华师大数学七下第十一章Word文档下载推荐.docx
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为什么?
(1)打开电视机,它正在播广告;
(2)抛掷10枚硬币,结果3个正面朝上与8个反面朝上;
(3)黑暗中我从我的一大串钥匙中随便选中一把,用它打开了门;
(4)投掷一枚普通的正方体骰子,掷得的数不是奇数便是偶数;
(5)我将一粒种子埋在土里,给它阳光和水分,它会长出小苗。
2.现实生活中,为了充分强调某件事是一定会发生的,我们可能会夸张地说“它百分之两百会发生”。
在数学里,有没有“机会是百分之两百”这种说法?
3.你同意以下的说法吗?
请说明理由.
(1)“掷得的数是奇数”是不可能发生的,因为骰子上不全是奇数,还有偶数;
(2)“掷得的数是奇数”是必然发生的,因为骰子上有奇数;
(3)“掷得的数不会超过7”是可能发生地,因为骰子上的数都没有超过7。
2.不太可能是不可能吗
现实生活中,我们经常把不太可能发生的事情认为是不可能发生的.比如,我们从商店里买回一包零食,里面有张抽奖卡,卡上写明只要将该卡填好寄至指定地点,就能参加幸运抽奖.对此,很多人都不屑一顾,他们认为参加抽奖的人太多,幸运根本就不可能降临到自己头上,何必费神.
但是,从数学角度看,“不太可能”与“不可能”是不同的.不太可能是指发生的机会很小,可以小到不足万分之一,但不是0.也就是说,不太可能的事情也许一万次里也没有发生过一次,但因为它是一个可能发生的事情,所以随时都有发生的可能.
让我们继续“掷骰子”的游戏,请准备三个普通的正方体骰子.这次,每组四个同学.一个同学一次同时掷出三个骰子的时候,两个同学在旁监督,另一个同学用“正”字法做记录,如果掷出的是三个“6”,记录在表11.1.2的第一个空格中,否则,记录在第二个空格中.四个同学总共掷40次.
表11.1.2 掷三个骰子40次两种结果出现的频数表
三个骰子的点数
全是“6”
不全是“6”
出现的频数
这两个结果中哪一个出现的频数较多?
你们小组有人掷出三个“6”吗?
你们班呢?
一次掷出三个全是“6”地机会很小,只有千分之四多一点,但有人曾经掷出过.如果你有足够的耐心和时间,你也迟早能掷出三个“6”.
这个例子说明可能性小并不意味着一定不会发生,“不太可能”不等于“不可能”.同样道理,“很有可能”也不代表“必然”.
练习
1.在一个不透明的口袋中,装着6个大小和外形一模一样的小球,其中有3个红球、2个蓝球、1个白球。
它们已经在口袋中被搅匀了。
在下列事件中,请说出哪些是确定事件,哪些是不确定事件?
在确定的事件中,哪些是必然事件,哪些是不可能事件?
(1)从口袋中任意取出1个球,它恰是红球;
(2)从口袋中任意取出2个球,它们恰好全是白球;
(3)从口袋中任意取出3个球,它们只有1个不是蓝球;
(4)从口袋中任意取出4个球,它们恰好是2个红球、1个蓝球和1个白球.
2.根据下所示物体,分别判断:
以下四个事件中哪些是确定事件,哪些是不确定事件?
(1)用力旋转画有红、黄、蓝、绿四色转盘上的指针,指针会停在红色上;
(2)掷一枚正方体骰子,点数“2”会朝上;
(3)闭上眼睛从装有红色、白色、黑色等几种颜色小球的缸里随机地取一
个球,该球是红色的;
(4)马上就要下雨了,中间那块红地砖会最早滴到雨点.
习题11.1
1.判断下列事件各是什么事件,并说明理由。
(1)从一副洗好的只有数字1到10的40张扑克牌里任意抽出一张牌,它比6小;
(2)从一副洗好的只有数字1到10的40张扑克牌里一次任意抽出两张牌,它们的和是30;
(3)从一副洗好的只有数字1到10的40张扑克牌里一次任意抽出两张牌,它们的和是15;
(4)投掷两枚普通的正方体骰子,掷得得两数之和为1;
(5)闭上眼睛,从装有一万只标号为1~10000的小球的口袋中任意摸出3只球,它们的标号恰为9、99、999.
2.下列说法正确吗?
(1)如果一件事发生的机会只有十万分之一,那么它就不可能发生;
(2)如果一件事发生的机会达到99.9%,那么它就必然发生;
(3)如果一件事不是不可能发生的,那么它就必然发生;
(4)如果一件事不是必然发生的,那么它就不可能发生;
3.如你面前放着一个正四面体的骰子,它有四个顶点,每一顶点的点数分别是从1到4这四个数字中的一个.在你还没开始掷骰子之前,你能预言一个不可能事件、一个必然事件和一个随机事件吗?
4.现有三个普通的正方体骰子,投掷这三个骰子,请说出三个确定事件和三个不确定事件。
11.2机会的均等与不等
有人说,“不确定现象发生的机会都是50%”,让我们经过自己的尝试来判断这一说法是否正确。
1.成功与失败
在一次实验中,不确定事件是否会发生是无法预料的,如果发生了,我们就说它在这次实验中成功了;
反之,我们就说它在这次实验中失败了.
做一做:
准备三张大小一样印有不同图案的纸片(如照片、明信片、自己手画的图片等),把每张纸片都对折,剪成大小一样的两张。
将这六张小纸片有图案的一面朝下,然后混合,让你的同伴闭上眼睛,随便抽出两张小纸片。
你认为抽出的那两张小纸片正好能成功拼成原图的大小吗?
猜一猜,大概是平均几次里会有一次成功呢?
做一做,看你和你的同伴在20次尝试中各成功了几次。
和全班同学交流一下实验的结果,看看大多数同学在20次中成功了几次,你们可能会有所发现。
(在尝试之前先设计一张记录表!
)
思考:
这个游戏中你们关注的是哪一个不确定事件?
在总的实验次数中,你观察到它成功的次数多还是失败的次数多?
成功的机会是50%吗?
你觉得这个观察结果合乎情理吗?
2.游戏的公平与不公平
一个公平的游戏应该是游戏双方各有50%赢的机会.下面再给出三个游戏,你认为它们公平吗?
游戏1 由两个人玩的“抢30”游戏,也许你以前曾经玩过.这个游戏的规则是这样的:
第一个人先说“1”或“1、2”,第二个人要接着往下说一个或两个数,然后又轮到第一个人,再接着往下说一个或两个数,这样两人反复轮流,每次每人说一个或两个数都可以,但是不可以连说三个数.谁先抢到30,谁就得胜. 和你的同伴玩一玩这个“抢30”游戏,不过,在游戏开始前,建议你们双方先考虑一下有没有克敌制胜的策略.游戏开始后,双方报数要快,不允许拖拉.提示:
这是一个偏向第_______个报数人的游戏,你发现了吗?
在分析获胜策略的时候,你是不是这样想的:
要抢到30,先要抢到____;
要抢到______,先要抢到______;
要抢到______,先要……游戏2 这是一个抛掷两个筹码的游戏.准备两个筹码,一个两面都画上“×
”;
另一个一面画上“×
”,另一面画上“○”.甲、乙各持一个筹码,抛掷手中的筹码. 游戏规则:
掷出一对“×
”,甲得1分;
掷出一个“×
”一个“○”,乙得1分. 如果你觉得这个游戏不公平,那么,你认为甲和乙谁赢的机会大呢?
如果你觉得它公平,说说你的理由.和你的同伴玩几回,看看你的感觉对不对.
游戏3 这是一个抛掷三个筹码的游戏.准备三个筹码,第一个一面画上“×
”,另一面画上“○”;
第二个一面画上“○”,另一面画上“#”;
第三个一面画上“#”,另一面画上“×
”.甲、乙两人中一人抛掷三个筹码,一人记录每次游戏谁赢. 游戏规则:
掷出的三个筹码中有一对的(“×
×
”或“○○”或“##”),甲方赢;
否则,乙方赢. 这个游戏是否公平比较难判断,我们可以通过实验来估计甲、乙双方各自的成功率.和你的同伴玩16次游戏,前8次由你抛掷,后8次由你的同伴抛掷.将你们的游戏结果记录在表11.2.1的前面三栏中.
请小组长和班长组织同学将全组和全班同学的游戏结果汇总在一起,再填入
上表内.你们发现谁的成功率高?
谁赢的机会大?
思考
现在请你判断“不确定现象发生的机会都是50%”的说法的正确与否。
习题11.2
1.抛掷四枚普通的硬币20次,你认为正好掷得四个正面朝上的频率高还是掷不到四个正面朝上的频率高?
设计一张统计表,填入你的实验结果,并据此得出你的结论.
2.某位同学抛掷两枚硬币,分10组实验,每组20次,下面是共计200次实验中记录下的结果.
(1)在他的每次实验中,抛出________、________和_______都是不确定事件;
(2)在他的10组实验中,抛出“两个正面”成功次数最多的是他第__组实验,
抛出“两个正面”失败次数最多的是他的第___组实验;
(3)在他的第1组实验中,抛出“两个正面”的成功率是_____,在他的前两
组(第1组和第2组)实验中,抛出“两个正面”的成功率是______,在
他的前七组(从第1组至第7组)实验中,抛出“两个正面”的成功率是
_______,在他的前八组(从第1组至第8组)实验中,抛出“两个正面”
的成功率是_______.(4)在他的10组实验中,抛出“两个正面”的成功率是________,抛出“一
个正面”的成功率是________,抛出“没有正面”的成功率是_________,
这三个成功率的和是 .
3.准备三张纸片,两张纸片上各画一个三角形,另一张纸片画一个正方形.如果将这三张纸片放在一个盒子里搅匀,那么,随机地抽取两张纸片,可能拼成一个菱形(取出的是两张画三角形的纸片),也可能拼成一个房子(取出的是一张画三角形、一张画正方形的纸片).这个游戏的规则是这样的:
若拼成一个菱形,甲赢;
若拼成一个房子,乙赢.你认为这个游戏是公平的吗?
请玩一玩这个游戏,用你的数据说明你的观点.
阅读材料
搅匀对保证公平很重要
据高等教育出版社和施普林格出版社联合出版的《统计学》一书介绍,在越南战争中,美国政府为了准备好足够的兵源,制定了一个“抓阄”的征兵计划.该计划是将一年中的每一天按时间顺序编为1~366个号码,准备366个乒乓球,在每个乒乓球上标一个号码,代表一年中的一天. 抓阄的时候,工作人员将这些乒乓球全部倒入一个大箱子中.从中随机地取出第一个乒乓球,假设它是30号球,那么它代表1月30日,于是,所有年满18岁生日是1月30日的合格青年都将成为第一批被征召的军人.然后,再从大盒子中随机地取出第二个乒乓球,所有年满18岁且生日与这个乒乓球所示的号码吻合的合格青年都将成为第二批应征的军人.依此规则,继续下去. 这种抓阄的方法按理说应该对每个人都公平,但是,当第二天公布了所有抓阄出来的号码时,统计学家们对抓阄的公平性提出了怀疑.因为他们发现有73个号码位于上半年,有110个号码位于下半年,和大家期待的“大致各占一半”相距甚远!
虽然抓阄出来的结果是随机事件,可能不是上半年的号码和下半年的号码恰好各占一半,会有一些差异,但是,统计学家的计算表明73对110这样的差异实在太大了,有理由怀疑这次抓阄征兵过程的公平性.后来才发现,原来这种不公平是由于在每次抓阄之前没有充分地将乒乓球搅匀造成的.
11.3在反复实验中观察不确定现象
在前面投掷骰子、拼图片等活动中,我们对不确定现象的不确定性已经有所体验。
我们看到,即使我们尽量保持投掷骰子的姿势、力量、高度等条件不变,也不可能预测出掷得的结果。
不确定现象似乎完全没有规则,捉摸不定。
可是,会不会在“没有规则”的背后,隐含着某种规律呢?
比如做拼图片活动时,我们班同学基本上都是成功少,失败多。
历史上一些著名的科学家已经想到要在反复实验中观察不确定现象,以发现我们隐含的规律。
表11.3.1历史上抛掷硬币实验的若干结果
实验者
抛掷硬币次数(n)
出现正面次数(m)
出现正面概率(m/n)
德莫根(Demorgan)
2048
1061
0.5181
蒲丰(Buffon)
4040
0.5069
费勒(Feller)
10000
4979
0.4979
皮尔逊(Pearson)
12000
6019
0.5016
皮尔逊
24000
12012
0.5005
下面是一位同学在抛掷硬币时获得的数据,他已经将这些数据填入统计表(表11.3.2),并绘制了折线图(图11.3.1)
表11.3.2“出现正面”频数、频率统计表
抛掷次数
50
100
150
200
250
300
350
400
出现正面的频数
26
53
72
94
116
142
169
193
出现正面的频率
52.0%
53.0%
48.0%
47.0%
46.4%
47.3%
48.3%
450
500
550
600
650
700
750
800
218
242
269
294
321
343
369
395
48.4%
48.9%
49.0%
49.4%
49.2%
由图11.3.1,可以看到,当实验次数比较多的时候,“出现正面”的频率变动明显减小,表现为“风平浪静”,“出现正面”的频率在0.5附近波动!
如果换成其他的实验,是否也能发现类似的现象呢?
实验1
与你的同伴合作,做一做抛掷两枚硬币的游戏,每人各抛20次,一位同学抛的时候,另一位同学帮着记录实验结果。
汇集全班同学的记录,完成表11.3.2和图11.3.2(建议用两种不同颜色画两条折线以示区别),看看当抛掷次数很多以后,“出现两个正面”和“出现一正一反”这两个不确定事件的频率是否也会比较稳定。
注意:
开始游戏之前,全班先统一一下抛掷硬币的方法。
表11.3.2两个随机事件频数、频率统计表
20
40
60
80
120
140
160
180
出现两个正面的频数
出现一正一反的频数
出现两个正面的频率
出现一正一反的频率
220
240
260
280
320
340
360
380
(1)在实验中,“出现两个正面”的频率稳定在%附近,“出现一正一反”的频率稳定在%附近。
(2)如果将实验中的硬币换成瓶盖,你觉得频率也会逐渐稳定吗?
如果是,那么稳定的数值会和
(1)中一致吗?
概括
在前面的实验中,我们可以发现,虽然每次抛掷的结果是随机的、无法预测的,但随着实验次数的增加,隐含的规律逐渐显现,事件发生的频率逐渐稳定到某一个数值。
正因为不确定现象发生的频率有这样趋于稳定的特点,我们可以用平稳时的频率估计这一随机事件在每次实验时发生的机会的大小。
实验2
用力旋转图11.3.3所示的转盘甲和转盘乙的指针,如果你想让指针停在蓝色上,那么选哪个转盘能使你成功的机会比较大?
分析
如果随着旋转次数的增加,两个转盘的指针停在蓝色上的频率都逐渐稳定下来,那么就容易选择了。
请你和同学们一起做这个实验,将实验结果填入表11.3.4,并在图11.3.4中用不同颜色的笔分别画出相应的两条折线。
表11.3.4两个转盘指针停在蓝色上的频数、频率统计表
旋转次数
50转
100转
150转
200转
250转
300转
350转
400转
450转
小转盘停在蓝色上的频数
大转盘停在蓝色上的频数
小转盘停在蓝色上的频率
大转盘停在蓝色上的频率
我们发现_______________________________________________。
1.从实验结果中你得出了哪些结论?
2.有同学说,转盘乙大,相应地,蓝色部分的面积也大,所以选转盘乙成功的机会比较大。
你同意吗?
3.还有同学说,每个转盘只有两种颜色,指针不是停在红色上就是停在蓝色上,成功的机会都是50%,所以随便选哪个转盘都可以。
4.如果不做实验,你能语言图11.3.5所示的转盘指针停在红色上的机会吗?
通过一系列的实验和观察,我们已经知道:
实验是估计机会大小的一种方法。
在前面的一些问题中,即使不做实验,也可以设法预先推测出事件发生的机会,为什么还要花大量的事件去进行实验呢?
下面让我们看另一类问题:
一枚图钉被抛起后钉尖触地的机会有多大?
这可能就很难预测了,只能让实验来帮忙。
通过小组合作,分别记录抛掷40次、80次、120次、160次、200次、240次、280次、320次、360次、400次、440次、480次后出现钉尖触地的频数和频率,列出统计表,绘制折线图。
请根据你们小组的实验结果估计一下钉尖触地的机会是百分之几?
和同学们进行交流,看看不同小组得出的结果是否一样?
如果你和同桌使用的图钉形状分别是如图11.3.6所示的两种,那么两种图钉钉尖触地的机会相同吗?
能把你们两个人的实验数据合起来进行统计吗?
从上面的问题可以看出:
(1)通过实验的方法用稳定时的频率估计机会的大小,必须要求实验是在相同条件下进行的。
比如,以同样的方式抛掷同一种图钉。
(2)在相同的条件下,实验次数越多,就越有可能得到较好的估计值,但不同小组实验所得的值也并不一定相同。
那么,总共要做多少次实验才认为得出的结果比较可靠呢?
表11.3.5和图11.3.7是某班同学在抛图钉的实验中画出的统计表和折线图。
表11.3.5钉尖触地频数、频率表
抛图钉的次数
钉尖触地的频数
37
69
88
105
125
146
163
钉尖触地的频率
50.0%
46.3%
41.7%
43.1%
44.0%
43.8%
44.6%
45.6%
45.3%
440
480
520
560
640
680
70
183
196
219
228
248
285
305
328
45.8%
44.5%
44.3%
44.8%
44.9%
760
840
880
920
960
1000
1040
347
366
383
401
421
445
463
481
45.7%
46.4%
可以看出,当实验进行到720次以后,所得频率值就在46%上下浮动,且相差不过0.5%,我们可以取46%作为这个事件发生机会的估计值。
当我们只需粗略地知道该事件发生的机会时,就可以在实验200次后,得到“机会大约是百分之四十几”的粗略估计。
通常情况下,靠一个人的力量要得到十分可靠的估计值需要花费大量的事件。
如果把小组内10个成员的实验数据累加起来,每人做50次,一共做了500次,频率已经
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