请问是否存在这样的点D,使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为:
2?
若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
14.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=a(x+1)2﹣3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,﹣),顶点为D,对称轴与x轴交于点H,过点H的直线l交抛物线于P,Q两点,点Q在y轴的右侧.
(1)求a的值及点A,B的坐标;
(2)当直线l将四边形ABCD分为面积比为3:
7的两部分时,求直线l的函数表达式;
(3)当点P位于第二象限时,设PQ的中点为M,点N在抛物线上,则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形?
若能,求出点N的坐标;若不能,请说明理由.
15.已知,如图,在平面直角坐标系中,△ABC的边BC在x轴上,顶点A在y轴的正半轴上,OA=2,OB=1,OC=4.
(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)设点G是对称轴上一点,求当△GAB周长最小时,点G的坐标;
(3)若抛物线对称轴交x轴于点P,在平面直角坐标系中,是否存在点Q,使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形?
若存在,写出所有符合条件的点Q的坐标,并选择其中一个的加以说明;若不存在,说明理由;
(4)设点M是x轴上的动点,试问:
在平面直角坐标系中,是否存在点N,使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形?
若存在,直接写出点N的坐标;若不存在,说明理由.
16.如图,已知抛物线C1:
y=﹣x2,平移抛物线y=x2,使其顶点D落在抛物线C1位于y轴右侧的图象上,设平移后的抛物线为C2,且C2与y轴交于点C(0,2).
(1)求抛物线C2的解析式;
(2)抛物线C2与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧),求点A,B的坐标及过点A,B,C的圆的圆心E的坐标;
(3)在过点(0,)且平行于x轴的直线上是否存在点F,使四边形CEBF为菱形?
若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
17.如图,直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点,与x轴的另一个交点为C,连接BC.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;
(2)点M在抛物线上,连接MB,当∠MBA+∠CBO=45°时,求点M的坐标;
(3)点P从点C出发,沿线段CA由C向A运动,同时点Q从点B出发,沿线段BC由B向C运动,P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度,当Q点到达C点时,P、Q同时停止运动,试问在坐标平面是否存在点D,使P、Q运动过程中的某一时刻,以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形?
若存在,直接写出点D的坐标;若不存在,说明理由.
抛物线与菱形的专题参考答案
1.解:
(1)将B、C两点的坐标代入得
解得:
;
所以二次函数的表达式为:
y=x2﹣2x﹣3
(2)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,设P(x,x2﹣2x﹣3),
易得,直线BC的解析式为y=x﹣3
则Q点的坐标为(x,x﹣3);
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
=AB•OC+QP•OF+QP•BF
=
=(10分)
当时,四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为,四边形ABPC的面积的最大值为.
(3)存在点P,使四边形POPC为菱形;
设P点坐标为(x,x2﹣2x﹣3),PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形,则有PC=PO;
连接PP′,则PE⊥CO于E,
∴OE=EC=
∴y=;(6分)
∴x2﹣2x﹣3=
解得x1=,x2=(不合题意,舍去)
∴P点的坐标为(,)
2.解:
(1)设B点坐标为(x1,0),C点坐标为(x2,0),
则x1、x2是方程ax2+bx+8=0的两根,
∴x1+x2=﹣,x1x2=,
∵BC=|x1﹣x2|=2,
∴(x1﹣x2)2=4,即(x1+x2)2﹣4x1x2=4,
∴﹣=4①,
把D点坐标代入抛物线解析式可得25a+5b+8=3②,
由①②可解得或(舍去),
∴抛物线解析式为y=x2﹣6x+8;
(2)在y=x2﹣6x+8中,令y=0可得x2﹣6x+8=0,解得x=2或x=4,
∴B(2,0),C(4,0),
设直线BD解析式为y=kx+s,
把B、D坐标代入可得,解得,
∴直线BD解析式为y=x﹣2,
∴A(0,﹣2),
①当点N在x轴上时,设N(x,0),则点N应在点B左侧,
∴BN=2﹣x,
∵A(0,﹣2),B(2,0),D(5,3),
∴AB=2,BD=3
∵∠ABN=∠DBC,
∴有△BCD∽△BNA或△BCD∽△BAN,
当△BCD∽△BNA时,则有=,即=,解得x=,此时N点坐标为(,0);
当△BCD∽△BAN时,则有=,即=,解得x=﹣4,此时N点坐标为(﹣4,0);
②当点N在y轴上时,设N(0,y),则点N应在A点上方,
∴AN=y+2,
由上可知有△BCD∽△ABN或△BCD∽△ANB,
当△BCD∽△ABN时,则有=,即=,解得y=4,此时N点坐标为(0,4);
当△BCD∽△ANB时,则有=,即=,解得y=﹣,此时N点坐标为(0,);
综上可知存在满足条件的N点,其坐标为(,0)或(﹣4,0)或(0,4)或(0,);
(3)∵点P在直线BD上,
∴可设P(t,t﹣2),
∴BP==|t﹣2|,PC==,
∵以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形,
∴有BC为边或BC为对角线,
当BC为边时,则有BP=BC,即|t﹣2|=2,解得t=2+或t=2﹣,此时P点坐标为(2+,)或(2﹣,);
当BC为对角线时,则有BP=PC,即|t﹣2|=,解得t=3,此时P点坐标为(3,1);
综上可知存在满足条件的点P,其坐标为(2+,)或(2﹣,)或(3,1).
3.解:
(1)设二次函数的解析式为y=ax2,
把点A(3,3)代入得3=a×32,解得a=;
设一次函数的解析式为y=kx+b,
把点A(3,3)、点B(6,0)代入得,解得,
所以二次函数与一次函数的解析式分别为y=x2,y=﹣x+6;
(2)C点坐标为(0,6),
∵DE∥y轴,
∴∠ODE=∠COD,∠EDA=∠OCD,
∵∠DOE=∠EDA,
∴∠DOE=∠OCD,
∴△OCD∽△DOE,
∴OC:
OD=OD:
DE,即OD2=OC•DE,
设E点坐标为(a,a2),则D点坐标为(a,6﹣a),
OD2=a2+(6﹣a)2,=2a2﹣12a+36,OC=6,DE=6﹣a﹣a2,
∴2a2﹣12a+36=6(6﹣a﹣a2),解得a1=0,a2=,
∵E是抛物线上OA段上一点,
∴0<a<3,
∴a=,
∴点E坐标为(,);
(3)以点O、C、M、F为顶点的四边形不能为菱形.理由如下:
如图,过O点作OF∥AC交抛物线于F,过F点作FM∥y轴交AC延长线于M点,交x轴于H点,
则四边形OCMF为平行四边形,
∵OC=OB=6,
∴△OCB为等腰直角三角形,
∴∠OBC=45°,
∴∠HOF=45°,
∴△OHF为等腰直角三角形,
∴HO=HF,
设F点坐标为(m,﹣m)(m>0),
把F(m,﹣m)代入y=x2得﹣m=m2,解得m1=0,m2=﹣3,
∴m=﹣3,
∴HO=HF=3,
∴OF=OH=3,
而OC=6,
∴四边形OCMF不为菱形.
4.解:
(1)∵点B(﹣2,m)在直线y=﹣2x﹣1上
∴m=3即B(﹣2,3)
又∵抛物线经过原点O
∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx
∵点B(﹣2,3),A(4,0)在抛物线上
∴,
解得:
.
∴设抛物线的解析式为.
(2)∵P(x,y)是抛物线上的一点,
∴,
若S△ADP=S△ADC,
∵,,
又∵点C是直线y=﹣2x﹣1与y轴交点,
∴C(0,1),
∴OC=1,
∴,即或,
解得:
.
∴点P的坐标为
.
(3)结论:
存在.
∵抛物线的解析式为,
∴顶点E(2,﹣1),对称轴为x=2;
点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点,∴F(2,﹣5),DF=5.
又∵A(4,0),
∴AE=.
如右图所示,在点M的运动过程中,依次出现四个菱形:
①菱形AEM1Q1.
∵此时DM1=AE=,
∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣,
∴t1=4﹣;
②菱形AEOM2.
∵此时DM2=DE=1,
∴M2F=DF+DM2=6,
∴t2=6;
③菱形AEM3Q3.
∵此时EM3=AE=,
∴DM3=EM3﹣DE=﹣1,
∴M3F=DM3+DF=(﹣1)+5=4+,
∴t3=4+;
④菱形AM4EQ4.
此时AE为菱形的对角线,设对角线AE与M4Q4交于点H,则AE⊥M4Q4,
∵易知△AED∽△M4EH,
∴,即,得M4E=,
∴DM4=M4E﹣DE=﹣1=,
∴M4F=DM4+DF=+5=,∴t4=.
综上所述,存在点M、点Q,使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形;时间t的值为:
t1=4﹣,t2=6,t3=4+,t4=.
5.解:
(1)由题意得,顶点D点的坐标为(﹣1,4).
设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4(a≠0),
∵抛物线经过点B(﹣3,0),代入y=a(x+1)2+4
可求得a=﹣1
∴抛物线的解析式为y=﹣(x+1)2+4,即y=﹣x2﹣2x+3.
(2)由题意知,DP=BQ=t,
∵PE∥BC,
∴△DPE∽△DBC.
∴==2,
∴PE=DP=t.
∴点E的横坐标为﹣1﹣t,AF=2﹣t.
将x=﹣1﹣t代入y=﹣(x+1)2+4,得y=﹣t2+4.
∴点G的纵坐标为﹣t2+4,
∴GE=﹣t2+4﹣(4﹣t)=﹣t2+t.
如图1所示:
连接BG.
S四边形BDGQ=S△BQG+S△BEG+S△DEG,即S四边形BDGQ=BQ•AF+EG•(AF+DF)
=t(2﹣t)﹣t2+t.
=﹣t2+2t=﹣(t﹣2)2+2.
∴当t=2时,四边形BDGQ的面积最大,最大值为2.
(3)存在.
∵CD=4,BC=2,
∴tan∠BDC=,BD=2.
∴cos∠BDC=.
∵BQ=DP=t,
∴DE=t.
如图2所示:
当BE和BQ为菱形的邻边时,BE=QB.
∵BE=BD﹣DE,
∴BQ=BD﹣DE,即t=2﹣t,解得t=20﹣8.
∴菱形BQEH的周长=80﹣32.
如图3所示:
当BE为菱形的对角时,则BQ=QE,过点Q作QM⊥BE,则BM=EM.
∵MB=cos∠QBM•BQ,
∴MB=t.
∴BE=t.
∵BE+DE=BD,
∴t+t=2,解得:
t=.
∴菱形BQEH的周长为.
综上所述,菱形BQEH的周长为或80﹣32.
6.解:
(1)对于抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a,令y=0,得到ax2﹣2ax﹣3a=0,解得x=﹣1或3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),
∴OA=1,OB=OC=3,
∴C(0,3),
∴﹣3a=3,
∴a=﹣1,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.
(2)如图2中,作DT⊥AB于T,交BC于R.设D(t,﹣t2+2t+3).
∵OB=OC,∠BOC=∠RTB=90°,
∴∠OBC=∠TRB=∠DRE=45°,
∵DE⊥BC,
∴∠DER=90°,
∴△DER是等腰直角三角形,
∵直线BC的解析式为y=﹣x+3,
∴R(t,﹣t+3),
∴DR=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)=﹣t2+3t,
∴DE=DR•cos45°=﹣t2+t.
(3)如图3中,
∵四边形DHMN是菱形,点H在对称轴上,
∴D、M关于对称轴对称,点N在对称轴上,
设DM交FH于Q,作HK⊥DN于K.
∵tan∠HDK==,设HK=12k,DK=5k,则DH==13k,
∴DN=DH=13k,NK=DN﹣DK=8k,
在Rt△NHK中,NH===4k,
∴QN=QH=2k,
∵S△DNH=•NH•DQ=•DN•HK,
∴DQ=3,
∴tan∠QDH==,
∵DF⊥DH,
∴∠QDH+∠FDQ=90°,∵∠QFD+∠FDQ=90°,
∴∠DFQ=∠QDH,
∴tan∠DFQ==,
∵抛物线的顶点F(1,4),Q(1,﹣t2+2t+3),
∴FQ=4﹣(﹣t2+2t+3),
∴=,
解得t=,
∴D(,),
∴DQ=﹣1=,
∵=,
∴QN=1,
∴N(1,).
7.解:
(1)将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得:
,
解得:
a=1,c=﹣8.
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8.
∵y=(x﹣1)2﹣9,
∴D(1,﹣9).
(2)将y=0代入抛物线的解析式得:
x2﹣2x﹣8=0,解得x=4或x=﹣2,
∴B(4,0).
∵y=(x﹣1)2﹣9,
∴抛物线的对称轴为x=1,
∴E(1,0).
∵将△EBP沿直线EP折叠,使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上,
∴EP为∠BEF的角平分线.
∴∠BEP=45°.
设直线EP的解析式为y=﹣x+b,将点E的坐标代入得:
﹣1+b=0,解得b=1,
∴直线EP的解析式为y=﹣x+1.
将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得:
﹣x+1=x2﹣2x﹣8,解得:
x=或x=.
∵点P在第四象限,
∴x=.
∴y=.
∴P(,).
(3)设CD的解析式为y=kx﹣8,将点D的坐标代入得:
k﹣8=﹣9,解得k=﹣1,
∴直线CD的解析式为y=﹣x﹣8.
设直线CB的解析式为y=k2x﹣8,将点B的坐标代入得:
4k2﹣8=0,解得:
k2=2.
∴直线BC的解析式为y=2x﹣8.
将x=1代入直线BC的解析式得:
y=﹣6,
∴F(1,﹣6).
设点M的坐标为(a,﹣a﹣8).
当MF=MB时,(a﹣4)2+(a+8)2=(a﹣1)2+(a+2)2,整理得:
6a=﹣75,解得:
a=﹣.
∴点M的坐标为(﹣,).
当FM=FB时,(a﹣1)2+(a+2)2=(4﹣1)2+(﹣6﹣0)2,整理得:
a2+a﹣20=0,解得:
a=4或a=﹣5.
∴点M的坐标为(4,﹣12)或(﹣5,﹣3).
综上所述,点M的坐标为(﹣,)或(4,﹣12)或(﹣5,﹣3).
8.解:
(1)∵OB=OC,OA⊥BC,AB=5,
∴AB=AC=5.
∴tan∠ACB==,
∴.
由勾股定理,得OA2+OC2=AC2,
∴()2+OC2=52,解得OC=±4(负值舍去).
∴,OB=OC=4,AD=BC=8.
∴A(0,3),B(﹣4,0),C(4,0),D(8,3).
∴
解之得,
∴抛物线的解析式为y=x2+x+5;
(2)存在.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AC=AB=CD.
又∵AD≠CD,
∴当以A,C,D,E为顶点的四边形是菱形时,AC=CD=DE=AE.
由对称性可得,此时点E的坐标为(4,6)
当x=4时,y=x2+x+5=6,所以点(4,6)在抛物线y=x2+x+5上.
∴存在点E的坐标为(4,6);
(3)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB<90°.
∴当△APQ是直角三角形时,∠APQ=90°或∠AQP=90°.
∵,
∴.
由题意可知AP=t,AQ=5﹣t,0≤t≤5.
当∠APQ=90°时,,
∴,
解得.
当∠AQP=90°时,,
∴,解得.
∵,
∴或.
9.解:
(1)由抛物线的解析式知:
A(0,1);
∵BC⊥x轴,且点C(﹣3,0)
∴点B的横坐标为﹣3,将其代入抛物线的解析式中,得:
﹣×9+×3+
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