二面角习题及答案.wps
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温新堂个性化VIP一对一教学一切为了孩子-温新堂教育-1-二面角二面角1.如图三棱锥P-ABC中,PC平面ABC,PC=32,D是BC的中点,且ADC是边长为2的正三角形,求二面角P-ABC的大小。
解:
由已知条件,D是BC的中点CD=BD=2又ADC是正三角形AD=CD=BD=2D是ABC之外心又在BC上ABC是以BAC为直角的三角形,ABAC,又PC面ABCPAAB(三垂线定理)PAC即为二面角P-AB-C之平面角,易求PAC=302.如图在三棱锥S-ABC中,SA底面ABC,ABBC,DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E,又SA=AB,BS=BC,求以BD为棱,BDE与BDC为面的二面角的度数。
解:
BS=BC,又DE垂直平分SCBESC,SC面BDEBDSC,又SA面ABCSABD,BD面SACBDDE,且BDDC则EDC就是所要求的平面角设SA=AB=a,则BC=SB=2a且AC=3易证SACDECCDE=SAC=603.如图:
ABCD是矩形,AB=8,BC=4,AC与BD相交于O点,P是平面ABCDDPCABEDBASC温新堂个性化VIP一对一教学一切为了孩子-温新堂教育-2-外一点,PO面ABCD,PO=4,M是PC的中点,求二面角M-BD-C大小。
解:
取OC之中点N,则MNPOPO面ABCDMN面ABCD且MN=PO/2=2,过N作NRBD于R,连MR,则MRN即为二面角M-BD-C的平面角过C作CEBD于S则RN=21CE在RtBCD中,CDBC=BDCE58BDBCCDCE54RN25RNMNMRNtan25arctanMRN4.如图ABC与BCD所在平面垂直,且AB=BC=BD,ABC=DBC=0120,求二面角A-BD-C的余弦值。
解:
过A作AECB的延长线于E,连结DE,面ABC面BCDAE面BCDE点即为点A在面BCD内的射影EBD为ABD在面BCD内的射影设AB=a则AE=DE=ABsin60=a23AD=41ABDcos26,sinABD=41522ABDa815415a21S又a21BESRNMOBDPACDBAEC温新堂个性化VIP一对一教学一切为了孩子-温新堂教育-3-2BDEa83a21a2321S55SScosABDBDE考虑到我们求的是二面角A-BD-E,而二面角A-BD-C与A-BD-C互补二面角A-BD-C的余弦值为55。
5.已知正方体AC,M、N分别是BB,DD的中点,求截面AMCN与面ABCD,CCDD所成的角。
解:
设边长为a,易证ANCN是菱形且MN=a2,AC=a3AMCN=2a26AC21MN由于AMCN在面ABCD上的射影即为正方形ABCDABCD=2a36a26acos22136arccos1取CC的中点M,连结DM则平行四边形DMCN是四边形AMCN在CCDD上的射影,DMCM=2a2166a26a21cos222DBDACBACMN温新堂个性化VIP一对一教学一切为了孩子-温新堂教育-4-66arccos26.如图AC面BCD,BD面ACD,若AC=CD=1,ABC=30,求二面角DABC的大小。
解:
作DFAB于F,CEAB于E,AC=CD=1ABC=30AD=2,BC=3,AB=2,BD=2在RtABC中,23231ABBCACCE,同理1222ABBDADDF1DFBDBF2221CEACAE22212112EFcosDFEF2EFDFCECD222233cos即所求角的大小为33arccos。
7.三棱锥A-BCD中,BAC=BCD=90,DBC=30,AB=AC=6,AD=4,求二面角A-BC-D的度数。
解:
由已知条件BAC=90,AB=AC,设BC的中点设为O,则OA=OC=3BC=32BFEACDDOABC温新堂个性化VIP一对一教学一切为了孩子-温新堂教育-5-2333230tanBCDC0cosCDAO2CDOCAOAD2222解之得:
21cos1508.如图,四面体ABCD的棱BD长为2,其余各棱的长均是2,求:
二面角ABDC、ABCD、BACD的大小.解析:
(1)取BD的中点O,连AO、OC.在ABD中,ABAD2,BD2,ABD是等腰直角三角形,AOBD,同理OCBD.AOC是二面角ABDC的平面角又AOOC1,AC2,AOC90.即二面角ABDC为直二面角.
(2)二面角ABDC是直二面角,AOBD,AO平面BCD.ABC在平面BCD内的射影是BOC.SOCB21,SABC23,cos33.即二面角ABCD的大小是arccos33.(3)取AC的中点E,连BE、DE.ABBC,ADDC,BDAC,DEAC,BED就是二面角的平面角.在BDE中,BEDE26,由余弦定理,得cos-31二面角BACD的大小是-arccos31.评析本例提供了求二面角大小的方法:
先作出二面角的平面角,再利用其所在的三角形算出角的三角函数值,或利用面积的射影公式SScos求得.又EGAB,故易得tanAEG=tanBAE=22ABBE.9.如图所示,四棱锥PABCD的底面是边长为a的菱形,A60,PC平面ABCD,PCa,E是PA的中点.
(1)求证平面BDE平面ABCD.
(2)求点E到平面PBC的距离.(3)求二温新堂个性化VIP一对一教学一切为了孩子-温新堂教育-6-面角AEBD的平面角大小.解析:
(1)设O是AC,BD的交点,连结EO.ABCD是菱形,O是AC、BD的中点,E是PA的中点,EOPC,又PC平面ABCD,EO平面ABCD,EO平面BDE,平面BDE平面ABCD.
(2)EOPC,PC平面PBC,EO平面PBC,于是点O到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离.作OFBC于F,EO平面ABCD,EOPC,PC平面PBC,平面PBC平面ABCD,于是OF平面PBC,OF的长等于O到平面PBC的距离.由条件可知,OB,OFa,则点E到平面PBC的距离为a.(3)过O作OGEB于G,连接AGOEAC,BDACAC平面BDEAGEB(三垂线定理)AGO是二面角AEBD的平面角OEPCa,OBaEBa.OGa又AOa.tanAGOAGOarctan.评析本题考查了面面垂直判定与性质,以及利用其性质求点到面距离,及二面角的求法,三垂线定理及逆定理的应用.10.如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E、F分别在棱AB、BC上,G在对角线BD1上,且AE,BF,D1GGB12,求平面EFG与底面ABCD所成的二面角的大小.解析:
设G在底面ABCD上的射影为H,HBD,GH作HMEF于M,连GM,由三垂线定理知GMEF,则GMH就是平面BFG与底2a2a234343212123EBOBOE4321OGAO3323324121DDGH1BDGB13232温新堂个性化VIP一对一教学一切为了孩子-温新堂教育-7-面ABCD所成的二面角的平面角,tan.下面求HM的值.建立如图所示的直角坐标系,据题设可知.H(,)、E(,0)、F(1,)直线EF的方程为,即4x-6y-10.由点到直线的距离公式可得HM,tg,arctg.说明运用解析法来求HM的值是本例的巧妙所在.11.如图,设ABCA1B1C1是直三棱柱,E、F分别为AB、A1B1的中点,且AB2AA12a,ACBCa.
(1)求证:
AFA1C
(2)求二面角CAFB的大小HMGH313241210210y41141x2264132631413611321113611134111343温新堂个性化VIP一对一教学一切为了孩子-温新堂教育-8-分析本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识.解
(1)ACBC,E为AB中点,CEAB又ABCA1B1C1为直棱柱,CE面AA1BB连结EF,由于AB2AA1AA1FE为正方形AFA1E,从而AFA1C
(2)设AF与A1E交于O,连结CO,由于AFA1E,知AF面CEA1COE即为二面角CAFB的平面角AB2AA12a,ACBCaCEa,OEa,tanCOE2.二面角CAFB的大小是arctan2.12如图是长方体,AB=2,求二平面与所成二面角的大小解析:
平面ABCD平面,平面与平面的交线l为过点且平行于AC的直线直线l就是二平面与所成二面角的棱又平面,过作AHl于H,连结AH则为二面角的平面角可求得因此所求角的大小为或13.在正方体中,且,.求:
平面AKM与ABCD所成角的大小3222aa2221111DCBAABCD11ADAACAB11111DCBA1111DCBACAB11111DCBA1BCAB11111DCBA1AA1111DCBA1A1AHA1AlA25tan1AHA25arctan25arctan1111DCBAABCD1BBK1CCM141BBBK143CCCM温新堂个性化VIP一对一教学一切为了孩子-温新堂教育-9-解析:
由于BCMK是梯形,则MK与CB相交于EA、E确定的直线为l,过C作CFl于F,连结MF,因为MC平面ABCD,CFl,故MFlMFC是二面角M-l-C的平面角设正方体棱长为a,则,在ECM中,由BKCM可得,故因此所求角的大小为或14.如图,将边长为a的正三角形ABC按它的高AD为折痕折成一个二面角
(1)若二面角是直二面角,求的长;
(2)求与平面所成的角;(3)若二面角的平面角为120,求二面角的平面角的正切值解析:
(1)若,AC=a,aCM43aBK41aEB21aCF5345tanMFC45arctan45arctanCADCCADCCCCACDCCADCDCCA90DCCaCDDC21aCC22温新堂个性化VIP一对一教学一切为了孩子-温新堂教育-10-
(2),ADDC,AD平面为与平面所成的角,在Rt中,于是(3)取的中点E,连结AE、DE,AED为二面角的平面角,在RtAED中,CDADCCDDCACACCDCADACDCCD2130CDA60DCACCDCCDACCACCAECCDEDCCA120DCCaCDDC21aDE41aAD23324123tanaaDEADAED
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