1、如图所示，杆的单位体积质量为 p p，圆形截面极惯性距为JpJp，抗剪模量为G G，圆轴上受一扭矩M M，轴上x x处，t t时刻相对于其左端面的扭转角度以(x,t)(x,t)表示。5.3 杆的扭转振动杆的扭转振动5.3 轴的扭转振动轴的扭转振动从其上截取长度为dx的一小段来分析转动惯量为转动惯量为I Ip p，圆形截面极惯性距为J Jp p,列出刚体转动方程：列出刚体转动方程：22(,)pMx tMdxMIxtq抖+-=抖，扭矩与单位转角之间有：扭矩与单位转角之间有：(,)px tMdxdxxGJq=(1)(1)(2)(2)代入代入(1)(1)式，得轴的扭转振动运动方程为：式，得轴的扭转振动
2、运动方程为：22(,)(,)pPx tx tGJdxIxxtqq抖轾=犏抖臌(3)(3)5.3 轴的扭转振动轴的扭转振动对于圆轴来说转动惯量(4)(4)令：令：2GaP=(5)(5)则方程式转化为：(6)(6)22(,)(,)pPx tx tGJdxIxxtqq抖轾=犏抖臌5.3 轴的扭转振动轴的扭转振动杆的扭转振动和弦振动及杆的纵向振动 解的形式相同(x,t)(x)T(t)(Asincos)(sinpt)ppxBxaa（振型）（振动）1(x,t)(A sincos)(sinp t)nnnnnnnppxBxaa扭转振动的方程的解为各阶主振动的叠加一般解中有一般解中有 4 个待定常数个待定常数:利用杆的两个端点条件利用杆的两个端点条件A 或或 B 和固有频率和固有频率Pn带入一般解带入一般解初始条件初始条件剩下的剩下的 Bn 或或An 和和n5.3 轴的扭转振动轴的扭转振动解的形式(x,t)(x)T(t)(Asincos)(sinpt)ppxBxaa 端点条件：X=0,=0 B=0X=l,d/dx=0 代入上式代入上式5.3 轴的扭转振动轴的扭转振动初始条件：带入得得5.3 轴的扭转振动轴的扭转振动对于任意的 x 都要成立，即 带入 得cos0n2nsin1n5.3 轴的扭转振动轴的扭转振动三角函数的正交性 左右同*并对全长 l 积分5.3 轴的扭转振动轴的扭转振动回代，得2n
