点与圆的位置关系.doc
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点与圆的位置关系
一、点与圆的位置关系
1.确定圆的条件
(1)圆心(定点),确定圆的位置;
(2)半径(定长),确定圆的大小.
注意:
只有当圆心和半径都确定时,圆才能确定.
2.点与圆的位置关系
(3)点与圆的位置关系有:
点在圆上、点在圆内、点在圆外三种,这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定.
(4)设的半径为,点到圆心的距离为,则有:
点在圆外;点在圆上;点在圆内.如下表所示:
位置关系
图形
定义
性质及判定
点在圆外
点在圆的外部
点在的外部.
点在圆上
点在圆周上
点在的外部.
点在圆内
点在圆的内部
点在的外部.
二、过已知点的圆
1.过已知点的圆
(1)经过点的圆:
以点以外的任意一点为圆心,以的长为半径,即可作出过点的圆,这样的圆有无数个.
(2)经过两点的圆:
以线段中垂线上任意一点作为圆心,以的长为半径,即可作出过点的圆,这样的圆也有无数个.
(3)过三点的圆:
若这三点共线时,过三点的圆不存在;若三点不共线时,圆心是线段与的中垂线的交点,而这个交点是唯一存在的,这样的圆有唯一一个.
(4)过个点的圆:
只可以作个或个,当只可作一个时,其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心.
2.定理:
不在同一直线上的三点确定一个圆
(1)“不在同一直线上”这个条件不可忽视,换句话说,在同一直线上的三点不能作圆;
(2)“确定”一词的含义是”有且只有”,即”唯一存在”.
三、三角形的外接圆及外心
1.三角形的外接圆
(1)经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
(2)锐角三角形外接圆的圆心在它的内部;直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半);钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.
2.三角形外心的性质
(1)三角形的外心是指外接圆的圆心,它是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形各顶点的距离相等;
(2)三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是唯一的,但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合.
一、点与圆的位置关系
【例1】已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7,最小距离是5,则该圆的半径是()
A.2 B.6 C.12 D.7
【例2】一个已知点到圆周上的点的最大距离为,最小距离为,则此圆的半径为______.
【例3】定义:
定点与上的任意一点之间的距离的最小值称为点与之间的距离.现有一矩形如图,,与矩形的边分别相切于点,则点与的距离为______________.
【例4】在平面直角坐标系内,以原点为圆心,为半径作,已知,,三点的坐标分别为,,,试判断,,三点与的位置关系.
【例5】已知中,,,,的中点为,
⑴以为圆心,为半径作,则点,,与的位置关系如何?
⑵若以为圆心作,使,,三点至少有一点在内,且至少有一点在外,求半径的取值范围.
【例6】的两条直角边,,斜边上的高为,若以为圆心,分别以,,为半径作圆,试判断点与这三个圆的位置关系.
【例7】在中,,,,以点为圆心,以为半径作圆,请回答下列问题,并说明理由.
⑴当取何值时,点在上,且点在内部?
⑵当在什么范围内取值时,点在外部,且点在的内部?
⑶是否存在这样的实数,使得点在上,且点在内部?
【例8】已知:
四边形中,,,,,,以为圆心,长为半径作圆.求证:
在上,在内,外都有线段上的点.
二、过三点的圆
【例9】如图,四边形中,,若,则_________,__________.
【例10】如图,在平面直角坐标系中,与两坐标轴分别交于四点,已知:
,,,则点的坐标是()
A. B. C. D.
【例11】如图,通过原点,并与坐标轴分别交于两点,已知,点的坐标为,则点的坐标分别为;.
【例12】如图,直角坐标系中一条圆弧经过网格点,其中点的坐标为,则该圆弧所在圆的圆心的坐标为.
三、三角形的外接圆及外心
【例13】如图,内接于,,,为的直径,,则.
【例14】等边三角形的外接圆的半径等于边长的()倍.
A. B. C. D.
【例15】中,,,求其外接圆的半径.
【例16】设的两条直角边长分别为,,则此直角三角形的内切圆半径为,外接圆半径为.
【例17】如图,不等边内接于,是其内心并且.求证:
.
【例18】已知如图,的外角平分线交其外接圆于,连接、,求证:
.
【例19】已知如图,的外角平分线交其外接圆于,连接、,过作于,于,则下列结论中一定正确的有.
①;②;③;④为⊙的切线.
【例20】已知中,,是外接圆劣弧上的点(不与点重合),延长至.
⑴求证:
的延长线平分;
⑵若,中边上的高为,求外接圆的面积.
【例21】如图,为外接圆,,为边上高的交点,在上取点,使.求的值.
【例22】在等腰中,,是高,点是边的中点,而经过点,于的圆同的交点是,求证,其中是的外接圆半径.
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