高考数学专题复习攻略多变量表达式范围消元法.docx
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高考数学专题复习攻略多变量表达式范围消元法
多变量表达式的范围——消元法
一、基础知识:
1、消元的目的:
若表达式所含变量个数较多,则表达式的范围不易确定(会受多个变量的取值共同影响),所以如果题目条件能够提供减少变量的方式,则通常利用条件减少变量的个数,从而有利于求表达式的范围(或最值),消元最理想的状态是将多元表达式转为一元表达式,进而可构造函数求得值域
2、常见消元的方法:
(1)利用等量关系消元:
若题目中出现了变量间的关系(等式),则可利用等式进行消元,在消元的过程中要注意以下几点:
①要确定主元:
主元的选取有这样几个要点:
一是主元应该有比较明确的范围(即称为函数的定义域);二是构造出的函数能够解得值域(函数结构不复杂)
②若被消去的元带有范围,则这个范围由主元承担。
例如选择
为主元,且有
,则
除了满足自身的范围外,还要满足
(即解不等式)
(2)换元:
常见的换元有两种:
①整体换元:
若多元表达式可通过变形,能够将某一个含多变量的式子视为一个整体,则可通过换元转为一元表达式,常见的如
等,例如在
中,可变形为
,设
,则将问题转化为求
的值域问题
注:
在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围,即要确定新元的范围
②三角换元:
已知条件为关于
的二次等式时,可联想到三角公式,从而将
的表达式转化为三角函数表达式来求得范围。
因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同,所以在有些题目中可巧妙的解决问题,常见的三角换元有:
平方和:
联想到正余弦平方和等于1,从而有:
推广:
平方差:
联想到正割(
)与正切(
)的平方差为1,则有
,
推广:
注:
若
有限定范围时,要注意对
取值的影响,一般地,若
的取值范围仅仅以象限为界,则可用对应象限角的取值刻画
的范围
3、消元后一元表达式的范围求法:
(1)函数的值域——通过常见函数,或者利用导数分析函数的单调性,求得函数值域
(2)均值不等式:
若表达式可构造出具备使用均值不等式(
等)的条件,则可利用均值不等式快速得到最值。
(3)三角函数:
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