基于Matlab的电力系统PQ分解法潮流计算研究.pdf
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基于Matlab的电力系统PQ分解法潮流计算研究.pdf
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1引言电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的计算方法,它根据给定的运行条件及系统接线情况等确定整个电力系统的运行状态、母线电压、元件中流过的功率、系统的功率损耗等。
其主要目的在于计算电力网络中设备和用户运行状态的参数。
计算的结果可用来考查所研究的运行状态下,网络特性对各种电力设备和用电设备的适用性,可作为确定对用户供电最佳条件的依据,及估计供电质量的基本数据等。
因此,在电力系统规划设计和现有电力系统运行方式的研究中,都需要利用潮流计算来进行定量分析,比较供电方案或运行方式的合理性、可靠性和经济性。
利用数字计算机进行电力系统潮流计算从50年代中期就已经开始。
在这几十年内,潮流计算采用了各种不同的方法,它们的发展主要是围绕着对潮流计算的一些基本要求进行的,可以归纳为以下几点:
计算方法的可靠性或收敛性;对计算机内存量的需求;计算速度;计算的灵活性和方便性。
电力系统潮流计算从数学上讲是一组多元的非线性方程式的求解问题,这类方程的求解过程都离不开迭代。
由于电力系统结构及参数的一些特点,同时随着电力系统不断扩大,潮流问题的方程式的阶数也越来越高,这样的非线性方程式并不是任何数学方法都能保证给出正确答案的。
这种情况就成为促使电力系统计算人员不断寻求新的且更可靠方法的一个重要因素。
电网潮流计算的性能优劣一般依据的是能否可靠收敛,计算速度的快慢,内存占有多少,使用是否方便灵活,调整和修改是否容易,是否满足工程需要等来判别,其中以是否可靠收敛作为评价的主要标准。
常用的节点分析法包括高斯-塞德尔法、牛顿-拉夫逊潮流算法、快速解耦算法(PQ分解法)等。
基于Matlab的电力系统PQ分解法潮流计算研究徐劲松1,宁玉琳2,杨永锋3(1.中铁七局电务公司,河南郑州450016;2.武汉大学,湖北武汉430072;3.甘肃烟草工业有限责任公司天水分厂,甘肃天水741020)摘要:
在研究电力系统潮流计算的数学模型的基础上,简单介绍了潮流计算的几种方法,重点分析了应用稀疏矩阵的PQ分解法,在Matlab开发环境下实现电力系统潮流计算应用程序的设计思想、实现方案等,同时也论证了所采用方法的优点。
关键词:
潮流计算;PQ分解法;Matlab中图分类号:
TM712文献标识码:
AResearchonpowersystemflowcalculationofPQdecompositionbasedonMatlabXUJin-song1,NINGYu-lin2,YANGYong-feng3(1.TheElectricalEngineeringCo.,Ltd.,ofChinaRailwaySeventhGroup,Zhengzhou450016,China;2.WuhanUniversity,Wuhan430072,China;3.TianshuiCigaretteFactory,GansuTobaccoIndustrialCo.,Ltd.,Tianshui741020,China)Abstract:
Onthebasisofstudyingthemathematicalmodelofpowersystemflowcalculation,theseveralpowerflowcalculationmethodsareintroducedbriefly.ThePQdecompositionisanalyzedessentially,whichcontainsthesparsematrix,realizationdesign,implementationschemeoftheapplicationsofthepowersystemflowcalculationintheMatlabdevelopingenvironment.Theadvantagesofthemethodemployedarealsodemonstrated.Keywords:
powerflowcalculation;PQdecomposition;Matlab文章编号:
10057277(2011)020010092011年第33卷第2期第10页电气传动自动化ELECTRICDRIVEAUTOMATIONVol33,No22011,33
(2):
10182电力系统潮流计算2.1电力系统潮流计算的数学模型如图1所示为简单的电力系统接线图,由发电机、变压器、输电线路及负荷等构成。
在进行电气计算时,系统中的静止元件如变压器、输电线、并联电容、电抗器等都可以用R、L、C所构成的等值电路来表示。
因此,由这些静止元件所构成的电力网在潮流计算中可以看作是线性网络,并用相应的导纳矩阵来描述。
线性网络部分其节点电压与电流之间的关系如下:
I=YV
(1)式
(1)也可以写成展开的形式,即:
Ii=nj=1YijVj
(2)式中:
Ii和Vj分别为节点i的注入电流及节点j的电压;Yij为导纳矩阵元素;n为系统节点数。
节点功率与电流之间存在以下关系式:
Ii=Pi-jQiVi(i=1,2,L,n)(3)式中:
Pi、Qi分别表示节点i向线性网络注入的有功功率和无功功率;当i点为负荷点时,Pi、Qi本身应带负号;Vi为节点的电压向量的共轭值。
将式
(2)代入式(3)可得:
Pi-jQiVi=nj=1YijVj(i=1,2,L,n)(4)式(4)含有n个非线性复数方程,是潮流计算问题的基本方程,对这个方程不同的应用和处理就形成了不同的潮流程序。
若用极坐标形式表示则有:
Pi-jQi=Vi-inji(Gij+jBij)Vjj=Viji(Gij+jBij)Vj(cosij-jsinij)(5)其中,Pi、Qi可分别表示为Pi=VijiVj(Gijcosij+Bijsinij)Qi=VijiVj(Gijsinij-Bijcosij)(i=1,2,L,n)(6)电力系统潮流计算中,表征各节点运行状态的参数是该点的电压向量及复功率,即每个节点都有4个节点运行状态量:
V,P,Q,。
因此在n个节点的电力系统中共有4n个运行参数。
根据式(4),电力潮流基本方程共有n个复数方程(2n个实数方程),2n个原始数据事先给定,求解另外2n个运行参数。
在一般电力系统中,对每个节点给出2个运行参数作为已知条件,另外两个作为待求量。
根据原始数据给出的方式,电力系统中的节点一般分为三种类型。
(1)PQ节点:
此节点给出的参数是该点的P和Q,待求量为电压向量V和电压向量的角度,称为PQ节点。
在潮流计算中,系统中大部分属这类节点。
(2)PV节点:
此节点给出的参数是该点的P及电压幅值V,待求量为该点的Q及电压向量的角度。
通常选择有一定无功功率储备的发电厂的母线作为PV节点,当变电所有无功补偿设备时,也可作为PV节点处理。
(3)平衡节点:
在潮流计算中,此节点在系统中只设一个。
对这个点,给定该点的电压幅值,并在计算中取该节点电压向量的方向作为参考轴,相当于给定该点电压向量的角度为零度。
因此该节点的运行参数是V和,故称V节点。
对平衡节点来说,待求量为该点的有用功率P及无功功率Q,整个系统的平衡由这一点来完成。
2.2潮流计算的方法2.2.1高斯-塞德尔迭代法高斯-塞德尔迭代法是在电力系统中最早应用的一种潮流计算方法,它是在雅可比迭代法的基础上进行改进的。
初值选定以后,计算每个变量的估计值,每一步迭代过程都利用前一步已求得的最新估计值,直接代入求解下一个变量的估计值,而6534PH1+jQH1PF1+jQF1PH2+jQH2PF2+jQF2图1简单电力系统的接线图2011年第2期11徐劲松,宁玉琳,杨永锋基于Matlab的电力系统PQ分解法潮流计算研究12电气传动自动化2011年第2期不是等待一次迭代过程结束后再利用。
一个迭代过程结束后得到的每个变量的估计值,再重新代入公式计算变量估计值,如此反复迭代,不断得到新的估计值,直到得出满意的结果为止。
高斯-塞德尔迭代法简单易懂,计算量小,但每个节点电压值的改进只能影响到和这个节点直接相连的几个节点电压值的修正,因此节点的电压向收敛解的接近非常缓慢,收敛速度也就非常慢。
该方法通常用于网络规模比较小的情况,另外也常常用此方法迭代1-2次产生的解作为牛顿法的初始值,以满足牛顿法对初值的高要求,提高牛顿法的收敛性和收敛速度。
2.2.2牛顿-拉夫逊潮流算法牛顿-拉夫逊算法产生于50年代末期,是一种实用且有竞争力的电力系统潮流计算方法。
在稀疏矩阵技巧和高斯消去法被应用以后,其真正的价值才体现出来。
牛顿拉夫逊法是求解非线性代数方程有效的迭代计算方法,已经成为求解电力系统潮流问题应用最为广泛的一种方法。
方程式(6)为用极坐标形式表示的牛顿-拉夫逊潮流方程,将这两个方程改写成残差的形式,即Pi=Pis-VijiVj(Gijcosij+Bijsinij)Qi=QisVi-VijiVj(Gijsinij-Bijcosij)(i=1,2,L,n)(7)其中:
ij为节点i和j之间的电压相角差;Gij和Bij分别为支路电导和电纳;Vi和Vj分别为节点i和j的电压向量。
对式(7)进行泰勒级数展开,取一次项近似,即可得到牛顿法潮流计算的修正方程式,即PQ=坠P/坠坠P/坠V坠Q/坠坠Q/坠VV/V=-HNMLV/V=JV/V(8)其中:
Pi和Qi为潮流方程的有功功率和无功功率残差向量,共(2n2)维;V和为母线电压修正量,共(2n2)维;系数J为雅可比矩阵。
对方程式(8)进行变换即可得到变量V和的求解公式,即:
V/V=J-1PQ(9)雅可比矩阵各元素可表达为:
Hij=坠Pi坠j=-ViVj(Gijsinij-Bijcosij)(ij)V2iBii+Qi(i=j)(10)Nij=坠Pi坠VjVj=-ViVj(Gijcosij+Bijsinij)(ij)-V2iGii-Pi(i=j)(11)Mij=坠Qi坠jVj=ViVj(Gijcosij+Bijsinij)(ij)V2iGii-Pi(i=j)(12)Lij=坠Qi坠VjVj=-ViVj(Gijsinij-Bijcosij)(ij)V2iBii-Qi(i=j)(13)根据公式(7)至公式(13),可得牛顿法潮流计算的具体步骤。
输入原始数据计算节点导纳矩阵;给出各节点电压初值V(0);将电压初值代入式(7),求出P(0)、Q(0)。
判断是否满足收敛条件,如果满足,则停止计算。
否则,继续进行下面的步骤;将电压初值代入式(10)至式(13)中求出雅可比矩阵J;解式(9)中潮流残差方程,求出节点电压的修正量V(0);修正节点电压向量V
(1)=V(0)+V(0);返回步骤继续迭代;判断是否满足收敛条件,如果满足,则停止计算,否则,再以V
(1)为初值,返回第步进行下一次迭代。
使用牛顿-拉夫逊法有以下优点。
收敛速度快,具有平方收敛特性,迭代次数与系统规模基本无关,若初值选择得较好,一般迭代几次就能收敛;对于有些病态条件的问题,也能利用该方法求解;应用了稀疏矩阵技巧,所需计算机内存适中。
牛顿-拉夫逊法虽是一种广泛使用的方法,但也存在以下缺点。
编程比较复杂,且收敛速度的快慢和迭代次数与初始值的好坏有很大的关系,如果初始值好,可以大大减小迭代次数与收敛速度,如果选择不合适有可能永远不收敛;因非对称的雅可比矩阵不是固定的,每次迭代都需要重新计算,大量的求导运算,计算量很大,降低了计算速度。
2.2.3快速解耦算法(PQ分解法)针对牛顿-拉夫逊法计算速度方面存在的不足和电力系统实现在线控制的要求,在改进牛顿-拉夫逊法的基础上,提出了快速解耦算法。
快速解耦算法派生于牛顿-拉夫逊法的极坐标形式,又称为PQ分解法。
其基本思想是:
把节点功率表示为电压向量的极坐标方程式,抓住主要矛盾,把有功功率误差作为修正电压向量角度的依据,把无功功率误差作为修正电压幅值的依据,把有功功率和无功功率迭代分开进行。
它密切地结合了电力系统的固有特点,无论是内存占用量还是计算速度方面都比牛顿-拉夫逊法有了较大的改进。
简单、快速、节省内存和收敛可靠成为该算法的突出优点,是当前国内外优先使用的算法,其成立的基础要满足三个假设条件。
在高压输电网中,元件参数的电抗远远大于电阻,即XR,有功功率的变化主要取决于电压相角的变化,无功功率的变化主要取决于电压幅值的变化,这使得牛顿法修正方程的雅可比矩阵元素上的M和N元素取值为0。
考虑非长距离及非重载电路,其线路两端的相角相差不大,且Gij=Bij,即认为cosij=1,Gijsinij=Bij,于是公式(10)和公式(13)中当ij时,H和L表达式近似为:
Hij=ViVjBij,ij(14)Lij=ViVjBij,ij(15)与节点无功功率相对应的导纳元素Qij/V2i通常远小于节点的自导纳Bij,式(10)和式(13)中当i=j时H和L表达式近似为:
Hii=V2iBii,i=j(16)Lii=V2iBii,i=j(17)根据以上三个假设,牛顿法的修正方程式(8)可简化为:
P/V=-BVQ/V=-BV(18)式(18)就是快速解耦法的修正方程。
其中,系数矩阵B和B只不过是系统导纳矩阵的虚部,因而是对称矩阵,且在迭代过程中维持不变。
为了加速算法的收敛,又对B和B的构成作了进一步的修正。
在形成B时可忽略那些主要影响无功功率和电压幅值,而与有功功率及电压相角关系很少的因素。
这些因素包括输电线路的充电电容以及变压器非标准变比。
在计算B元素时可忽略那些主要影响有功功率及电压相角关系,而与无功功率和电压幅值关系很少的因素。
这些因素包括一些串联元件。
为了减少在迭代过程中节点电压对有功迭代的影响,可将式(18)右侧V的各元素均置为标幺值1.0。
修正方程式(18)可进一步简化为:
P/V=-BQ/V=-BV(19)由此可见,B和B二者的阶数不同,而且构成元素也不同,由网络导纳矩阵的公式和以上假设条件可得B和B具体的表达式如下:
Bij=1XijBii=-jiBij=-ji1XijBij=XijR2ij+X2ij=-bijBii=bi0-jiXijR2ij+X2ij(20)式中:
Bij和Bii分别为节点导纳矩阵的相应元素;bi0为节点i的并联支路的对地导纳;Rij和Xij分别为相应网络元件的电阻和电抗;ji表示号后标号为j的节点必须和标号为i的节点直接相关,但是不包括j=i的情况。
PQ分解法是电力系统潮流计算广泛使用的一种算法,这是因为:
在修正方程式中,B和B二者的阶数不同。
B为n-1阶,B为n-m-1阶方阵(m为PV节点数),简化了牛顿法的一个2n-m-2的方程组,显著减少了方程组的求解难度,相应地也提高了计算速度。
2011年第2期13徐劲松,宁玉琳,杨永锋基于Matlab的电力系统PQ分解法潮流计算研究用常系数矩阵B和B代替了变系数雅可比矩阵,而且系数矩阵的元素在迭代过程中保持不变。
系数矩阵的元素是由导纳矩阵元素的虚部构成的,可以在进行迭代过程以前,对系数矩阵形成因子表,然后反复利用因子表对不同的常数项P/V或Q/V进行前代和回代运算,就可以迅速求得电压修正量,从而提高了迭代速度,大大地缩短了每次迭代所需的时间。
用对称的B和B代替了不对称的雅可比矩阵,因此只需要存储因子表的上三角部分,这样减少了三角分解的计算量和内存。
但是需注意的是,PQ分解法如果假设条件不满足,可能会出现迭代次数增加或不收敛的情况,而一些病态系统或重负荷系统,特别是放射状电力网络的系统,会出现计算过程的振荡或不收敛的情况。
PQ分解法的迭代步骤大致如下。
输入原始数据形成节点导纳矩阵;形成B和B矩阵;给定各节点电压向量的电压初值i(0)、Vi(0);根据式(7)计算各节点有功功率误差Pi,并求出Pi/Vi;解修正方程式(19),并进而计算各节点电压向量角度的修正量i;修正各节点电压向量角度i;i(t)=i(t-1)-i(t-1)(21)根据式(7)计算各节点无功功率误差Qi,并求出Qi/Vi;解修正方程式(19),求出各节点电压幅值的修正量Vi;修正各节点电压幅值Vi;Vi(t)=Vi(t-1)-Vi(t-1)(22)返回进行迭代,直到各节点功率误差Pi及Qi都满足收敛条件;輥輯訛计算平衡节点的P和Q;輥輰訛计算支路的潮流和网络损耗。
经过比较,PQ分解法计算速度较快且占用的内存比较小,一般来说,大多数实际电力系统都不是难以收敛的病态网络,因此选用PQ分解法作为电力系统的潮流计算方法。
3基于MATLAB的PQ分解法潮流计算程序MATLAB已广泛应用于自动控制、数学运算、信号分析、计算机技术、图像信号处理、财务分析、航天工业和生物医学工程等领域。
由于MATLAB语言功能强大、人际界面友好、编程效率高、强大而智能化的作图功能,且具有编程语句简洁、灵活、表达和运算能力强等显著特点,本文用其编写了PQ分解法潮流计算程序。
3.1PQ分解法潮流计算程序functionU,P,Q,deltaSij,a,S,Sij,Sji,sumdeltaS=chaoliujisuan()%电力系统潮流计算程序;%输出:
U节点电压,P节点有功,Q节点无功,deltaSij支路功率损耗,%Sij从节点i流向节点j的功率,S节点复功率,sumdeltaS网络总损耗%输入参数:
point为节点信息矩阵,zhilu为支路信息矩阵;x=xlsread(pqinput.xls,A2:
A2);%从exel中读取节点数xy=xlsread(pqinput.xls,B2:
B2);%从exel中读取支路数ye=xlsread(pqinput.xls,B4:
B4);%误差要求point=xlsread(pqinput.xls,D3:
H100);%从exel中读取节点信息矩阵zhilu=xlsread(pqinput.xls,J3:
Q100);%从exel中读取支路信息矩阵TYPE=zeros(x,1);%TYPE为节点类型矩阵U=zeros(x,1);%U为节点电压矩阵a=zeros(x,1);%a为节点电压相角矩阵P=zeros(x,1);%P为节点有功功率Q=zeros(x,1);%Q为节点无功功率I=zeros(y,1);%I为起始节点编号矩阵J=zeros(y,1);%J为终止节点编号矩阵Rij=zeros(y,1);%R为线路电阻Xij=zeros(y,1);%X为线路电抗Zij=Rij+j*Xij;%Zij为线路阻抗Y=zeros(x);%Y为n阶节点导纳方阵G=zeros(x);%G为n阶节点电导方阵B=zeros(x);%B为n阶节点电纳方阵B0=zeros(y,1);%B0为n*1阶线路对地电纳值RT=zeros(y,1);%RT为ij支路y(矩阵zhilu的行数)*1阶变压器电阻XT=zeros(y,1);%XT为ij支路y*1阶变压器电抗ZT=RT+j*XT;%求变压器阻抗KT=zeros(y,1);%K为ij支路y*1阶变压器变比,若k=0表示无变压器,K=1则为标准变比,k不等于1为非标准变比14电气传动自动化2011年第2期%-矩阵赋初值:
TYPE=point(:
,1);%将point矩阵的第一列赋给TYPE,以下类似U=point(:
,2);a=point(:
,3);P=point(:
,4);Q=point(:
,5);I=zhilu(:
,1);J=zhilu(:
,2);Rij=zhilu(:
,3);Xij=zhilu(:
,4);Zij=Rij+j*Xij;B0=zhilu(:
,5);RT=zhilu(:
,6);XT=zhilu(:
,7);ZT=RT+j*XT;KT=zhilu(:
,8);%-求节点导纳矩阵Yform=1:
y%求Y中非对角元元素YijifKT(m)=0%若无变压器,则Yij直接为线路阻抗分之一取负值。
Y(I(m),J(m)=-1/Zij(m);Y(J(m),I(m)=-1/Zij(m);else%有变压器时,Yij为线路阻抗乘以KT后分之一再取负值Y(I(m),J(m)=-1/(KT(m)*ZT(m);Y(J(m),I(m)=-1/(KT(m)*ZT(m);endendform=1:
x%求Y中的Yiiforn=1:
yifKT(n)=0%无变压器时Yii为Yij加上线路对地电导的一半乘jif(I(n)=m|J(n)=m)Y(m,m)=Y(m,m)-Y(I(n),J(n)+j*B0(n)/2;endelseifI(n)=m%有变压器时,若支路起始节点为m,则变压器等值模型的对地支路的(1-KT)/KT2算到I(m)节点Y(m,m)=Y(m,m)-Y(I(n),J(n)+(1-KT(n)/(KT(n)2)*(1/ZT(n);elseifJ(n)=m%有变压器时,若支路终止节点为m,则变压器等值模型的对地支路的(KT-1)/KT算到J(m)节点Y(m,m)=Y(m,m)-Y(I(n),J(n)+(KT(n)-1)/KT(n)*(1/ZT(n);elseY(m,m)=Y(m,m);endendendG=real(Y);%-求B矩阵及其逆矩阵B1B=imag(Y);%求Y的虚部,节点电纳矩阵ph=find(TYPE(:
,1)=3);%找出平衡节点编号BB=B;%BB矩阵为中间变量BB(:
,ph)=;%平衡节点编号对应行置空BB(ph,:
)=;%平衡节点编号对应列置空B1=BB;B1=inv(B1);%B1求逆后得B1矩阵%-%求B及其逆矩阵B2phpv=find(TYPE(:
,1)1);%找出非PQ节点的编号BB=B;%以下与求B相同BB(:
,phpv)=;BB(phpv,:
)=;B2=BB;B2=inv(B2);%求得B2矩阵%-计算各节点有功功率不平衡量deltaPik=0;%k为迭代次数kp=0;%计算P不平衡量deltaPi的收敛标志(0表示不收敛,1表示收敛)kq=0;%计算U不平衡量deltaQi的收敛标志(0表示不收敛,1表示收敛)notph=find(TYPE(:
,1)3);%找出非平衡节点编号deltaPi=zeros(x-1,1);%deltaPi为x*1阶矩阵,x即为节点数pq=find(TYPE(:
,1)=1);%找出PQ节点编号pqnum=size(B2);pqnum=pqnum
(1);%求PQ节点的个数(因B1矩阵的维数等于PQ节点数)deltaQi=zeros(pqnum,1);%deltaQi为pqnum*1阶矩阵while(kq|kp)&(k20)k=k+1;form=1:
(x-1)%求deltaPisum1=0;forn=1:
xsum1=sum1+U(notph(m)*U(n)*(G(notph(m),n)*cos(a(notph(m)-a(n)+B(notph(m),n)*sin(a(notph(m)-a(n);enddeltaPi(m)=P(notph(m)-sum1;endUp=U;%Up为中间变量Up(ph)=;%将平衡节点所在行置空Unotph=Up;%求得除平衡节点外的电压列向量deltaa=(-B1*(deltaPi./Unotph)./Unotph;%求相角a的不平衡量form=1:
(x-1)%求相角a的新迭代值矩阵a(notph(m)=a(notph(m)+d
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