方波的傅里叶分解与合成.docx
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方波的傅里叶分解与合成
方波的傅里叶分解与合成
【实验目的】
1.用RLC串联谐振方法将方波分解成基波和各次谐波,并测量它们的振幅与相位关系。
2•将一组振幅与相位可调正弦波由加法器合成方波。
3.了解傅里叶分析的物理含义和分析方法。
【实验仪器】
FD-FLY-A型傅里叶分解与合成,示波器,电阻箱,电容箱,电感。
【实验原理】
1.数学基础
任何具有周期为T的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和,即:
1
f(t)宁0
Q0+Z(ancosn豹t+bnsinn©t)
nA
其中:
T为周期—为角频率。
一;;第一项号为直流分量。
f(t)
-T0T
-h
图1方波
图2三角波
所谓周期性函数的傅里叶分解就是将周期性函数展开成直流分量、基波和所有n阶谐波的迭加。
如图1所示的方法可以写成:
(°乞t:
:
T2)
4h111
f(t)(sintsin3,tsin5sin7)
兀357
同样,对于如图
4h
兀
oo
、(
n4
12n—1)sin[(2n_1)t]
2所示的三角波也可以表示为:
4hT.T、
f(t)二
=(才"2讯1_令(]t弓)
T44
8hiii
f(t)2(sint2sin3,t2sin5,t2sin7,t
n357
2.周期性波形傅里叶分解的选频电路
我们用RLC串联谐振电路作为选频电路,对方波或三角波进行频谱分解。
在示波器上显示这些被分解的波形,测量它们的相对振幅。
我们还可以用一参考正弦波与被分解出的波形构成李萨如图形,确定基波与各次谐波的初相位关系。
本仪器具有1KHz的方波和三角波供做傅里叶分解实验,方波和三角波的输出阻抗低,可以保证顺利地
完成分解实验。
实验原理图如图3所示。
这是一个简单
的RLC电路,其中R、C是可变的。
L一般取0.1H〜H范围。
当输入信号的频率与电路的谐振频率相匹配时,此电路
1
将有最大的响应。
谐振频率-'0为:
「0二。
这个响应的
VLC
图3波形分解的RLC串联电路
频带宽度以Q值来表示:
Q='°L。
当Q值较大时,在-.0附
R
如果我们调节可变电容C在n「0频率谐振,我们将从此周期性波形中选择出这个单元。
它
X
'萨R,x为串联电路感抗和容抗之和
Z为串联电路的总阻抗。
Z
在谐振状态X=0,此时,阻抗Z=r+R+R+FC=r+R+R,其中,:
r方波(或三角波)电源的内阻;R为取样电阻;R.为电感的损耗电阻;R为标准电容的损耗电阻(R值常因较小而忽略)。
电感用良导体缠绕而成,由于趋肤效应,R.的数个将随频率的增加而增加。
实验证明碳膜电
阻及电阻箱的阻值在1KHz~7KHz范围内,阻值不随频率变化。
3.傅里叶级数的合成
仪器可提供振幅和相位连续可调的1KHz,3KHz5KHz,7KHz四组正弦波。
如果将这四组正弦
波的初相位和振幅按一定要求调节好以后,输入到加法器,叠加后,就可以分别合成出方波、三角波等波形。
【实验内容与步骤】
方波的傅里叶分解
1.先确定RLC串联电路对1KHz,3KHz,5KHz正弦波谐振时的电容值Ci、G、并与理论值进行比较。
实验中,观察在谐振状态时,电源总电压与电阻两端电压的关系。
可从李萨如图为一
直线,说明此时电路显示电阻性,接线图如下。
(电感:
L=0.1H(标准电感),理论值:
FLATW|立叶分结合战悅曲皆
o
o
||iKMz
O
耐
O
1KHzKHz
O
1
oc
》Q-
dCHziKHz
图4确定RLC电路谐振电容接线图
2•将1KHz方波进行频谱分解,测量基波和n阶谐波的相对振幅和相对相位,接线图如下。
FLY-r傅立叶分结含蹴悦
欣o砒O鵲203wo
q>恵
目9gB
iKHzKHztfCHsrtCMa
QOOO
入
图5频谱分解接线图
将1KHz方波输入到RLC串联电路,如图5所示。
然后调节电容值至Ci,G,G值附近,可以从示波器上读出只有可变电容调在Ci,G,0时产生谐振,且可测得振幅分别为bi,b3,b5(这里只需比较基波和各次谐波的振幅比,所以只要读出同一量程下示波器上的峰值高度即可);而调节
到其它电容值时,却没有谐振出现。
3.相对振幅测量时,用分压原理校正系统误差。
若:
b3为3KHz谐波校正后振幅,b3为3KHz谐波未被校正时振幅。
Ri为1KHz使用频率时损
耗电阻。
Rl3为3KHz使用频率时损耗电阻,r为信号源内阻。
则:
b3=b3
RL3RrRL1Rr
1)测量方波信号源的内阻r。
先直接将方波信号接入示波器,读出峰值;再将一电阻箱接入电路中,调节电阻箱,当示波器上的幅度减半时,记下电阻箱的值,此值即为r。
接线图如下:
图6测量信号源内阻电路
2)不同频率电流通过电感损耗电阻的测定。
图7测量电感损耗电阻原理图
对于0.1H空心电感可用下述方法测定损耗电阻R。
接一个如图7的串联谐振电路。
测量在
谐振状态时,信号源输出电压Wab和取样电阻R两端的电压V(用示波器测量V、Vr电压),则:
Rl:
RlRc=(VAB-1)R
甩为标准电容的损耗电阻,一般较小可忽略。
同理测出3KHz、5KHz下电感的损耗电阻,接线
图如下。
图8测量电感损耗电阻接线图
傅里叶级数合成:
A方波的合成
它们的初相位为同相。
1.用李萨如图形反复调节各组移相器
调节方法是示波器X轴输入1KHz正弦波:
而Y轴输入1KHz、3KHz5KHz、7KHz正弦波在示
波器上显示如下波形时:
\N\N\N\N
Y输入1KHz3KHz5KHz7KHz
图9基波和各次谐波与参考信号相位差都为兀时的利萨如图
此时,基波和各阶谐波初相位相同。
也可以用双踪示波器调节1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波初相位同相。
111
2.调节1KHz、3KHz、5KHz7KHz正弦波振幅比为1:
:
:
•
357
3•将1KHz3KHz、5KHz、7KHz正弦波逐次输入加法器,观察合成波形变化。
B三角波的合成
三角波傅里叶级数表示式:
8hsincotsin3cotsin5cc>tsin7⑷t
f(t—*-丁丁
1•将1KHz正弦波从X轴输入,用李萨如图形法调节各阶谐波移相器调节初相位为如下图
形:
¥输入1KHn
wv\
7KHz
v\w\
反tfc相JRtfc+S3KHz5KHz
图10相邻谐波相位相差二
111
2.调节基波和各阶谐波振幅比为:
1:
—:
:
J。
32527
3.将基波和各阶谐波输入加法器,输出接示波器,可看到合成的三角波图形。
【数据记录及处理】
1.方波的傅里叶分解
表一:
频谱分解实验数据。
谐振频率/KHz
1
无谐振
3
无谐振
5
谐振时电容值C/円
C和G之间
G和G之间
相对振幅/cm
—
—
李萨如图
\
—
A/
—
w\
与参考正弦波位相差
71
—
—
表二:
电感损耗电阻实验数据。
取样电阻R=门,信号源内阻测量得r=门,电感L=0.1H。
使用频率f/KHz
损耗电阻RL/Q
1.00
3.00
5.00
校正后基波和谐波的振幅比
2.傅里叶级数合成
合成谐波
1KHz
1KHz,3KHz
1KHz,3KHz,5KHz
1KHz,3KHz,5KHz,7KHz
合成波形
实验结果分析:
【注意事项】
1.分解时,观测各谐波相位关系,可用本机提供的1KHz在正弦波做参考;
2.合成方波时,当发现调节5KHz或7KHz正弦波相位无法调节至同相位时,可以改变1KHz或
3KHz正弦波相位,重新调节最终达到各谐波同相位。
【思考题】
1.实验中可有意识增加串联电路中的电阻R的值,将Q值减小,观察电路的选频效果,从中
理解Q值的物理意义。
2.良导体的趋肤效应是怎样产生的?
如何测量不同频率时,电感的损耗电阻?
如何校正傅里叶分解中各次谐波振幅测量的系统误差?
3.用傅里叶合成方波过程证明,方波的振幅与它的基波振幅之比为1:
-。
31
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