一元二次方程专题能力培优.docx
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一元二次方程专题能力培优
专题一利用一元二次方程的定义确定字母的取值
1.已知(m—3)x?
•..m2x=1是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是()
A.mM3B.m>3C.m>-2D.m>-2且m^3
2
2.已知关于x的方程(m+1)xm十+(m—2)x—1=0,问:
(1)m取何值时,它是一元二次方程并写出这个方程;
(2)m取何值时,它是一元一次方程?
专题二利用一元二次方程的项的概念求字母的取值
3.关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+nf-仁0的常数项为0,求m的值.
4.若一元二次方程(2a-4)x2•(3a•6)x•a-8=0没有一次项,则a的值为.
专题三利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式
5.已知关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是-a(aM0),贝Ua-b值为()
A.—1B.0C.1D.2
6.若一元二次方程ax2+bx+c=0中,a—b+c=0,则此方程必有一个根为.
2+1
7.已知a是一元二次方程x2—2013x+1=0的解,求代数式a2-2012a-?
-值.
2013
知识要点:
1.只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次),等号两边都是整式的方程,叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(aM0),其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次
项系数;c是常数项.
2.2一元二次方程的解法
专题一利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值
1.若方程25x2-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式;则k的值为()
A.-9或11B.-7或8C.-8或9C.-8或9
2.如果代数式x2+6x+nm是一个完全平方式,贝Um=.
3.用配方法证明:
无论x为何实数,代数式—2x2+4x—5的值恒小于零.
专题二利用△判定一元二次方程根的情况或者判定字母的取值范围
4.已知a,b,c分别是三角形的三边,则方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0的根的情况是()
A.没有实数根B.可能有且只有一个实数根
C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根
5.关于x的方程kx2+3x+2=0有实数根,则k的取值范围是()
JL矚乩烷C.k<^0MW加。
6.定义:
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax2+bx+c=0(a^0)是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结
论正确的是()
A.a=cB.a=bC.b=cD.a=b=c
专题三解绝对值方程和高次方程
7.若方程(x2+y2-5)2=64,则x2+y2=.
8.阅读题例,解答下题:
例:
解方程x—|x—1|—仁0.
解:
(1)当x—1>0,即x>1时,x2—(x—1)—1=0,二x2—x=0.
解得:
X1=0(不合题设,舍去),X2=1.
(2)当x—1<0,即xV1时,x2+(x—1)—1=0,二x2+x—2=0.
解得X1=1(不合题设,舍去),X2=—2.
综上所述,原方程的解是x=1或x=—2.依照上例解法,解方程x2+2|x+2|—4=0.
专题四一元二次方程、二次三项式因式分解、不等式组之间的微妙联系
9.探究下表中的奥秘,并完成填空:
一兀好程
两个根
一欢二项式因式分解
x22x-l-0
Xl=lt
x2-2x-rl-(X-1)(X-1)
工t
0-3片2二(jf-1)(x-2)
*1
3
3宀4?
(D(T
3
2xn=0
1,
X
2x2*5x+2=2(x-i)(x+2)
2
40+口狞3=0
XLr
40T3.¥+3=4(x-)(x-)
专题五利用根与系数的关系求字母的取值范围及求代数式的值
11.设xi、X2是一元二次方程x2+4x—3=0的两个根,2xi(X22+5X2-3)+a=2,则a=.
12.(2012•怀化)已知Xi、X2是一元二次方程a-6x2•2ax^0的两个实数根,
⑴是否存在实数a,使一X1+X1X2=4+X2成立?
若存在,求出a的值;若不存在,请你说明理由;⑵求使(X1+1)(X2+1)为负整数的实数a的整数值.
bc
13.⑴教材中我们学习了:
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为X1、X2,X1+X2=—-,x1•x2—.根据这一性
aa
2
质,我们可以求出已知方程关于X1、X2的代数式的值.例如:
已知X1、X2为方程x-2x-1=0的两根,则:
(1)X1+X2=,X1•X2=,那么xj+X22=(X1+X2)2-2X1•X2=____.
请你完成以上的填空.一
(2)阅读材料:
已知m2-m-1=0,n2n-1=0,且mn=1.求-mn_1的值.
n
1111
解:
由n2・n-1=0可知n=0.二12=0.二二1=0.
nn
nn
21又m-m-1=0,且mn■-1,即卩m■■—,
•m,
1
是方程x-x-1=0的两根
n
n
•••m1=1•••mnd=1.
nn
(3)根据阅读材料所提供的的方法及(
1)的方法完成下题的解答.
已知2m2-3m-1=0,n23n-2=0,且mn胡.求m2-2的值.
n
知识要点:
1.解一元二次方程的基本思想一一降次,解一元二次方程的常用方法:
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.
2.一元二次方程的根的判别式△=b-4ac与一元二次方程ax2+bx+c=0(a丰0)的根的关系:
当厶>0时,一元二次方程有两个不相等的实数解;
当厶=0时,一元二次方程有两个相等的实数解;
△<0时,一元二次方程没有实数解.
一、2、、bC
3.一兀二次方程ax+bx+c=0(0)的两根X1、X2与系数a、b、c之间存在着如下关系:
X1+x2=-,x1?
x2=.
ftA
专题一、利用一元二次方程解决面积问题
1.在高度为2.8m的一面墙上,准备开凿一个矩形窗户•现用9.5m长的铝合金条制成如图所示的窗框•问:
窗户的宽和高各是多少时,其透光面积为3m(铝合金条的宽度忽略不计).
2.如图:
要设计一幅宽20cm,长30cm的矩形图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为2:
3,如果要
使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一,应如何设计每个彩条的宽度?
专题二、利用一元二次方程解决变化率问题
4.据报道,我省农作物秸杆的资源巨大,但合理利用量十分有限,2012年的利用率只有30%大部分
秸杆被直接焚烧了,假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变,且合理利用量的增长率相同,要使
2014年的利用率提高到60%求每年的增长率.(取迈~1.41)
5.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染•请你
用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?
若病毒得不到有效控制,3轮感
染后,被感染的电脑会不会超过700台?
6.(2012•广元)某中心城市有一楼盘,开发商准备以每平方米7000元的价格出售,由于国家出台了有关调控房地产的政策,开发商经过两次下调销售价后,决定以每平方米5670
元的价格销售.
(1)求平均每次下调的百分率;
(2)房产销售经理向开放商建议:
先公布下调5%再下调15%这样更有吸引力•请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠?
为什么?
专题三、利用一元二次方程解决市场经济问题
7.(2012•济宁)一学校为了绿化校园环境,向某园林公司购买了一批树苗,园林公司规定:
如果购买树苗不超过60棵,每棵售价为120元;如果购买树苗超过60棵,每增加1棵,所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元,但每棵树苗最低售价不得少于100元•该校最终向园林公司支付树苗款8800元•请问该校共购买了多少棵树苗?
8.(2012•南京)某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车,在一定范围内,每部汽车的售价与销售量有如下关系:
若当月仅售出1部汽车,则该部汽车的进价为27万元,每多售出1部,所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部;月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售10部以内(含10部),每部返利0.5万元;销售量在10部以上,每部返利1万元.
(1)若该公司当月售出3部汽车,则每部汽车的进价为万元.
⑵如果汽车的售价为28万元/部,该公司计划当月盈利12万元,那么需要售出多少部汽车?
(盈利=销售利润+返利)
专题四、利用一元二次方程解决生活中的其他问题
9.⑴经过凸n边形(n>3)其中一个顶点的对角线有条•
(2)—个凸多边形共有14条对角线,它是几边形?
(3)
是否存在有21条对角线的凸多边形?
如果存在,它是几边形?
如果不存在,说明得出结论的道理.
P2,问
(1)观察图形,请填与下列表格:
正方形边长
1
3
5
7
…
n(奇数)
红色小正方形个数
…
正方形边长
2
4
6
8
…
n(偶数)
红色小正方形个数
…
(2)在边长为n(n》1)的正方形中,设红色小正方形的个数为R,白色小正方形的个数为是否存在偶数n,使P2=5R?
若存在,请写出n的值;若不存在,请说明理由.
5.如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交与点A,与y轴交于点B,且OA=3AB=5,点P从点0出发沿0A
以每秒一个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿A0返回;点Q从点A出发沿AB以每秒
1个单位长的速度向点B匀速运动•伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ且交PQ于点D,交折线QB-BO-OP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)求直线AB的解析式;
(2)在点P从0向A运动的过程中,求△APQ的面积S与t之间的函数关系式(不必写出t的取值范围);
(3)在点E从B向0运动的过程中,完成下面问题:
1四边形QBED能否成为直角梯形?
若能,请求出t的值;若不能,请说明理由;
2当DE经过点0时,请你直接写出t的值.
B
E
O
4.解:
设我省每年产出的农作物秸杆总量为a,合理利用量的增长率是x,由题意,得
30%a(1+x)2=60%a.「.x仟0.41,X2~-2.41(不合题意舍去).二x~0.41.
答:
每年的增长率约为41%
5.解:
设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑,依题意,得
2
1+x+(1+x)x=81.整理得(1+x)=81.
•••X1=8,X2=—10(舍去).
33
•(1+x)3=(1+8)3=729>700.
答:
每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑,3轮感染后,被感染的电脑会超过700台.
22
6.解:
(1)设平均每次下调p%,则有7000(1-p%)=5670.二(1-p%)=0.81.
■/1—p%>0,•1—p%=0.9.p%=0.仁10%.答:
平均每次下调10%;
(2)先下调5%,再下调15%,这样最后单价为7000元X(1—5%)X(1—15%)=5652.5元.
•销售经理的方案对购房者更优惠一些.
7.解:
因为60棵树苗售价为120元X60=7200元<8800元,所以该校购买树苗超过60棵.
设该校共购买了x棵树苗,由题意,得x||120-0.5x-60i;=8800.
解得-220,x2-80.
当为=220时,120-0.5220-601=40:
100,•捲=220不合题意,舍去;
当X2=80时,120-0.580-60=110100,•-80.
•x=80.
答:
该校共购买了80棵树苗.
8.解:
(1)27—0.3=26.7;
(2)设需要销售出x部汽车可盈利12万元.
1当销售10部以内(含10部)时,依题可得〔28—27+0.1(x—1)〕x+0.5x=12.
解得为20(不合题意,舍去),X26•当销售6部汽车时,当月可盈利12万元.
2当销售10部以上时,依题可得〔28—27+0.1(x—1)〕x+x=12.
解得为5,x224,均不合题意,应舍去.
答:
当销售6部汽车时,当月可盈利12万元.
9.解:
(1)n—3;
(2)设这个凸多边形是n边形,由题意,得巴^=14.
2
解得m=7,n2--4(不合题意,舍去).答:
这个凸多边形是七边形.
⑶不存在•理由:
假设存在n边形有21条对角线.由题意,得"5一3)=21.
2
18条对角线
解得n=3177.因为多边形的边数为正整数,但3一丄77不是正整数,故不合题意.所以不存在有
22
的凸多边形.
10•解:
(1)1,5,9,13(奇数)2n—1;4,8,12,16(偶数)2n.
(2)由
(1)可知n为偶数时P1=2n.aP2=n2—2n.
根据题意得n2—2n=5X2n,n2—12n=0,解得n=12,n=0(舍去).
2
•••存在偶数n=12使得P2=5P1.
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- 一元 二次方程 专题 能力