1年高考数学理知识与能力测试题(4).doc
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1年高考数学理知识与能力测试题(4).doc
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2013年高考理科数学知识与能力测试题(四)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知,则=
A.B.C.D.
2.平面向量与向量夹角为,且,则=
A、(2,1)或B、或C、(2,1)D、
3.,下列命题中正确的是
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
4.已知实数、满足约束条件,则的最大值为
A.24B.20C.16 D.12
5.下列图象中,有一个是函数的导函数的图象,则=
A.B. C.D.或
6.已知正四棱锥的侧棱与底边的边长都为,则这个四棱锥的外接球的表面积为
A.B.C.D.
7.设函数在点处连续,则实数的值为
A.B.C.1D.2
8.函数满足,则的值是
A.B. C.2 D.
二.填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中相应的横线上
9.若不等式对于区间内的任意都成立,则实数的取值范围是;
10.将名大学生分配到3个企业去实习,不同的分配方案共有种;如果每个企业至少分配去名学生,则不同的分配方案共有种(用数字作答).
11.已知一盒子中有散落的围棋棋子10粒,其中7粒黑子,3粒白子,从中任意取出2粒,若表示取得白子的个数,则E等于;
12.公比为的等比数列中,若是数列的前项积,则有也成等比数列,且公比为;类比上述结论,相应地在公差为的等差数列中,若是的前项和,则数列也成等差数列,且公差为;(第一个空3分,第二个空2分);
13.已知,点是圆的动点,点N是圆的动点,则的最大值是;
14、▲选做题:
在下面三道题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分。
①已知,,则的取值范围是;
②圆心(2,-1),半径为3的圆的参数方程是;
③半径分别为1cm和2cm的两圆外切,作半径为3cm的圆与这圆均相切的,一共可作个。
三、解答题:
本大题共6小题;共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分12分)
已知:
,为实常数。
(1)求的最小正周期;
(2)若在上最大值与最小值之和为3,求的值。
16.(本小题满分12分)
在教室内有10个学生,分别佩带着从1号到10号的校徽,任意取3人记录其校徽的号码。
(1)求最小号码为5的概率。
(2)求3个号码中至多有一个是偶数的概率。
(3)求3个号码之和不超过9的概率。
17.(本小题满分14分)
如图,梯形中,,,是的中点,将沿折起,使点折到点的位置,且二面角的大小为。
(1)求证:
;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)求点到平面的距离。
18.(14分)设函数
(1)求导数,并证明有两个不同的极值点;
(2)若对于
(1)中的不等式成立,求的取值范围。
19.(本小题满分14分)
已知数列满足,是的前项的和,.
(1)求;
(2)证明:
。
20.(14分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点,它们在轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点。
(Ⅰ)求这三条曲线的方程;
(Ⅱ)已知动直线过点,交抛物线于两点,是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值?
若存在,求出的方程;若不存在,说明理由。
2007年高考理科数学知识与能力测试题参考答案(四)
一、答案:
1-4,CABB;5-8,BBDB
提示:
1.,,
2.检验
3.;
4.略;
5.先求,所以;
6.求得,;
7.,,;
8.,,,
二、9.;10.81,36;11.;12.,,;300;
13.2;14.①、;②、其中为参数;③、5。
提示:
9.数形结合,,
10.,
11.,
12.略
13.由对称性
14.略
三、15.解:
(I)的最小正周期
(II)由得
,,,解得
16.解:
(1)从10人中任取3人,共有种,最小号码为5,相当于从6,7,8,9,10共五个中任取2个,则共有种结果。
则最小号码为5的概率为=
(2)选出3个号码中至多有一个是偶数,包括没有偶数和恰有一个偶数两种情况,共有种.所以满足条件的概率为
(3)3个号码之和不超过9的可能结果有:
(1,2,3),1,2,4),1,2,5),(1,2,6),
(1,3,4),(1,3,5),(2,3,4)则所求概率为。
17.解:
(1)连结交于,连结,∵∴
又∵∴,即平分,
∵是等边三角形∴,,,。
(2)过作于,连接,设,则
∵∴,
就是直线与平面所成的角
∵是二面角的平面角∴
在中
(3)∵在平面外,∴
点到平面的距离即为点到平面的距离,过点作,垂足为,
∵∴,
,的长即为点到平面的距离。
在菱形中,,
,
18.解:
(1)
所以方程有两个不同的实数解,
不妨设,则在区间和上,,是增函数;在区间上,,是减函数;故是极大值点,是极小值点。
(2)由得:
即
又且
所以整理得
解得
所以当时,不等式成立。
19.
(1)由题意得于是
即
当时,
当时,
又,所以,
又可见,,也适合,
故().
(2)由
(1)得:
①当时,;
②当时,
而
综上所证:
20.解:
(Ⅰ)设抛物线方程为,将代入方程得
所以抛物线方程为。
由题意知椭圆、双曲线的焦点为、。
设椭圆的方程为,则
,,,
椭圆的方程为。
设双曲线的方程为,则
,,,
椭圆的方程为。
(Ⅱ)设的中点为,的方程为:
,以为直径的圆交于两点,中点为。
设,则
当时,,,此时,。
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