1年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版).docx
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2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数学(理科)
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
(1)【2013年湖北,理1,5分】在复平面内,复数(为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()
(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
【答案】D
【解析】,则,其对应点位于第四象限,故选D.
(2)【2013年湖北,理2,5分】已知全集为,集合,,则()
(A)(B)(C)(D)
【答案】C
【解析】∵,,∴,故选C.
(3)【2013年湖北,理3,5分】在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()
(A)∨(B)∨(C)∧(D)∨
【答案】A
【解析】因为p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则是“没有降落在指定范围”,是“乙
没有降落在指定范围”,所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为∨,故选A.
(4)【2013年湖北,理4,5分】将函数的图象向左平移个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是()
(A)(B)(C)(D)
【答案】B
【解析】因为可化为,将它向左平移个单位得
,其图像关于轴对称,故选B.
(5)【2013年湖北,理5,5分】已知,则双曲线:
与:
的
()
(A)实轴长相等(B)虚轴长相等(C)焦距相等(D)离心率相等
【答案】D
【解析】对于双曲线,有,.对于双曲线,
有,.
即这两双曲线的离心率相等,故选D.
(6)【2013年湖北,理6,5分】已知点、、、,则向量在方向上的投影为()
(A)(B)(C)(D)
【答案】A
【解析】,,则在方向上的射影为,
故选A.
(7)【2013年湖北,理7,5分】一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度
(的单位:
,的单位:
m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:
m)是()
(A)(B)(C)(D)
【答案】C
【解析】令=0,解得或(不合题意,舍去),即汽车经过4秒中后停止,在此期间汽车继续行驶的距离为,故选C.
(8)【2013年湖北,理8,5分】一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为,,,,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有()
(A)(B)
(C)(D)
【答案】C
【解析】显然,所以B不正确.又,,
,,从而,故选C.
(9)【2013年湖北,理9,5分】如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小
的小正方体.经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为,则的均值
()
(A)(B)(C)(D)
【答案】B
【解析】125个同样大小的小正方体的面数共有125×6=750,涂了油漆的面数有25×6=150.
每一个小正方体的一个面涂漆的频率为,则它的涂漆面数为的均值,故选B.
(10)【2013年湖北,理10,5分】已知为常数,函数有两个极值点,,则()
(A),(B),
(C),(D),
【答案】D
【解析】,由由两个极值点,得有两个不等的实数解,即有两个实数解,从而直线与曲线有两个交点.过点作的切线,设切点为,则切线的斜率,切线方程为.切点在切线上,则,又切点在曲线上,则,即切点为,切线方程为.再由直线与曲线有两个交点,知直线位于两直线和之间,如图所示,其斜率满足:
,解得.则这函数的两个极点满足,所以,而,即,所以,故选D.
二、填空题:
共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.
(一)必考题(11-14题)
(11)【2013年湖北,理11,5分】从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现
其用电量都在50至350度之间,频率分布直方图如图所示
(1)直方图中的
值为_________;
(2)在这些用户中,用电量落在区间内的户数
为.
【答案】
(1)0.0044
(2)70
【解析】
(1).
(2)用电量落在区间内的户数为.
(12)【2013年湖北,理12,5分】阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果.
【答案】5
【解析】已知初始值,∵,则执行程序,得;因为,则执行程序,得;,则第三次执行程序,得;∵,则第四次执行程序,得;∵,执行输出,.
(13)【2013年湖北,理13,5分】设,且满足:
,,
则.
【答案】
【解析】由柯西不等式得当且仅当时等号成立,此时,
.∵,,∴,,.∴.
(14)【2013年湖北,理14,5分】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,,第个三角形数为.记第个边形数为,以下列出了部分k边形数中第个数的表达式:
三角形数,正方形数,五边形数,六边形数,…………可以推测的表达式,由此计算________.
【答案】1000
【解析】由题中数据可猜想:
含项的系数为首项是,公差是的等差数列,含项的系数为首项是,公
差是的等差数列,因此.
故.
(一)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑,如果全选,则按第15题作答结果计分.)
(15)【2013年湖北,理15,5分】(选修4-1:
几何证明选讲)如图,圆上一点在直径上
的射影为,点在半径上的射影为.若,则的值为_______.
【答案】8
【解析】根据题设,易知,,∴,
即,在中,,在中,,即,∴.
(16)【2013年湖北,理16,5分】(选修4-4:
坐标系与参数方程)在直角坐标系中,椭圆的参数方程为(为参数,).在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线与圆的极坐标方程分别为(m为非零常数)与.若直线经过椭圆的焦点,且与圆相切,则椭圆的离心率为 .
【答案】
【解析】椭圆的方程可以化为,圆的方程可化为,直线的方程可化为,因为直线经过椭圆的焦点,且与圆相切,则,,,所以椭圆的离心率.
三、解答题:
共6题,共75分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
(17)【2013年湖北,理17,11分】在△中,角,,对应的边分别是,,.已知.
(1)求角A的大小;
(2)若△的面积,,求的值.
解:
(1)由,得,即,解得或
(舍因为,所以.
(2)由得.又,知.由余弦定理故.
又由正弦定理得.
(18)【2013年湖北,理18,12分】已知等比数列满足:
,.
(1)求数列的通项公式;
(2)是否存在正整数,使得?
若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.
解:
(1)设等比数列的公比为q,则由已知可得,解得,或.
故,或.
(2)若,则,故是首项为,公比为的等比数列,
从而.若,则,
故是首项为,公比为的等比数列,从而,故.
综上,对任何正整数,总有.故不存在正整数,使得成立.
(19)【2013年湖北,理19,12分】如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,
直线平面,,分别是,的中点.
(1)记平面与平面的交线为,试判断直线与平面的位置关系,并加以
证明;
(2)设
(1)中的直线l与圆的另一个交点为,且点Q满足.记直线
与平面所成的角为,异面直线与所成的角为,二面角的
大小为,求证:
.
解:
(1)直线∥平面,证明如下:
连接,因为,分别是,的中点,所以∥.又平面,
且平面,所以∥平面.而平面,且平面平面
,所以∥.因为平面,平面,所以直线∥平面.
(2)解法一:
(综合法)
如图,连接,由
(1)可知交线即为直线,且∥.因为是的直径,
所以,于是.已知平面,而平面,所以.
而,所以平面.连接,,因为平面,所以.
故就是二面角的平面角,即.由,作∥,且.
连接,,因为是的中点,,所以,从而四边形是平行四边形,
∥.连接,因为平面,所以是在平面内的射影,
故就是直线与平面所成的角,即.又平面,有,
知为锐角,故为异面直线与所成的角,即,于是在△,
△,△中,分别可得,,,
从而,即.
解法二:
(向量法)
如图,由,作∥,且.连接,,,,,
由
(1)可知交线即为直线.以点为原点,向量所在直线分别为
轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设,则有
,.
于是,,,
所以,从而.
又取平面的一个法向量为,可得,
设平面的一个法向量为,所以由,可得.取.
于是,从而.
故,即.
(20)【2013年湖北,理20,12分】假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为.
(1)求的值;(参考数据:
若~,有
,);
(2)某客运公司用、两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次.、
两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公
司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求型车不多于型车7辆.若每天要以不小于的
概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备型车、型车
各多少辆?
解:
(1)由于随机变量服从正态分布,故有,,.
由正态分布的对称性,得
.
(2)设型、型车辆的数量分别为辆,则相应的营运成本为.
依题意,还需满足:
.
由
(1)知,,故等价于.
于是问题等价于求满足约束条件,且使目标函数
达到最小的.作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐
标分别为.由图可知,当直线经过可行域的点P时,直线
在y轴上截距最小,即z取得最小值.故应配备型车5辆、型车12辆.
(21)【2013年湖北,理21,14分】如图,已知椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别为,,过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记,△和△的面积分别为和.
(1)当直线与轴重合时,若,求的值;
(2)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得?
并说明理由.
解:
依题意可设椭圆和的方程分别为:
,:
.其中,
(1)解法一:
如图,若直线与轴重合,即直线的方程为,则,
,所以.在C1和C2的方程中分别令,
可得,,,于是.
若,则,化简得.由,可解得.
故当直线与轴重合时,若,则.
解法二:
如图,若直线与轴重合,则,;
,.所以.
若,则,化简得.由,可解得.
故当直线与轴重合时,若,则.
(2)解法一:
如图,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得.根据对称性,不妨设直线:
,点,到直线的距离分别为,,则
因为,,所以.
又,,所以,即.
由对称性可知,所以,,
于是.①将的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得,.
根据对称性可知,,于是.②
从而由①和②式可得.③令,则由,可得,于是由③可解
得.因为,所以.于是③式关于有解,当且仅当,
等价于.由,可解得,即,由,解得,
所以当时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得;
当时,存在与坐标轴不重合的直线l使得.
解法二:
如图,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得.根据对称性,不妨设直线:
,
点,到直线的距离分别为,,则,,
所以.又,,所以.
因为,所以.
由点,分别在C1,C2上,可得,,
两式相减可得,依题意,所以.
所以由上式解得.因为,所以由,可解得.
从而,解得,所以当时,不存在与坐标轴不重合的直线l,
使得;当时,存在与坐标轴不重合的直线l使得
(22)【2013年湖北,理22,14分】设是正整数,为正有理数.
(1)求函数的最小值;
(2)证明:
;
(3)设,记为不小于的最小整数,例如,,.
令,求的值.(参考数据:
,,,
)
解:
(1)因为,令,解得.
当时,,所以在内是减函数;
当时,,所以在内是增函数.故函数在处取得最小值.
(2)由
(1),当时,有,,且等号当且仅当时成立,
故当且时,.①在①中,令(且),.
上式两边同乘,得,即②
当时,在①中令(这时且),类似可得③
且当时,③也成立.综合②,③得.④
(3)在④中,令,分别取值81,82,83,…,125,得,
,,………
.将以上各式相加,并整理得.
代入数据计算,可得,.由的定义,得.
9
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