机械振动-轴的扭转振动.ppt
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- 上传时间:2023-06-26
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机械振动-轴的扭转振动.ppt
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如图所示,杆的单位体积质量为pp,圆形截面极惯性距为JpJp,抗剪模量为GG,圆轴上受一扭矩MM,轴上xx处,tt时刻相对于其左端面的扭转角度以(x,t)(x,t)表示。
5.3杆的扭转振动杆的扭转振动5.3轴的扭转振动轴的扭转振动从其上截取长度为dx的一小段来分析转动惯量为转动惯量为IIpp,圆形截面极惯性距为JJpp,列出刚体转动方程:
列出刚体转动方程:
22(,)pMxtMdxMIxtq抖+-=抖,扭矩与单位转角之间有:
扭矩与单位转角之间有:
(,)pxtMdxdxxGJq=
(1)
(1)
(2)
(2)代入代入
(1)
(1)式,得轴的扭转振动运动方程为:
式,得轴的扭转振动运动方程为:
22(,)(,)pPxtxtGJdxIxxtqq抖轾=犏抖臌(3)(3)5.3轴的扭转振动轴的扭转振动对于圆轴来说转动惯量(4)(4)令:
令:
2GaP=(5)(5)则方程式转化为:
(6)(6)22(,)(,)pPxtxtGJdxIxxtqq抖轾=犏抖臌5.3轴的扭转振动轴的扭转振动杆的扭转振动和弦振动及杆的纵向振动解的形式相同(x,t)(x)T(t)(Asincos)(sinpt)ppxBxaa(振型)(振动)1(x,t)(Asincos)(sinpt)nnnnnnnppxBxaa扭转振动的方程的解为各阶主振动的叠加一般解中有一般解中有4个待定常数个待定常数:
利用杆的两个端点条件利用杆的两个端点条件A或或B和固有频率和固有频率Pn带入一般解带入一般解初始条件初始条件剩下的剩下的Bn或或An和和n5.3轴的扭转振动轴的扭转振动解的形式(x,t)(x)T(t)(Asincos)(sinpt)ppxBxaa端点条件:
X=0,=0B=0X=l,d/dx=0代入上式代入上式5.3轴的扭转振动轴的扭转振动初始条件:
带入得得5.3轴的扭转振动轴的扭转振动对于任意的x都要成立,即带入得cos0n2nsin1n5.3轴的扭转振动轴的扭转振动三角函数的正交性左右同*并对全长l积分5.3轴的扭转振动轴的扭转振动回代,得2n
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