全最小二乘法在三坐标测量中的应用.pdf
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?
第30卷第4期2008年07月武?
汉?
工?
程?
大?
学?
学?
报J.?
Wuhan?
Inst.?
Tech.Vol.30?
No.4Jul.?
2008?
收稿日期:
2008?
01?
21作者简介:
胡学军(1967?
),男,湖北浠水人,讲师,硕士.研究方向:
智能控制与检测.文章编号:
1674?
2869(2008)04?
0112?
02全最小二乘法在三坐标测量中的应用胡学军1,王俊亮2,王?
刚2(1.武汉工程大学电气信息学院,湖北武汉430074;2.武汉大学电子信息学院,湖北武汉430072)摘?
要:
介绍了全最小二乘法的原理,并通过实例阐述了以点到直线距离平方和最小为条件的空间直线拟合方法,同时,比较了三坐标测量对两平面平行度全最小二乘法与最小二乘法的精度,说明这种方法适用于三坐标机测量后的计算.关键词:
全最小二乘法;空间直线;拟合中图分类号:
TH721?
文献标识码:
A0?
引?
言三坐标测量机作为一种三维的自动化、高精度几何量测量设备,在机械、仪器、电器、动力机械等领域得到广泛应用.而空间直线是精密测量中最基本的、也是最重要的测量对象,多年来一直有学者致力于这方面的研究.文献1对空间曲线测量的法向偏差进行了讨论,文献2对两平行面的平行度采用最小二乘法处理的误差进行了讨论.本文从误差定义出发用全最小二乘法求解,对两平面平行度进行误差分析.全最小二乘法的思想是Deming于1946年提出,Golub(1980)用奇异值分解法讨论了全最小二乘法的求解和性质.文献3讨论了全最小二乘法在参数估计中的应用.1?
全最小二乘法原理参数拟合一般采用最小二乘法,但是最小二乘法仅考虑因变量(通常为y)方向的误差而将自变量(通常为x)的误差忽略不计.下面介绍一种以测量点到被拟合对象距离平方和最小为条件的拟合方法.全最小二乘法又被称为整体最小二乘法.假设被拟合的直线或曲线在直角坐标系中关系为y=f(x),x为自变量,y为因变量.对x、y进行n次测量,第i次测量值为(xi,yi),则:
xi=x?
(i+?
xiyi=y?
(i+?
yi
(1)其中x?
(i,y?
(i分别为x,y的真实值,?
xi,?
yi为的绝对误差.如果?
xi相对?
yi很小且可以忽略,可以采用最小二乘法.即:
min?
ni=1?
y2i
(2)以式
(2)为条件拟合.在实际测量中,?
xi与?
yi一般相差不大,均不可以忽略.全最小二乘法以各点到被拟合对象的距离平方和最小为拟合条件拟合空间直线,即:
min?
ni=1(xi-x?
(i)2+(yi-y?
(i)2(3)2?
全最小二乘法在空间直线拟合中的分析?
在直角坐标系中对某一直线第i次测量坐标为Pi(xi,yi,zi),xi,yi,zi均存在等精度测量误差.设待拟合直线方程为x-x0a=y-y0b=z-z0c(4)式(4)中(x0,y0,z0)为直线上的任意一点,(a,b,c)为直线的方向向量.设Pi(x?
(i,y?
(i,z?
(i)为第i次测量点的理想点坐标.根据误差定义(误差是指测得值与真实值之差),则点的位置误差应为(xi-x?
(i)2+(yi-y?
(i)+(z-z?
(i)2因此拟合条件为min?
ni=1(xi-x?
(i)2+(yi-y?
(i)2+(zi-z?
(i)2(5)先将测量点Pi(xi,yi,zi)以点到平面的距离平方和最小为条件拟合一个abc,则拟合条件为第4期胡学军,等:
全最小二乘法在三坐标测量中的应用113?
min?
ni=1(xi-x?
(i)2+(yi-y?
(i)2+(zi-z?
(i)2(6)式(6)中P?
(x?
(i,y?
(i,z?
(i)为测量点Pi(xi,yi,zi)向平面abc投影得到的投影点坐标,则有Pi,P?
(i!
平面abc(7)对平面abc内任意一直线l,即l?
abc,有Pi,Pi,l=0(8)设拟合得到的平面abc的方程为z=a1x+a2y+d(a1,a2,d为参数)(9)再将测量点在这个平面上的投影点P?
(i(x?
(i,y?
(i,z?
(i)依据点到直线的距离平方和最小为条件拟合一条直线l,则拟合条件为min?
ni=1(x?
(i-x?
(i)2+(y?
(i-y?
(i)2+(z?
(i-z?
(i)2(10)其中P?
(i(x?
(i,y?
(i,x?
(i)为点P?
(i(x?
(i,y?
(i,z?
(i)向直线投影得到的投影点坐标,则有P?
(iP?
(i!
l(11)即:
Pi,Pi,l=0(12)则拟合得到的直线l方程为x-x1a=y-y1b=z-z1c(13)式(12)中a,b,c为参数,如图1所示.图1?
空间直线拟合示意图Fig.1?
Theexplanatorydrawingofspacelinearfit图1中点A、B、C、D为测量点,平面abc是由点A、B、C根据点到直线距离平方和最小为条件拟合得到的平面,点a、b、c、d为点A、B、C、D向平面abc投影得到的投影点,直线l是根据点到直线的距离平方和最小为条件拟合得到的直线,a、b、c、d分别是点a、b、c、d向直线l投影点得到的投影点.由以上条件可知Aa!
平面abc、Bb!
平面abc、Cc!
平面abc、Dd!
平面abc,aa!
l、bb!
l、cc!
l、dd!
l,所以Aa!
l?
Bb!
l?
Cc!
lAa2=Aa2+aa2,Bb2+bb2Cc2=Cc2+cc2,Dd2=Dd2+Dd2即直线l满足测量点与对应的理想点的距离平方和最小.3?
全最小二乘法在两平面平行度测量中的应用?
如图
(2)所示,测量两平行面平行度的距离并分析其误差,一般三坐标测量机首先测量基准面S1上的若干点,分析得到一个最小二乘基准面A.然后在另一个被测面S2上测量若干点计算得到两一个最小二乘平面B,最后分析平行面A和B的误差和距离.图2?
两平面平行度示意图Fig.2?
Thesketchmapoftwoparallel?
sparallelscale表1给出了测量数据及最小二乘法和全最小二乘法误差.表1?
测量及处理后数据Table1?
Thedataaftermeterageandprocessing?
(mm)序号XYZD1D21172.595562.83466.1620.019760.02272203.973525.79066.1270.014600.01133234.613489.64866.1260.021430.02274265.190453.52066.1560.018110.02005295.962417.19266.1300.006560.00566324.378383.66166.1280.011940.01477351.642351.45766.1350.001600.00358386.757309.96966.1170.025750.02279409.565283.08066.1300.003610.007810440.815246.17466.1530.024310.022711478.072202.18066.1230.010780.080712511.338162.94966.1240.017760.0227?
ni=1D20.0032770.009937?
D1为各测量点到用全最小二乘法拟合的误差,其中最大距离为0.02575mm;D2为各测量点到用最小二乘法拟合的误差,其中最大距离为0.0807mm.4?
结?
语以上采用全最小二乘法拟合空间直线即以测量点到拟合直线的距离为误差,求其整体最小,同时,还对两平行面的平行度误差进行了比较,说明了这种方法简单明了且测量精度高,非常适用于三坐标机测量.(下转第117页)第4期杨海燕,等:
一种面向特征选择的分类神经网络117?
theconnectweightsimultaneously.Thecentervectoristhecenterofclassification,andtheweightbasedonfuzzymembershiprepresentstheimportanceoffeature.Thefeaturescanbeselectedaccordingtothefinalvalueoftheweight,thussolvingtwomajorproblemsinpatternrecognition:
patternclassificationandfeatureselection.TheeffectivenessofthismethodhasbeenvalidatedbyIRISdata.Theresultsshowthattheproposednetworkcanselectimportantfeaturesfromtheoriginalfeaturesandmaintainquitesameperformanceasusingthewholefeatures.Keywords:
featureselection;classification;centervector;connectionweight本文编辑:
陈晓苹(上接第113页)参考文献:
1?
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56?
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47.4?
黄宣国.空间解析几何M.上海:
复旦大学出版社,2004:
24?
53.Theapplicationoforthogonalleastsquaremethodin3dimensionalcoordinatemeasureHUXue?
jun1,WANGJun?
liang2,WANGGang2(1.SchoolofElectricalandInfromationEngineering,WuhanInstituteofTechnology,Wuhan430074,China;2.CollegeofElectronicsInfromation,WuhanUniversityWuhan430072,China)Abstract:
Thisarticledescribestheoryoftheorthogonalleastsquaremethod.Thespacelinearfitmethodisintroducedvianumericalexample,whichisontheconditionofminimizationofthesquare?
sumofthepointtolinedistance.Theprecisionofthetwomethodsarecomparedin3dimensionalcoordinatemeasure,whichindicatesthattheorthogonalleastsquaremethodissuitablefor3dimensionalcoordinatemeasuremachine.Keywords:
orthogonalleastsquaremethod;spacelinear;fit本文编辑:
陈晓苹
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- 最小二乘法 坐标 测量 中的 应用