杆的扭转定理和公式.docx
- 文档编号:14958194
- 上传时间:2023-06-28
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:71.25KB
杆的扭转定理和公式.docx
《杆的扭转定理和公式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《杆的扭转定理和公式.docx(14页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
杆的扭转定理和公式
圆截面杆的扭转
外力与力||圆杆扭转切应力与强度条件||圆杆扭转变形与刚度条件|| 圆杆的非弹性扭转
1.外力与力
杆件扭转的受力特点是在垂直于其轴线的平面作用有力偶〔图2·2-1a〕,其变形特点是在任意两个截面绕轴线发生相对转动。
轴类构件常有扭转变形发生。
作用在传动轴上的外力偶矩m通常是根据轴所传递的功率N和转速n(r/min)来计算。
当N的单位为千瓦〔kW〕时
当N的单位为马力〔HP〕时
扭转时的力为扭矩T,用截面法求得。
画出的力图称为扭矩图〔或T图〕,如图2·2-1b所示
图2·2-1 圆杆的扭转
2.圆杆扭转切应力与强度条件
当应力不超过材料的剪切比例极限rp时,*横截面上任意C点〔图2·2-2〕的切应力公式为
式中T——C点所在横截面上的扭矩
p——C点至圆心的距离
Lp——横截面对圆心的极惯性矩,见表2-2-1等直杆扭转时的截面几何性质。
图2·2-2 切应力分布
圆杆横截面上的切应力r沿半径呈线性分布,其方向垂直于半径〔图2·3-2〕。
模截面上的最大切应力在圆周各点上,其计算公式为
等截面杆的最大切应力发生在Tma*截面〔危险截面〕的圆周各点〔危险点〕上。
其强度条件为
式中,[τ]为许用扭转切应力,与许用拉应力[σ]的关系为:
[τ]=〔0.5~0.6〕[σ](塑性材料)或[τ]=〔0.5~0.6〕[σ]〔脆性材料〕
3.圆杆扭转变形与刚度条件
在比弹性围,圆杆在扭矩T作用下,相中为L的两截面间相对扭转角为
或
式中G——材料的切变模量
单位扭转角公式为
或
式中GLp——抗扭刚度
圆杆上与杆轴距离为p外〔图2·2-2〕的切应变r为
圆杆外表处的最大切应变为
式中,r——圆杆的半径
等截面圆杆的最大单位扭转角,发生在Tma*一段,其刚度条件为
式中,[θ]为圆杆的许用单位扭转角〔°〕/m
4.圆杆的非弹性扭转
讨论圆杆扭转时切应力超过材料的比例极限并进入塑性状态的情况。
对于加工硬化材料,如果材料的应力-应变图为〔图2·3-3a〕,则杆中任一点处的切应力r就可以确定。
位于横截面边缘处应变为rma*,其相应的切应力rma*可以从应力-应变图求得。
整个横截面上切应力的〔图2·3-3b〕与应力-应变图的形状一样。
使圆杆产生单位扭转角所必需的扭矩T,可根据静力学方程求得〔见图2·2-3b〕为
图2·2-3 圆杆的非弹性扭转
将式(2-2-10)代入式(2-2-13)得
式中Rma*=rθ
根据式〔2·2-14〕,可以得到T与θ的关系曲线,根据该曲线,可以确定对给定T值的θ和Tma*。
如果圆杆的材料具有明显的屈服极限rs,则可使应力-应变图理想化,如图2·2-4a所示,此材料弹塑性材料。
此时,只要杆中最大应变小于rs时,杆就属于弹性的。
当横截面边缘处的应变超过rs时,横截面上的应力分布如图2·2-4b所示,此图说明屈服开场于边缘,当应变增大时,屈服区例向里边开展。
如果材料的屈服极限为rs,弹塑性边界为PS=C时,则扭矩为
图2·2-4 理想弹塑性材料杆的扭转
式中d——圆杆的直径
当整个横截面都面到屈服时,其应力将接近均匀分布,如图2·3-4c所示,相应的扭矩为杆的塑性极限扭矩,其值为
当扭矩到达此值时,扭矩不再增加而杆将继续变形
杆中最初开场屈服时的弹性极限扭矩Ts,由式〔2·2-3〕得
比较式〔2-2-16〕和式〔2-2-17〕,可得塑性极限扭矩与弹性极限扭矩之比为
由此可知,杆中开场屈服后,只要扭矩增大三分之一,就将使杆到达极限承载能力。
非圆截面杆的抟转与薄膜比较
等直杆扭转时的应力与变形||薄膜比较||非弹性扭转杆
非圆截面杆扭转时,其横截面将产生曲。
横截面可以自由翘曲的扭转,称为自由扭转。
此时,由于各截面的翘曲程度一样,故横截面收只在切而没有正奕力。
例如,图2·2-5所示的工钢薄壁杆件,在两端作用一对扭转偶矩,杆的两个翼缘将相对转动,但翼缘的轴线仍为直线,不发生弯曲变形,也不产生正。
图2·2-5 自由扭转
假设由于约束或受力条件的限制,造成杆件各截面的翘曲程度不同时,则横截面上除有切应力外还有正应力。
这种情况称为约束扭转。
例如,图2·2-6a,所示的工字钢杆,一端固定,另一端作用扭转力偶矩。
在固定端截面为平面,不能翘曲,但它限制了相邻截面的翘曲,离固定越远,翘曲受到的限制也越小,到自由端变成了可以自由翘曲。
由于相邻两截面的翘曲不同,则引起这两个截面间纵向纤维长度的改变,于是横截面上产生正应力。
又如图2·2-6b抽示两端简支工字钢杆,在跨度中点截面上作用一个扭转力偶矩。
两端铰支座不允许端截面绕杆轴旋转,但可自由翘曲。
由于对称,跨度中点截面应保持为平面,离中点截面越远,翘曲越大。
对于象工字钢、槽钢等薄壁杆件,在约束扭转时,横截面上的正应力往往很大刚愎自用厍以考虑。
但对于一些袂体杆件,如截面为矩形、椭圆形等杆件,因约束扭转而引起的正应力数值很小,可忽略不计。
图2·2-6 约束扭转
1.等直杆扭转时的应力与变形
具有任意形状的无限长等截面直杆,在绕扭转时,在与Z轴正交的截面上,要产生切应力r*z和r*z〔图2·2-7〕。
为了确定应力和变形,设应力函数φ〔*,Y〕,使其满足以下各式,即
φs=C1〔对单联域截面,可取C1=0〕
式中 C、C1——常数
φs——沿截面周边上的φ值
AI——多联域时各孔的面积,单联域时,AI=0
切应力和应力函数的关系为
等直杆扭转时最大切应力为
单位长度扭转角为
式中,Jk、Wk为截面抗几何特性,见表2-2-1等直杆扭转时的截面几何性质。
图2·2-7 等值杆的扭转
对于任意实体截面〔参见表2-2-2任意实心截面的Jk公式〕,最大切应力位于或非常接近于最大切圆与边界的切点之一〔除非在边界的其他点上有引起很高局部应力的锋利凹角〕,以及位于边界曲率代数值为最小的点上。
对于凸面,边界曲率为正:
对于凹面,边界曲率为负〔图2·2-8〕。
最大切应力可近似地用下式计算,即
图2·2-8 任意实体截面
式中的C分以下两种情形求得:
(1)在曲率为正〔截面边界是直或凸的〕的点上
式中 D——最大切圆直径
r——该点上的边界曲率半径〔此时为正〕
A——截面面积
(2)在曲率为负〔截面边界是凹的〕的点上
式中,ψ为边界切线绕过凹部时所转过的角度,〔见图2-2-8〕,其单位为弧度〔这里的r为负〕而D、r和A的含义同前。
一些任意实体截面的Jh值,见表2-2-2任意实心截面的Jk公式
2.薄膜比较
应用薄膜理论与弹性扭转理论的数学相似性,通过实验确定扭转切应力是比较方便的。
用一块均匀薄膜,在与截面相似的边界上,然后从薄膜的一侧施加微小的气体压力,使薄膜鼓成曲面,如图2-2-9所示。
该曲面与扭转切应力等有着下述关系,即
图2-2-9 薄膜比较
(1)薄膜曲面上任一点的斜率,与截面相应点的扭转切应力的大小成正比。
(2)曲面的等高线即这切应力线
(3)薄腊鼓起的体积的两倍相当于扭矩。
由薄膜比较可知,一般情况下切应力分布有的规律为
(1)实心轴最大扭转切应力,必发生在外周边上,且在最大切圆切点或其附近,或有凹角处。
(2)外周边上的切应力都是沿周边切线方向作用。
(3)在凸角的顶点上切应力为零。
3.非弹性扭转杆
当杆的一局部材料的应力超过弹性极限而产生塑性变形时,即在弹塑性变形情况下,如仍引用与前一节情况一样应力函数,则对于非硬化材料,在塑性区域要满足。
由上式可知,在塑性区域,φ曲面斜率为一常数。
在弹塑性区的交界处,φ是连续的。
当到达极限状态即发生全面塑性变形时,则可由截面边界上筑起具有等倾角为rs的“屋顶〞〔自然倾斜外表即砂堆比较法〕。
由该“屋顶〞与底面所围成的体积即等于塑性极限扭矩的一半。
例如,图2-2-10所示边长这2a的方形截面,其应力函数是高为ars的角锥体。
当发生全面塑性变形时,其极限扭矩的一半等于角锥体的体积,其大小等于底面积乘以高度的1/3。
因此可得
图2-2-10 方形截面的全塑性应力函数曲面
表2-2-3常用截面的θs、Ts、Tp和Tp/Ts列出了几种常用的塑性极限扭矩,并与弹性极限扭矩进展比较。
由表看出,假设使屈服扩展至整个截面,则杆件的承载能力将大大提高。
表2-2-4常用组合截面的Tp列出了*些常用组合截面的塑性极限扭矩近似公式。
表中末列出弹性极限据矩,是因为凹角处很高的应力集中系数对初始屈服有影响。
计算空心截面扭杆的塑性极限扭矩时,对于等壁厚的空心扭杆,其极限据矩Tp等于具有外截面边界的实心扭杆的极限扭矩Tps减去与空心截面的实心扭杆的极限扭矩MpH即
薄壁截面杆的自由扭转
开口截面||闭口截面||多闭室闭口截面
1.开口截面
薄壁截面可分为开口截面和闭口截面。
轧制的型钢或挤压成形的型材,如工字钢、槽钢、角钢或T形、Z形等为“开口〞截。
这种截面可看成是由一些等宽度的狭矩形组成。
狭矩形可能是直的或是弯的,如图2-2-11所示。
在对一个弯的开口狭矩形截面杆的自由扭转进展应力和变形计算时,可用同宽同长的直的狭矩形截面杆来代替。
图2-2-11 开口截面
单位长度扭有角的变化为
式中 T——扭矩
G——切变模量
Jk——自由扭转的截面抗几何特性
其中 a——截面形状修正系数,见表2-2-5
ti——每个狭矩形的厚度或平均厚度
di——每个狭矩形的长度
表2-2-5 截面形状系数α的平均值
截面形状系数
工字钢
槽钢
角钢
T型钢
Z型钢
α
1.20
1.12
1.10
1.15
1.14
每个狭矩形长边中点附近的切应力
最大切应力
式中,tma*为最大厚度。
2.闭口截面
闭口截面可分为单闭室和多闭室截面。
薄壁管和空心矩形截面杆等属于单闭室截面。
它们在自由扭转时,单位长度扭转角的变化为
应力或剪流公式为
由式(2-2-27)和式(2-2-28)的
3.多闭室闭口截面
如由N个闭室构成的一个闭口截面扭杆,设各闭室的剪流分别为qⅠ、qⅡ……、qN。
这时,隔板上的剪流应分别为qⅠ-qⅡ(向上)、qⅡ-qⅢ〔向上〕、……。
可建立〔N+1〕个方程组,解出〔N+1〕个末知数:
qⅠ、qⅡ……qN和dθ/dz。
其中N个方程是由各闭室的单位长度扭转角公式〔2-2-30〕得出,另一个方程由平衡条件
图2-2-12 闭口截面
得出。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 扭转 定理 公式