应用随机过程答案1.pdf
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应用随机过程答案1.pdf
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2.
(1)求参数为的()bp,分布的特征函数,其概率密度为()()是正整数pbxxexpbxpbxpp,0000,1=
(2)求其期望和方差。
(3)证明对具有相同参数的b分布,关于参数具有可加性。
p函数有下面的性质:
解
(1)首先,我们知道()()!
1=pp根据特征函数的定义,有()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()pppxjtbppxjtbppxjtbppxjtbppxjtbppbxppjtxjtxjtXXjtbbjtbppbdxexjtbppbdxexjtbppbdxexjtbppbexjtbpbdxexpbdxexpbedxxpeeEtf=+=!
1!
11110010202010110L所以()pXjtbbtf=
(2)根据期望的定义,有()()()()()()()bpdxxpbpdxexpbbpdxexbppbexbpbdxexpbdxexpbxdxxxpXEmbxppbxppbxppbxppbxppX=+=010100011类似的,有()()()()()()()()()()()()()2201200010101222111111bppdxxpbppdxexpbbppdxexbppbdxexbppbexbpbdxexpbdxexpbxdxxpxXEbxppbxppbxppbxppbxppbxpp+=+=+=+=+=+L的方差为X所以,()222221bpbpbppmXEDXX=+=(3)()()()jtjntjteneetf=115.试证函数为一特征函数,并求它所对应的随机变量的分布。
()tf解.根据定理1.3.2(第10页),我们只需证明是连续非负定,且。
()10=f注意到()()()()=nkjktnkjktjtjtnjtjtjtjntjteneneeeneeneetf1111110所以连续且.下面我们证明()tf()10=f()tf是非负定的(性质1.3.3,第8页)。
对任意给定的自然数M,实数以及复数,由于Mttt,21LMaaa,21L()()()()()()=MiMkkittjttjnttjMiMkkikiaaeneeaattfAkikiki111111()()()()()()()()()()()AaaeneeaaeneeaattfAMkMiikttjttjnttjMiMkkittjttjnttjMiMkkikiikikiikkikiki=1111111111nejltA,2,1nlL=所以是实数。
其次,容易证明对任意函数是非负定的。
因此,函数是非负定的。
()tf()tf是特征函数。
()tf下面我们求对应的随机变量的概率密度函数。
根据定理1.3.1(第10页),()()()()=nknknkjktjtxjtxkxnkxndteendtetfxp11112212121()211ttf+=5.试证函数为一特征函数,并求它所对应的随机变量的分布。
解.容易证明连续且()tf()10=f()tf,下面我们证明是非负定的。
对任意给定的自然数M,实数以及复数,首先,由于Mttt,21LMaaa,21L()()=+=MiMkkikiMiMkkikiaattaattfA1121111,是实数。
其次,A显然()()()()0max11max11112212,112,11211+=+=MkikiMiMkkikikiMiMkkikiMiMkkikiaaattaattaattaattfAL所以是非负定的。
()tf最后,根据定理1.3.1(第10页),()()xjtxjtxedtetdttfexp211121212=+=(),x()2,aN7.设相互独立服从正态分布nXXX,21L。
试求维向量的分布,并求其均值向量和协方差矩阵,再求n=niiXnX11(nXXX,21L)的概率密度函数。
()2,aN解.由于相互独立服从正态分布nXXX,21L,维向量的均值向量为n()aaa,L=(nXXX,21L),协方差矩阵为=222OB,()的分布为()BN,。
nXXX,21L()1,1,11Lnl=niiXnX11,则,al=根据题意,。
令()nnnlBl222211111,1,11=MOL根据性质1.4.4(第14页),()=naNlBllNX2,()1,0N11.设相互独立,且都服从211XXY+=321,XXX和。
试求随机变量和组成的随机向量()21,YYY=的特征函数。
312XXY+=解.令,则()321,XXXX=111,0NX()()()XAXXXXXXXYYY=+=:
100111,321312121=2112100111101011111AA根据性质1.4.5(第15页),()=2112,0,NBNYYY根据定理1.4.1(第13页),()()222121exp211221exp21expttttttttBtjtfYYY=()1,0N。
试求12.设相互独立,且都服从321,XXX和()321,XXX的特征函数
(1)随机向量
(2)设,321321211XXXSXXSXS+=+=求随机向量()的特征函数。
321,SSS()21,YY(3)和的特征函数。
121XXY=232XXY=组成的随机向量跟上题的解法完全一样。
()1,0N15.设是相互独立同服从正态分布YX,的随机变量,讨论和YXV=的独立性。
22YXU+=解.我们知道,随机向量的概率密度函数为(YX,)()2,2221,yxYXeyxf+=YXV=根据,有。
由0UYVX=22YXU+=知,代入,可得,所以Y由两个解,即:
22YXU+=()()22221YVYYVU+=+=,1,12221VUYVUY+=+=类似的,+=+=212111VUYVVUX+=+=212111VUYVVUX下面我们求Jacobi行列式。
容易验证:
()2/3211VUVX+=2112VUVUX+=,()2/3211VVUVY+=21121VUUY+=,所以,()()()21111111121,VVYUYVXUXVUYXJ+=类似地,()()()2222121,VVUYXJ+=因此,随机向量的概率密度函数为(VU,)()()()+=+=+=2exp11211211121exp2121,11,1,222222222,122,uvvvuvvuJvuvvufJvuvvufvugYXYXVU由上式可得U和V的概率密度函数:
()()()()=+=+=2exp21112exp212exp1121,22,udvvudvuvdvvugugVUU()()()()()()202022,112exp21111212exp11212exp1121,vuvduuvduuvduvugvgVUV+=+=+=+=所以,()()()vgugvugVUVU=,即是独立的。
VU和17.设二维随机变量的概率密度函数为YX,()=其它00,0,1,yxeyyxpyxyyYXE=。
试求解.容易验证,Y的概率密度函数为()()yyxyyxyyxyYeeyyedxeyedxeydxyxpyp=000111,在下的条件概率密度函数为(第24页)XyY=所以()()()yxyyxyYYXeyeeyypyxpyxp=11,|相应的条件数学期望等于()0,|00|=yydxeyxdxyxxpyYXEyxYX习题二()2,0N()tBtAtXsincos=2设,其中是相互独立且有相同的BA,分布的随机变量,(),t。
试求:
是常数,
(1)的一个样本函数;()tX
(2)的一维概率密度函数;()tX(3)的均值函数和协方差函数。
()tX()2,0,NBA()0tX是一个样本函数。
解.
(1)由于0=BA,取,则
(2)由于。
根据性质1.4.4(第14页)知,对任意,()()()CBAttBAtX,:
sincos,=t()()222,0,0NCCNtX=所以的一维概率密度函数为()tX()()222221txXetp=(3)容易计算:
()()0=tXEtmX()()()()()()()()()()()tststsBBtsABtsBAtsAAtstBtAsBsAtXsXtsCX=+=+=cossinsincoscos,covsinsin,covcossin,covsincos,covcoscossincos,sincoscov,cov,224设是参数为的Wiener过程,求下列过程的均值和相关函数:
()0,ttW2()0,1=tttWtX()()0,2=ttWtX
(2)
(1)()()0,21=ttcWctX()()()0,=tttWtWtX(4)(3)()()()()ttDtWEtXEtWX22=解
(1)假设,有st()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()sWWsWEsWtWWsWEsWtWWsWEsWsWtWsWtWWsWEsWsWtWWsWEtWsWEtXsXEtsRX2222222222220020200,+=+=+=()由于是Wiener过程,所以是独立增量过程,所以()0,ttW()()()()()()()()()()()()()stssWtWEWsWEsWtWWsWE=22222200()()()()()()()()()()()()00022=sWtWEWsWEsWtWWsWE()()()()()sWEsWWsWE4220=()()222tssWetf=,所以根据性质1.3.6(第9页),有因为()()()244)(44301sfjsWEsW=所以,()()()24424242422233,sstssstsststsRX+=+=+=类似的,当时,有ts()2442,tsttsRX+=()()01=ttWEtXEtX
(2)()()()tstssttWsWstEttWssWEtXsXEtsRX,min1,1min1111,22=()()()021=tcWcEtXEtX(3)假设st()()()()()()()()()()()()()()()()()()()ssccscWEcscWtcWcWscWEcscWscWtcWscWEctcWscWEctcWcscWcEtXsXEtsRX2222222222222222222221210,=+=+=所以()tstsRX,min,2=()()()()0=ttWtWEtXEtX(4)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()tssttstWsWEsttstWsWstEtWsWsEtWsWtEtWsWEttWtWssWsWEtXsXEtsRX,min11,2+=+=+=()tN9.设某电报局接受的电报数组成Poisson流,平均每小时接到3次电报。
求:
(1)一上午(8点到12点)没有接到电报的概率;
(2)下午第一个电报的到达时间的分布。
解.
(1)由于是Poisson流,满足()tN()()()0,!
33=+tentnsNtsNPtn所以一上午(8点到12点)没有接到电报的概率等于()()()12430!
0430848=+eeNNP
(2)类似的,用表示下午第一个电报的到达时间。
那么的分布为(定理2.6.3,第41页)1T1T()()tTetNPtTPtTPtF31110111=10.设和分别为强度为()0,1ttN()0,2ttN21和的独立的Poisson过程。
令,求()()()0,21=ttNtNtX()0,ttX的均值函数和相关函数。
解.容易知道,的均值函数为()0,ttX()()()()021=tNtNEtXEtX()0,ttX的相关函数为()()()()()()()()()()()()()()()()()tNsNEtNsNEtNsNEtNsNEtNtNsNsNEtXsXEtsRX221221112121,+=根据定理2.6.1(第40页),有()()()()tssttsRtNsNEN,min,121111+=()()()()tssttstNsNEN,min,222222+=因为和相互独立,所以()0,1ttN()0,2ttN()()()()sttstNsNENN212121=()()sttNsNE2112=因此()()()()()()()tsststtssttsRX,min2,min,2122121212221+=+=习题三()+=tatXcos)(TttX),(1设随机过程,其中,a定义为为常数,()2,0上的均匀分布,服从()()statsRX=cos2),(2
(1)证明
(2)求()tX解.
(1)()()()()()()()()()()()()tsadrrtsatsatsEatsEatasaEtXsXEtsRX=+=+=+=cos2212cos2cos22cos2cos2coscos,2202222
(2)后先,()()()()()sinsincoscoscos)(tatatatX=+=根据性质3.3.3(第57页),()()()()()+=tatatatXsinsincoscossin)(2.设均方可微,是普通的可微函数,则均方可微,且有)(tX)(tf)()(tXtf)()()()()()(tXtftXtftXtf+=证明。
根据随机变量可微的定义3.3.1(第54页),只需证明()()()()()0)()()()(+tXtftXtfttXtfttXttfas0t因为,()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(tXttXttXtftXttXtfttXtfttfttftXtfttXtfttXtftXttXtfttXtftttXtfttXttftXtfttXtfttXtftXtftttXtfttXttftXtftXtfttXtfttXtfttXtfttXttftXtftXtfttXtfttXttf+=+由于均方可微,是普通的可微函数,所以()tX()tf()()()()0)(,0)(+tXttXttXtfttfttf当0t()tX另外,由定理3.3.1(第54页),均方可微推出均方连续,所以()tX()()0+tXttX当。
0t综上所述,我们有()()()()()0)()()()(+tXtftXtfttXtfttXttf0t当。
所以,根据定义,)()()()()()(tXtftXtftXtf+=习题四()(),ttY()=eRY11设宽平稳过程的自相关函数为,对满足随机微分方程()(),ttX()()()tYtXtX=+的宽平稳过程,X
(1)求的均值函数、自相关函数和功率谱密度;X和Y的互相关函数和互功率谱密度。
(2)求0,1,1,1=DCBA解.由题意可知,所以脉冲相应函数为()0,=teBCethtAtYtYYXmdtemdtthmtm=0)()((定理4.4.2,第83页)()YS,由维纳-辛钦公式(定理4.3.1,第76页)知下面我们先求()()212+=deedeRSjjYY另外,脉冲相应函数的Fourier变换为()th()()+=0211jdteedtethHtjttj,()2211+=H所以。
根据定理4.4.2(第83页),我们有()()()()22212+=YXSHS所以,根据定理4.3.2(第76页),()()()?
12212122=+=dedeSRiiXXX和Y的互功率谱密度为(定理4.4.3,第84页)()()()()()22221121211+=+=jjSHSYYXX和Y的互相关函数为()()()()()()()=00*dseedssRshdssRshRhRssYYYYX时,当0()()()230+=+=eedseedseeRssssYX时,当0()()20edseeRssYX=因此,我们有()+=020,23eeeRYX15.已知平稳过程(参数连续)的谱密度()=其它0,baSX
(1)()()002,2=aaabSX其它
(2)(),(,1222为正数kknkkkXS=+=(3)解.
(1)根据定理4.3.2(第76页),()()()()()babjjaeejaejadaedeSRjbjbbbjbbjjXXsinsin21212122121=平均功率为()()()()abbbabbaRRXX=sinlimsinlimlim0000
(2)()()()()()()()()()aabaajjbeeeejbdebdebdeSRajjajaajaajaajjXXsin1cos2sin2sin2212212121222222222=+=+=()()()()()()()()2202001cos2sinlimsin1cos2limlim0abaaaabaabRRXX=(3)()()()()=+=+=nkkknkkjkkkknkjkkjXXkkkedededeSR121221222211/212121()()=nkkknkkkXXkeRR121200221limlim0()h是平稳过程(即平稳过程具有平稳增量),并求Y的谱函数。
解.显然,()()()0=+=tXhtXEtYE()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()hRhRRRhRhRRtXtXEhtXtXEtXhtXEhtXhtXEtXhtXtXhtXEtYtYERXXXXXXXYY+=+=+=+=+=)2根据定义4.1.2(第71页),Y是平稳过程。
根据定理4.3.2(第76页),()()()()()()()()()()XXhjhjjtXjtXjtXjtYYShSeedtehtRdtehtRdtetRdtetRScos1222=+=22.设是白噪声序列,试证明L,2,1,0,=nXn111+=mnnnnXXXmYL是平稳时间序列,并求其相关函数及谱密度。
L,2,1,0,=nXn解.由于是白噪声序列,所以L,2,1,0,0=nXEn()=+0001,llXXElnnRlnnX由上面两式可得,0111=+=+mnnnnXXXmEYEL()()()22111111111,mlmmlnnmXXXmXXXmEYYElnnRmlnlnlnmnnnlnnY=+=+=+LL根据定义4.1.2(第71页),是平稳过程。
nY()()=kjkkjkYemkmekRS226.设Y是均方二次可导的平稳过程,X是均方连续的平稳过程,且满足:
()()()()tXtYtYtY=+20X的谱函数表示Y的谱函数及X与Y的互谱函数试用解。
令。
则1YY=()tXYYYYY+=20111,即=+=11201011010YYYXYYYY所以0,01,10,1020=DCBA,()0,1010exp0120=tBCethAt()()=dtethHtj,()()()XYSHS2=,()()()()()()()=deSHRHRHSiXXXY2()()()+=,costtAtX30设,其中,是常数,是相互独立的随机变量,且服从区间,A()2,0X上的均匀分布,试研究的均值函数的各态历经性。
()()()(),0coscos=+=+=tEAEtAEtXEtmX解.容易验证,()()()()()()()()()()cos21coscoscoscos22AEttEAEtAtAEtXtXERX=+=+=+=下面我们验证均值遍历性(定理4.6.1,第93页):
()()()()=TTTTTTTXTdTAEdTAEdAETTdmRTT2022202202202cos4limcos2limcos21211lim211lim容易验证,()()()()0lim212sinlimsin2limcos2lim222002202=TAETTAETAEdTAETTTTTT()()()()=TTTTTTTdTAEdTAEdTAE202022200222022sinsin4limsin4limcos4lim所以,()()()()0sin4lim2limsin4lim4sin2limcos4lim2022022022222022=+=+TTTTTTTTdTAETAEdTAETTAEdTAE所以均值具有遍历性。
习题五2.是随机差分方程L,2,1,=nXnnnnIXX+=1的解,其中是已知常数,而L,2,1,=nIn00=X是独立同分布的取可数值的随机变量。
试证明是马氏链。
L,2,1,=nXn证明.容易证得:
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnijIPXiXiXiXijIPXiXiXiXijXXPXiXiXiXjXP=+10111110111110111110,|0,|0,|LLL类似的,nnnnnnnnnnijIPiXijXXPiXjXP=+111|所以nnnnnnnniXjXPXiXiXiXjXP=+|0,|1011111L,即是马氏链。
L,2,1,=nXnL,1,0,=nXn3.有两个状态0和1的马氏链,其状态转移概率矩阵为=pqqpP其中。
试征:
1=+qp
(1)n阶状态转移概率矩阵为()()()()()+=nnnnnqpqpqpqpP111121=10XP1|110=XXP
(2)设,求证明:
(1)首先,根据C-K方程(推论5.2.1,第105页),。
下面我们用数学归纳法证明式
(1)成立。
()L,2,1,=nPPnn当时,1=n()()()()()PpqqpqpqpqpqpP=+=11111111121假设当时,kn=()()()()()+=kkkkkqpqpqpqpP111121成立,则当时,根据C-K方程,1+=kn()()()()()(),21111121222112111=+=+pqqpqpqpqpqpPPPkkkkkk其中,()()()()()()()()()()()()()()()().1,1,1,11122112111121111+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=kkkkkkkkkkkkkkkkqpqpqpqpppqpqqqpqpqpqpqqqpppqpqpqpqpppqpqqqpqpqpqpqqqppp所以()()()()()+=+11111111121kkkkkqpqpqpqpP。
由此可知,()()()()()+=nnnnnqpqpqpqpP111121
(2)首先,()()()qpqqpppXPXXPXPXXPXXPXXPXXPXXPXP+=+=+=+=+=+=1100|111|11,01,11,01,110111001001101010101所以,()qpqpXPXPpXPXPXXPXPXXPXXP+=11111|111,11|110111001110105.设一个有三个状态的马氏链,其状态转移概率矩阵为=332110002pqqpqpP()201f。
3,2,1,1=+iqpii其中。
试求首达概率和)2(00f解.根据定义5.3.1(第108页),有()00002200110020,20010,1002,001,000,03120021001011201120101201012012012012200=+=+=+=+=+=qqppppXXPXXPXXPXXPXXPXXXPXXPXXXPXXXPXXXPXXXPf类似的,()11112102010020100qpqpppppf=+=+=3,2,1,0=S6.设状态为的马氏链的转移概率矩阵为=4/14/14/14/14/14/14/14/103/13/13/1002/12/1P试对状态进行分类3,2,1,0=S解.显然,102132,即状态是互通的。
所以只有一个类。
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