1考研数三真题及解析.doc
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2013年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题:
1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)当时,用表示比高阶的无穷小,则下列式子中错误的是()
(A)
(B)
(C)
(D)
(2)函数的可去间断点的个数为()
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
(3)设是圆域位于第象限的部分,记,则()
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)设为正项数列,下列选项正确的是()
(A)若收敛
(B)收敛,则
(C)收敛,则存在常数,使存在
(D)若存在常数,使存在,则收敛
(5)设矩阵A,B,C均为n阶矩阵,若
(A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
(B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
(C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
(D)矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价
(6)矩阵与相似的充分必要条件为
(A)
(B)
(C)
(D)
(7)设是随机变量,且,
则()
(A)
(B)
(C)
(D)
(8)设随机变量X和Y相互独立,则X和Y的概率分布分别为,
则()
(A)
(B)
(C)
(D)
二、填空题:
9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)设曲线和在点处有公共的切线,则________。
(10)设函数由方程确定,则________。
(11)求________。
(12)微分方程通解为________。
(13)设是三阶非零矩阵,为A的行列式,为的代数余子式,若
(14)设随机变量X服从标准正态分布,则=________。
三、解答题:
15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
当时,与为等价无穷小,求与的值。
(16)(本题满分10分)
设是由曲线,直线及轴所围成的平面图形,分别是绕轴,轴旋转一周所得旋转体的体积,若,求的值。
(17)(本题满分10分)
设平面内区域由直线及围成.计算。
(18)(本题满分10分)
设生产某产品的固定成本为6000元,可变成本为20元/件,价格函数为,(P是单价,单位:
元,Q是销量,单位:
件),已知产销平衡,求:
(1)该商品的边际利润。
(2)当P=50时的边际利润,并解释其经济意义。
(3)使得利润最大的定价P。
(19)(本题满分10分)
设函数在上可导,,证明
(1)存在,使得
(2)对
(1)中的,存在使得
(20)(本题满分11分)
设,当为何值时,存在矩阵使得,并求所有矩阵。
(21)(本题满分11分)
设二次型,记。
(I)证明二次型对应的矩阵为;
(II)若正交且均为单位向量,证明二次型在正交变化下的标准形为二次型。
(22)(本题满分11分)
设是二维随机变量,的边缘概率密度为,在给定的条件下,的条件概率密度
(1)求的概率密度;
(2)的边缘概率密度.
(23)(本题满分11分)
设总体的概率密度为其中为未知参数且大于零,为来自总体的简单随机样本.
(1)求的矩估计量;
(2)求的最大似然估计量.
2013年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题答案
一、选择题:
1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)当时,用表示比高阶的无穷小,则下列式子中错误的是()
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】D
【解析】,故D错误。
(2)函数的可去间断点的个数为()
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
【答案】C
【解析】由题意可知的间断点为。
又
故的可去间断点有2个。
(3)设是圆域位于第象限的部分,记,则()
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】B
【解析】令,则有
故当时,,此时有故正确答案选B。
(4)设为正项数列,下列选项正确的是()
(A)若收敛
(B)收敛,则
(C)收敛,则存在常数,使存在
(D)若存在常数,使存在,则收敛
【答案】D
【解析】根据正项级数的比较判别法,当时,,且存在,则与同敛散,故收敛.
(5)设矩阵A,B,C均为n阶矩阵,若,且可逆,则()
(A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
(B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
(C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
(D)矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价
【答案】(B)
【解析】由可知C的列向量组可以由A的列向量组线性表示,又B可逆,故有,从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示,故根据向量组等价的定义可知正确选项为(B)。
(6)矩阵与相似的充分必要条件为
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】(B)
【解析】由于为实对称矩阵,故一定可以相似对角化,从而与相似的充分必要条件为的特征值为。
又,从而。
(7)设是随机变量,且,
则()
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】(A)
【解析】由知,
,
,故.
由根据及概率密度的对称性知,,故选(A)
(8)设随机变量X和Y相互独立,则X和Y的概率分布分别为,
则()
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】(C)
【解析】,又根据题意独立,故
,选(C).
二、填空题:
9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)设曲线和在点处有公共的切线,则________。
【答案】
【解析】在处的导数是,故,
(10)设函数由方程确定,则________。
【答案】
【解析】原式为左右两边求导得:
得
(11)求________。
【答案】
【解析】
(12)微分方程通解为________。
【答案】
【解析】特征方程为,所以通解为
(13)设是三阶非零矩阵,为A的行列式,为的代数余子式,若
【答案】
【解析】
(14)设随机变量X服从标准正态分布,则=________。
【答案】
【解析】由及随机变量函数的期望公式知
.
三、解答题:
15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
当时,与为等价无穷小,求与的值。
【解析】因为当时,与为等价无穷小
所以
又因为:
即
所以且
(16)(本题满分10分)
设是由曲线,直线及轴所围成的平面图形,分别是绕轴,轴旋转一周所得旋转体的体积,若,求的值。
【解析】由题意可得:
因为:
所以
(17)(本题满分10分)
设平面内区域由直线及围成.计算。
【解析】
(18)(本题满分10分)
设生产某产品的固定成本为6000元,可变成本为20元/件,价格函数为,(P是单价,单位:
元,Q是销量,单位:
件),已知产销平衡,求:
(1)该商品的边际利润。
(2)当P=50时的边际利润,并解释其经济意义。
(3)使得利润最大的定价P。
【解析】(I)设利润为,则
边际利润
(II)当时,边际利润为20,
经济意义为:
当时,销量每增加一个,利润增加20
(III)令,此时
(19)(本题满分10分)
设函数在上可导,,证明
(1)存在,使得
(2)对
(1)中的,存在使得
【答案】(I)证明:
,
上连续,根据连续函数介值定理,存在
(II)在上连续且可导,根据拉格朗日中值定理,
,
故
(20)(本题满分11分)
设,当为何值时,存在矩阵使得,并求所有矩阵。
【解析】
由题意可知矩阵C为2阶矩阵,故可设,则由可得线性方程组:
(1)
由于方程组
(1)有解,故有,即从而有
,故有
从而有
(21)(本题满分11分)
设二次型,记。
(I)证明二次型对应的矩阵为;
(II)若正交且均为单位向量,证明二次型在正交变化下的标准形为二次型。
【答案】
(1)
(2),则1,2均为A的特征值,又由于,故0为A的特征值,则三阶矩阵A的特征值为2,1,0,故f在正交变换下的标准形为
(22)(本题满分11分)
设是二维随机变量,的边缘概率密度为,在给定的条件下,的条件概率密度
(3)求的概率密度;
(4)的边缘概率密度.
【答案】
(1)
(2)
(23)(本题满分11分)
设总体的概率密度为其中为未知参数且大于零,为来自总体的简单随机样本.
(1)求的矩估计量;
(2)求的最大似然估计量.
【答案】
(1),令,故矩估计量为.
(2)
当时,
令,
得,所以得极大似然估计量=.
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