导数及偏导数计算.docx
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导数及偏导数计算
第四讲导数及偏导数计算
实验目的
1•进一步理解导数概念及其几何意义.
2.学习matlab的求导命令与求导法.
实验内容
1.学习matlab命令.
建立符号变量命令sym和syms调用格式:
x=sym('x'),建立符号变量x;
symsxyz,建立多个符号变量x,y,z;
matlab求导命令diff调用格式:
diff(函数'),求,1的一阶导数'」;
diff(函数「,m,求f:
的n阶导数1(n是具体整数);
3f
diff(函数m,变量名),求.u:
对二的偏导数二:
;
竺
diff(函数,
变量名-,n),求“「对•:
的n阶偏导数T;
matlab求雅可比矩阵命令jacobian,调用格式:
jacobian([函数;;函数函数「],[=])给出矩阵:
耐&说苍辭瓦a/-创曲一勿册一创附&勿-滋尿&
2•导数概念.
导数是函数的变化率,几何意义是曲线在一点处的切线斜率.
(1)点导数是一个极限值.
例3.1.设',用定义计算丿;.
解:
「二{在某一点.的导数定义为极限:
..Ax0+Ax)-/(xo)
lim
山尤」dAI
我们记:
丄工,输入命令:
symshlimit((exp(0+h)-exp(0))/h,h,0)
得结果:
ans=1.可知」—
(2)导数的几何意义是曲线的切线斜率.
例3.2.画出白;匚在―门处广-I)的切线及若干条割线,观察割线的变化趋势.
解:
在曲线,「上另取一点"TJ'p,',贝打口的方程是:
y-1/-1
工■'”.即
丿一1
y=―:
—工十1
h
取:
…二丄1/.<,分别作出几条割线.
h=[3,2,1,0.1,0.01];a=(exp(h)-1)./h;x=-1:
0.1:
3;
plot(x,exp(x),'r.');holdon
fori=1:
5;
plot(h(i),exp(h(i)),'r.')
plot(x,a(i)*x+1)
end
axissquare
作出【=在二一处的切线丁―-1
plot(x,x+1,'r.')
从图上看,随着工与厂越来越接近,割线□I越来越接近曲线的割线.3•求一元函数的导数.
(1)」「〔的一阶导数.
y=
例3.3.求.亠的导数.解:
打开matlab指令窗,输入指令:
>>symsx;dy_dx=diff(sin(x)/x)
得结果:
dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/xA2.
matlab的函数名允许使用字母、空格、下划线及数字,不允许使用其他字符,在这里我们用dy_dx表示@
例3.4.求fl工厂二的导数.
解:
输入命令:
dy_dx=diff(log(sin(x)))
得结果:
dy_dx=cos(x)/sin(x).
在matlab中,函数「二用log(x)表示,而log10(x)表示■尹
例3.5.求-If二”的导数.
解:
输入命令:
dy_dx=diff((xA2+2*x)A20).
得结果:
dy_dx=20*(xA2+2*x)A19*(2*x+2).
注意二-输入时应为2*x.例3.6.求匚=厂的导数.解:
输入命令:
dy_dx=diff(xAx).
得结果:
dy_dx=xAx*(log(x)+1).
利用matlab命令diff一次可以求出若干个函数的导数.例3.7.求下列函数的导数:
2
2直=加銘+2coj2x
4血=Mnx
解:
输入命令:
a=diff([sqrt(xA2-2*x+5),cos(x^2)+2*cos(2*x),4八(sin(x)),log(log(x))])・
得结果:
a=
[1/2/(xA2-2*x+5)A(1/2)*(2*x-2),-2*sin(xA2)*x-4*sin(2*x),
4Asin(x)*cos(x)*log(4),1/x/log(x)].
dy1_dx=a
(1)
dy1_dx=1/2/(xA2-2*x+5)A(1/2)*(2*x-2).
dy2_dx=a
(2)
dy2_dx=-2*sin(xA2)*x-4*sin(2*x).
dy3_dx=a(3)
dy3_dx=4Asin(x)*cos(x)*log(4).
dy4_dx=a(4)
dy4_dx=1/x/log(x).
a(i)表示向量a的
由本例可以看出,matlab函数是对矩阵或向量进行操作的,第i个分量.
(2)参数方程所确定的函数的导数.
{
X=x(t)(
尸叹)确定函数Kh),则B的导数£例3.8.设i〉—小’…;,求’
解:
输入命令:
dx_dt=diff(a*(t-sin(t)));dy_dt=diff(a*(1-cos(t)));dy_dx=dy_dt/dx_dt.
得结果:
dy_dx=sin(t)/(1-cos(t)).
其中分号的作用是不显示结果.4.求多元函数的偏导数.例3.9.设:
厂求u的一阶偏导数.解:
输入命令:
diff((xA2+yA2+zA2)A(1/2),x).
得结果:
ans=1/(xA2+yA2+zA2)A(1/2)*x.
在命令中将末尾的x换成y将给出y的偏导数:
ans=1/(xA2+yA2+zA2)A(1/2)*y.
也可以输入命令:
jacobian((xA2+yA2+zA2)A(1/2),[xy]).
得结果:
ans=[1/(xA2+yA2+zA2)A(l/2)*x,1/化八2+丫八2+北八2)八(1/2)*丫]
fduSu\
给出矩阵-丄—例3.10.求下列函数的偏导数:
zi=arctff
1.
2d’
解:
输入命令:
diff(atan(y/x).
得结果:
ans=-y/xA2/(1+yA2/xA2).
输入命令:
diff(atan(y/x),y).
得结果:
ans=1/x/(1+yA2/xA2).
输入命令:
diff(xAy,x).
得结果:
ans=xAy*y/x.
输入命令:
diff(xAy,y).
得结果:
ans=xAy*log(x).
使用jacobian命令求偏导数更为方便.输入命令:
jacobian([atan(y/x),xAy],[x,y]).
得结果:
ans=[-y/xA2/(1+yA2/xA2),1/x/(1+yA2/xA2)]
[xAy*y/x,xAy*log(x)].
5•求高阶导数或高阶偏导数.例3.11设:
"八,求.•'-f.解:
输入指令:
diff(xA2*exp(2*x),x,20).
得结果:
ans=
99614720*exp(2*x)+20971520*x*exp(2*x)+1048576*xA2*exp(2*x)
d2z宛
例3.12■设牡=兀&一3屮十2工習,求ftc上阿尹阿解:
输入命令:
diff(xA6-3*yA4+2*xA2*yA2,x,2)
d2z
可得到二一:
ans=30*xA4+4*yA2.
将命令中最后一个x换为y得
ans=-36*yA2+4*xA2.
输入命令:
diff(diff(xA6-3*yA4+2*xA2*yA2,x),y)
d2z
可得圧芒<:
ans=8*x*y
同学们可自己计算九比较它们的结果.
注意命令:
diff(xA6-3*yA4+2*xA2*yA2,x,y),是对y求偏导数,不是求
6•求隐函数所确定函数的导数或偏导数
du
岂—
例3.13.设「亠「一一•一,求八「解“;计-'匸,先求二,再求壮输入命令:
df_dx=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp
(1),x)
得到上:
:
df_dx=1/x+y/xA2*exp(-y/x).
输入命令:
df_dy=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp
(1),y)
得到i;:
df_dy=-1/x*exp(-y/x)
输入命令:
dy_dx=-df_dx/df_dy
可得所求结果:
dy_dx=-(-1/x-y/xA2*exp(-y/x))*x/exp(-y/x).
dz色
例3.14■设川:
=IV-,求二,'「
解:
.'■■:
..■..■■;=:
T:
JIn-•=:
-f■
输入命令:
a=jacobian(sin(x*y)+cos(y*z)+tan(z*x),[x,y,z])
可得矩阵I皿「
a=
[cos(x*y)*y+(1+tan(z*x)A2)*z,cos(x*y)*x-sin(y*z)*z,-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)A2)*x].
输入命令:
dz_dx=-a
(1)/a(3)
得:
dz_dx=
(-cos(x*y)*y-(1+tan(z*x)A2)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)A2)*x)输入命令:
dz_dy=-a
(2)/a(3)
得:
dz_dy=
(-cos(x*y)*x+sin(y*z)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)A2)*x)
练习
1.求下列函数的导数.
⑵y=xsinxInx
y*xt)(1-1)
(1)x
y=ln(x•.x2a2)
x=In(1+t2)
y=t-arctgt
y=2sin24^
⑶X2⑷
2.求下列参数方程所确定的函数的导数
3.
(1)"=4t⑵
3.求下列隐函数的导数•
‘X=t4
4.设y=excosx,求y(4)
5.验证y=eXsinx满足关系式
y_2y2y=0
6.求下列函数的偏导数.
(1)
z=x2sin(xy)
7.设u=x|n(xy),求;x2,
:
:
2uf2ucy2c^cy
L、
czcz
8.求下列多元隐函数的偏导数:
:
x':
:
y.
(1)
cos2xcos2ycos2z=1⑵
ez二xyz
9.证明函数u
二In...(X-a)2(y-b)2(a,b为常数)满足拉普拉斯方程:
-:
2u
ex2
(提示:
对结果用simplify
"U"
-y
化简)
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- 导数 计算