高中数学人教A版必修1学案《函数与方程》自主学习精品学案整理含答案Word格式文档下载.docx
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0,f
(2)=ln2-1<
0,
∴在(1,2)内f(x)无零点,所以A不对.
又f(3)=ln3-
>
∴f
(2)·
f(3)<
∴f(x)在(2,3)内有一个零点.
【答案】B
【溯源】这是最基本的题型,所用的方法是基本方法:
只要判断区间[a,b]的端点值的乘积是否有f(a)f(b)<
0;
若问题改成:
指出函数f(x)=lnx-
的零点所在的大致区间,则需取区间[a,b]使f(a)f(b)<
●案例2二次函数y=ax2+bx+c中,a·
c<
0,则函数的零点个数是( )
A.1B.2C.0D.无法确定
【探究】∵c=f(0),∴ac=af(0)<
0,即a与f(0)异号,即
或
∴函数必有两个零点.
【溯源】判断二次函数f(x)的零点的个数,就是判断一元二次方程ax2+bx+c=0的实根的个数,一般地由判别式Δ>
0、Δ=0、Δ<
0完成.对于二次函数在某个定义区间上的零点个数以及不能用“Δ”判断的二次函数零点,则要结合二次函数的图象进行.
6.二次函数的图象与性质
(1)定义:
函数y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数.它的定义域为R.
(2)二次函数具有如下一些主要性质:
y=ax2+bx+c(a≠0)
=a(x+
)2+
=a(x-h)2+k.
其中h=-
k=
.
函数的图象是一条抛物线,抛物线顶点的坐标是(h,k),抛物线的对称轴是直线x=h;
当a>
0时,抛物线开口向上,函数在x=h处取得最小值k=f(h);
在区间(-∞,h]上是减函数,在[h,+∞)上是增函数.
当a<
0时,抛物线开口向下,函数在x=h处取得最大值k=f(h);
在区间(-∞,h]上是增函数,在[h,+∞)上是减函数.
(3)二次函数的三种常用解析式:
①一般式:
f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
②顶点式:
y=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)为顶点坐标.
③标根式:
f(x)=a(x-α)(x-β)(a≠0),其中α和β是方程f(x)=0的根.
疑难疏引于二次方程的根的分布问题,画出图象后,根据二次函数相应特征列不等式(组),往往比直接求出根后根据其所在区间列不等式更简便.一元二次方程根的分布有如下几种情况:
根的分布
x1<
x2<
k
k<
x2
图象
充要条件
f(k)<
x1、x2∈(k1,k2)
k1<
k2<
k3
在(k1,k2)内有且仅有一根
f(k1)f(k2)<
0或者Δ=0且
∈(k1,k2)
3.1.2用二分法求方程的近似解
1.二分法的定义
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·
0的函数y=f(x),通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法.
2.二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤
(1)确定区间[a,b],验证f(a)·
0,给定精度ε.
(2)求区间(a,b)的中点x1.
(3)计算f(x1).若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;
若f(a)·
f(x1)<
0,则取区间(a,x1)(此时零点x0∈(a,x1));
若f(x1)·
0,则取区间(x1,b)(此时零点x0∈(x1,b)).
(4)判断是否达到精度ε,即若|a-b|<
ε,则得到零点近似值a(或b);
否则重复步骤
(2)~(4).
3.借助于函数方程思想用二分法求方程的近似解的意义
解方程是我们在数学学习过程中经常遇到的问题.但平时我们所解的方程都是代数方程,即整式方程、分式方程和无理方程,而对于含有指数和对数的方程,我们也只解一些极为特殊的,对于大部分含有指数和对数的方程是很难用代数方法来解的,例如,对于方程lgx=3-x,我们要求出它的解比较困难,但我们可以用二分法求出它的近似解.
记忆口诀:
函数连续值两端,相乘为负有零点,
区间之内有一数,方程成立很显然.
要求方程近似解,先看零点的区间,
每次区间分为二,分后两端近零点.
●案例某电器公司生产A种型号的家庭电脑.1996年平均每台电脑生产成本为5000元,并以纯利润20%标定出厂价.1997年开始,公司更新设备,加强管理,逐步推行股份制,从而使生产成本逐年降低.2000年平均每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是1996年出厂价的80%,但却实现了纯利润50%的高效率.求
(1)2000年每台电脑的生产成本;
(2)以1996年的生产成本为基数,用二分法求1996~2000年生产成本平均每年降低的百分数(精确到0.01).
【探究】第
(1)问是价格和利润的问题,销售总利润可以按每台来算,也可以按实现50%的利润来算,从而找出等量关系;
第
(2)问是增长率问题,要注意列出方程后,用二分法求解,但应用二分法时注意合理使用计算器.
(1)设2000年每台电脑的成本为p元,根据题意,得
p(1+50%)=5000×
(1+20%)×
80%,解得p=3200(元).
故2000年每台电脑的生产成本为3200元.
(2)设1996~2000年间每年平均生产成本降低的百分率为x,根据题意,得
5000(1-x)4=3200(0<x<1).
令f(x)=5000(1-x)4-3200,作出x、f(x)的对应值表,如下表:
x
0.15
0.3
0.45
0.6
0.75
0.9
1.05
F(x)
1800
-590
-2000
-2742
-3072
-3180
-3200
观察上表,可知f(0)·
f(0.15)<0,说明此函数在区间(0,0.15)内有零点x0.
取区间(0,0.15)的中点x1=0.075,用计算器可算得f(0.075)≈460.因为f(0.075)·
f(0.15)<0,所以x0∈(0.075,0.15).
再取(0.075,0.15)的中点x2=0.1125,用计算器可算得f(0.1125)≈-98.因为
f(0.075)·
f(0.1125)<0,所以x0∈(0.075,0.1125).
同理,可得x0∈(0.009375,0.1125),x0∈(0.103125,0.1125),x0∈(0.103125,0.1078125),x0∈(0.10546875,0.1078125).
由于|0.1078125-0.10546875|=0.00234375<0.01,此时区间(0.10546875,0.1078125)的两个端点精确到0.01的近似值都是0.11,所以原方程精确到0.01的近似解为0.11.
1996~2000年生产成本平均每年降低的百分数为11%.
【溯源】降低成本提高效率的问题应注意:
成本+利润=出厂价;
利润=成本×
利润率.熟悉二分法的解题步骤,虽然比较繁杂,但是可以体会到“逐步逼近”的数学思想.
活学巧用
1.判断方程log
x=x
的根的个数.
【思路解析】在同一坐标系内作出函数f(x)=log
x和g(x)=x
的图象,如下图所示,通过比较函数的增长速度,利用函数图象交点的个数,求得方程解的个数.
【答案】f
(1)=0,f(
)=1,f(
)=2,f(
)=4.
g
(1)=1,g(
)=
,g(
f[(
)12]=12,f[(
)14]=14.
g[(
)12]=(
)6≈11.39,g[(
)14]=(
)7≈17.09.
通过计算(用计算器),可知在区间[
]和区间[(
)12,(
)14]内,函数图象各有一个交点,从而方程在两个区间内各有一个根.
2.利用函数的图象,指出函数f(x)=2x·
ln(x-2)-3零点所在的大致区间.
【思路解析】首先对x取值来寻找y值的符号,然后判断零点所在的大致区间.
【解】用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表(如下表).
2.5
3
3.4
4
4.5
5
f(x)
-6.4657
-3
-0.1617
2.5452
5.2466
7.9861
由上表和上图可知该函数零点的大致区间为[3,4]
3.求函数f(x)=2x3-3x+1零点的个数.
【思路解析】先用计算机或计算器作出f(x)的对应值表,然后根据函数零点的判定方法来判定函数的零点.
【解】用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表(如下表)和图象(如下图).
X
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
-1.25
2
2.25
-0.25
3.25
由上表和上图可知,f(-1.5)<0,f(-1)>0,即f(-1.5)·
f(-1)<0,说明这个函数在区间(-1.5,-1)内有零点.同理,它在区间(0,0.5)内也有零点.另外,f
(1)=0,所以1也是它的零点.由于函数f(x)在定义域(-∞,-1.5)和(1,+∞)内是增函数,所以它共有3个零点.
4.已知二次函数f(x)=ax2+(a2+b)x+c的图象开口向上,且f(0)=1,f
(1)=0,则实数b的取值范围是( )
A.(-∞,-
]B.[-
0)C.[0,+∞)D.(-∞,-1)
【思路解析】考察二次函数图象的特点,依题意得
整理得a2+a+b+1=0,解得a=
∵图象开口向上,∴a>
∴a=
0.解得b<
-1.
∵二次函数
f(x)=ax2+(a2+b)x+c的图象过点(0,1)和点(1,0),又∵图象开口向上,
∴点(0,1)必须在抛物线对称轴的左侧,即抛
物线的对称轴在点(0,1)的右侧,即y轴的右侧,即x=-
∴a2+b<
0,当b<
-1时,a2+b<
0恒成立.
∴b<
-1.因此,选D
【答案】D
5.若方程x2+(m-3)x+m=0两个根都小于1,求m的范围.
【思路解析】画出图象,根据图象特征,可列出不等式组,从而得出结论.
【解】令f(x)=x2+(m-3)x+m,
则
{m|m≥9}.
6.(2005全国,19)已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>
-2x的解集为(1,3).
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式.
(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.
【思路解析】此题考查二次函数解析式求法以及最大值的求法.
【答案】
(1)f(x)=-
x2-
x-
(2)(-∞,-2-
)∪(-2+
0).
7.求方程lnx+x-3=0在(2,3)内的根(精确到0.1).
【分析】用二分法求解.
【解】令f(x)=lnx+x-3,即求函数f(x)=0在(2,3)内的零点.
∵f
(2)=ln2-1<
0,f(3)=ln3>
0,
∴可取(2,3)作为初始区间,用二分法列表如下:
中点
端点或中点函数值
取区间
f
(2)<
0,f(3)>
(2,3)
f(2.5)>
(2,2.5)
f(2.25)>
(2,2.25)
2.125
f(2.125)<
(2.125,2.25)
2.1875
f(2.1875)<
(2.1875,2.25)
2.21875
f(2.21875)>
(2.1875,2.21875)
2.1875≈2.2,2.21875≈2.2,
∴所求方程的根为2.2(精确到0.1).
8.国家购买某种农产品的价格为120元/担,其中征税标准为100元征8元(叫做税率为8个百分点,即8%),计划可收购m万担.为了减轻农民负担,决定税率降低x个百分点,预计收购量可增加2x个百分点.
(1)写出税收f(x)(万元)与x的函数关系式;
(2)要使此项税收在税率调节后达到计划的78%,试求此时x的值.
【思路解析】第
(1)问这样考虑:
调节税率后税率为(8-x)%,预计可收购m(1+2x%)万担,总金额为120m(1+2x%)万元,从而列出函数表达式.
【解】
(1)由题设,调节税率后税率为(8-x)%,预计可收购m(1+2x%)万担,总金额为120m(1+2x%)万元.f(x)=120m(1+2x%)(8-x)%,
即f(x)=-
(x2+42x-400)(0<x≤8).
(2)计划税收为120m·
8%万元,由题设,有f(x)=120m·
8%·
78%,
即x2+42x-88=0(0<x≤8),解得x=2.
9.求方程2x+3x=7的近似解(精确到0.01).
【思路解析】利用二分法.
【解】原方程即2x+3x-7=0,令f(x)=2x+3x-7,并结合y=2x与y=-3x+7的图象知方程f(x)=0只有一解.计算
f
(1)=2+3-7<
0,f
(2)=22+3×
2-7=3×
2-7+4=3,可知x0∈(1,2).取区间(1,2)
的中点x1=1.5,用计算器可得f(1.5)≈0.33>
再取(1,1.5)的中点x2=1.25,
f(1.25)≈-0.87<
∵f(1.25)f(1.5)<
∴x0∈(1.25).
同理可求得x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.4375),此时区间端点精确到0.1的近似值都是1.4.∴原方程的精确到0.1的近似解为1.4.
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