立体几何多项选择题专项训练及详解.docx
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立体几何多项选择题专项训练及详解
立体几何多项选择题专项训练及详解多项选择题:
本题共4小题,每题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的
得3分,有选错的得0分.
1.等腰直角三角形直角边长为1,现将该三角形绕其某一边旋转一周,则所形成的几何体
的表面积可以为()
A.B.C.D.
解析:
若绕一条直角边旋转一周时,则圆锥的底面半径为1,高为1,所以母线长l=,这时表面积为?
2π?
1?
l+π?
12=(1+)π;
若绕斜边一周时旋转体为L两个倒立圆锥对底组合在一起,且由题意底面半径为,一个圆锥的母线长为1,所以表面积S=22?
1=,综上所述该几何体的
表面积为,
答案:
AB
2.已知α,β是两个不重合的平面,m,n是两条不重合的直线,则下列命题正确的是()
A.若m∥n,m⊥α,则n⊥αB.若m∥α,α∩β=n,则m∥n
C.若m⊥α,m⊥β,则α∥βD.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α∥β
解析:
A.由m∥n,m⊥α,则n⊥α,正确;
B.由m∥α,α∩β=n,则m与n的位置关系不确定;
C.由m⊥α,m⊥β,则α∥β正确
D.由m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β,因此不正确.
答案:
AC
3.已知菱形ABCD中,∠BAD=60°,AC与BD相交于点O.将△ABD沿BD折起,使顶点A至点M,在折起的过程中,下列结论正确的是()
A.BD⊥CM
B.存在一个位置,使△CDM为等边三角形
C.DM与BC不可能垂直
D.直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°
解析:
菱形ABCD中,∠BAD=60°,AC与BD相交于点O.将△ABD沿BD折起,使顶点A至点M,如图:
取BD的中点E,连接ME,EC,可知ME⊥BD,EC⊥BD,所以
BD⊥平面MCE,可知MC⊥BD,所以A正确;
由题意可知AB=BC=CD=DA=BD,三棱锥是正四面体时,△CDM为等边三角形,所
以B正确;
D正确.
三棱锥是正四面体时,DM与BC垂直,所以C不正确;
三棱锥是正四面体时,直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°,
答案:
ABD
A.直线BC与平面ABC1D1所成的角等于
B.点C到面ABC1D1的距离为
C.两条异面直线D1C和BC1所成的角为
D.三棱柱AA1D1﹣BB1C1外接球半径为
解析:
正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,
A正确.
对于选项A:
直线BC与平面ABC1D1所成的角为,故选项
,故选项B正确.
对于选项B:
点C到面ABC1D1的距离为B1C长度的一半,即h=
对于选项C:
两条异面直线D1C和BC1所成的角为
对于选项D:
三棱柱AA1D1﹣BB1C1外接球半径r
,故选项C错误.
答案:
ABD
A.CM与PN是异面直线
5.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,N为底面ABCD的中心,P为线段A1D1上的动点(不包括两个端点),M为线段AP的中点,则()
B.CM>PN
C.平面PAN⊥平面BDD1B1
D.过P,A,C三点的正方体的截面一定是等腰梯形
解析:
A.∵ANCPM共面,因此CM与PN不是异面直线,不正确;
因此CM>PN,因此正确.
C.∵AN⊥BD,AN⊥BB1,BD∩BB1=B,∴AN⊥平面BDD1B1,∴平面PAN⊥平面BDD1B1,因此正确;
D.过P,A,C三点的正方体的截面与C1D1相交于点Q,则AC∥PQ,且PQ 答案: BCD 6.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点P在线段B1C上运动,则( A.直线BD1⊥平面A1C1D B.三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值 C.异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[45°,90°] D.直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为 解析: 在A中,∵A1C1⊥B1D1,A1C1⊥BB1,B1D1∩BB1=B1, ∴A1C1⊥平面BB1D1,∴A1C1⊥BD1,同理,DC1⊥BD1,∵A1C1∩DC1=C1,∴直线BD1⊥平面A1C1D,故A正确;在B中,∵A1D∥B1C,A1D? 平面A1C1D,B1C? 平面A1C1D, ∴B1C∥平面A1C1D, ∵点P在线段B1C上运动,∴P到平面A1C1D的距离为定值, 又△A1C1D的面积是定值,∴三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值,故B正确; 在C中,异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[60°,90°],故C错误; 在D中,以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系, 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1,P(a,1,a), 1),=(a,0,a﹣1), 设平面A1C1D的法向量=(x,y,z), ∴直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为: = ∴当a=时,直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为,故D正确. 7.己知m、n为两条不重合的直线,α、β为两个不重合的平面,则下列说法正确的是( A.若m∥α,n∥β且α∥β,则m∥n B.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥β C.若m∥n,n? α,α∥β,m? β,则m∥β D.若m∥n,n⊥α,α⊥β,则m∥β 解析: 对A,若m∥α,n∥β且α∥β,则m∥n或者m与n相交,或者m与n异面,以A错误; 对B,若m∥n,m⊥α,则n⊥α,又n⊥β,所以α∥β,正确; 对C,若n? α,α∥β,则n∥β,又m∥n,m? β,所以m∥β,正确; 对D,若m∥n,n⊥α,则m⊥α,又α⊥β,所以m∥β或m? β,所以D错误.答案: BC A.△PAB是钝角三角形 B.此球的表面积等于5π C.BC⊥平面PAC D.三棱锥A﹣PBC的体积为 解析: 在底面△ABC中,由AC=1,AB=2,∠BAC=60 利用余弦定理可得: BC==, 所以AC2+BC2=AB2,即AC⊥BC, 又PC⊥底面ABC,则PC⊥AC,PC⊥BC; 把三棱锥P﹣ABC放入长宽高分别为1、、1的长方体中,如图所示;所以PA=,PB=AB=2, 所以△PAB是等腰三角形,且顶角小于底角,是锐角三角形,A错误; 三棱锥的外接球也是长方体的外接球,且外接球的直径是长方体的对角线, 为S=4πR2=π? =5π,B正确; 又BC⊥AC,BC⊥PC,且AC∩AC=C,所以BC⊥平面PAC,C正确;三棱锥P﹣ABC的体积为V=××1××1=,D错误. 答案: BC 9.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,动点E在线段A1C1上,F、M分别是AD、 CD的中点,则下列结论中正确的是( A.FM∥A1C1 B.BM⊥平面CC1F C.存在点E,使得平面BEF∥平面CC1D1D D.三棱锥B﹣CEF的体积为定值 解析: A: ∵F,M分别是AD,CD的中点, ∴FM∥AC∥A1C1,故A正确; B: 由平面几何得BM⊥CF,又BM⊥C1C, ∴BM⊥平面CC1F,故B正确; C: BF与平面CC1D1D有交点, ∴不存在点E,使平面BEF∥平面CC1D1D,故C错误; D: 三棱锥B﹣CEF以面BCF为底,则高是定值, ∴三棱锥B﹣CEF的体积为定值,故D正确. N分别为侧 答案: ABD 10.如图,在棱长均相等的四棱锥P﹣ABCD中,O为底面正方形的中心,M, B.平面PCD∥平面OMN C.直线PD与直线MN所成角的大小为90 D.ON⊥PB 根据设棱长均相等的四棱锥P﹣ABCD中,各个棱长为a,O为底面正方形的中心,M, N分别为侧棱PA,PB的中点, 所以: PA与平面MON相交.故选项A错误. 对于选项B: 由于ON∥PD,MN∥AB∥CD,所以平面PCD∥平面OMN,故选项B正确. 对于选项C: 由于各个棱长都相等,所以直线PD与直线MN所成角即直线PD与直线 CD所夹得角,由于△PCD为等边三角形,所以角的大小为60°,故选项C错误. 对于选项D: 在平面PBD中,ON∥PD,由于PD=PB=a,BD=,所以PD2+PB2 =BD2,所以PD⊥PB,故ON⊥PB,选项D正确. 答案: BD11.在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点M在棱CC1上,则下列结论正确的是() A.直线BM与平面ADD1A1平行 B.平面BMD1截正方体所得的截面为三角形 C.异面直线AD1与A1C1所成的角为 D.|MB|+|MD1|的最小值为 对于A,∵面ABCD∥面A1B1C1D1,BM? BCC1B1,即可判定直线BM与平面ADD1A1平行,故正确; 对于B,如图1,平面BMD1截正方体所得的截面可能为四边形,故错; 对于C,如图2,异面直线AD1与A1C1所成的角为,∠D1AC,即可判定异面直线AD1 与A1C1所成的角为,故正确; 对于D,如图3,MB+MD1=MD+MD1,如图4,原问题相当于: AC∥DB,直线AC,BD间距离为1,在AC上找一点M使得到DB(表达)上两点间距离之和最小. 只需找到B关于AC的对称点E,MD+MD1的最小值即为线段ED的长度,ED=,故正确. 答案: ACD
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- 立体几何 多项 选择题 专项 训练 详解