动力学复习.pdf
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1动力学复习课29999动量定理小结动量定理小结动量定理小结动量定理小结11、质点系的动量、质点系的动量、质点系的动量、质点系的动量:
iimvprr=Cmvprr=-刚体系刚体系刚体系刚体系的动量的动量的动量的动量=iCivmprrFprr=tddeIpprrr=1222、质点系动量定理、质点系动量定理、质点系动量定理、质点系动量定理:
Farr=CmFarr=iCim-质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理强调:
用动量定理解题总以系统为研究对象强调:
用动量定理解题总以系统为研究对象强调:
用动量定理解题总以系统为研究对象强调:
用动量定理解题总以系统为研究对象31111、动量矩定义与计算、动量矩定义与计算、动量矩定义与计算、动量矩定义与计算vrvLmmA=)(iiiAmvrL=,0=CLvLmACA=zzJL=,PPJL=,CJLC=)(CBBmvMJL+=C质点质点质点质点质点系质点系质点系质点系平动刚体平动刚体平动刚体平动刚体定轴转动刚体定轴转动刚体定轴转动刚体定轴转动刚体平面运动刚体平面运动刚体平面运动刚体平面运动刚体10101010动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理小结小结小结小结4平行轴定理:
平行轴定理:
平行轴定理:
平行轴定理:
2mdJJCA+=细杆细杆细杆细杆,1212mlJC=圆板圆板圆板圆板,212mRJz=圆环圆环圆环圆环2mRJz=CJJCCddJJAA刚体对任一轴的转动惯量等于它对过质心的平行轴的转动惯量加上刚体质量与二轴间距离平方的乘积。
刚体对任一轴的转动惯量等于它对过质心的平行轴的转动惯量加上刚体质量与二轴间距离平方的乘积。
2222、转动惯量的、转动惯量的、转动惯量的、转动惯量的定义与计算定义与计算定义与计算定义与计算5=CCCyCxMJYmaXma平面运动微分方程平面运动微分方程平面运动微分方程平面运动微分方程OOMJ=定轴转动微分方程定轴转动微分方程定轴转动微分方程定轴转动微分方程可求解两类问题可求解两类问题:
1111、已知运动,求力。
、已知运动,求力。
、已知运动,求力。
、已知运动,求力。
22、已知力,求运动。
、已知力,求运动。
、已知力,求运动。
、已知力,求运动。
OOML=dtd3333、质点系对质点系对质点系对质点系对定点定点定点定点的动量矩定理的动量矩定理的动量矩定理的动量矩定理CCMLdtd=4444、质点系对质点系对质点系对质点系对质心质心质心质心的动量矩定理的动量矩定理的动量矩定理的动量矩定理6刚体平面运动和定轴转动注意几个问题刚体平面运动和定轴转动注意几个问题刚体平面运动和定轴转动注意几个问题刚体平面运动和定轴转动注意几个问题11、刚体平面运动矩心只能是质心,定轴转动转轴中心、刚体平面运动矩心只能是质心,定轴转动转轴中心、刚体平面运动矩心只能是质心,定轴转动转轴中心、刚体平面运动矩心只能是质心,定轴转动转轴中心33、一般需要列补充方程。
(运动学关系或摩擦力方程)、一般需要列补充方程。
(运动学关系或摩擦力方程)、一般需要列补充方程。
(运动学关系或摩擦力方程)、一般需要列补充方程。
(运动学关系或摩擦力方程)22、一个研究对象最多能列、一个研究对象最多能列、一个研究对象最多能列、一个研究对象最多能列33个独立的方程。
个独立的方程。
个独立的方程。
个独立的方程。
44、刚体组成的系统一般要分别研究每一个刚体的受力和运动。
、刚体组成的系统一般要分别研究每一个刚体的受力和运动。
、刚体组成的系统一般要分别研究每一个刚体的受力和运动。
、刚体组成的系统一般要分别研究每一个刚体的受力和运动。
()=OOCCCyCxMJMJYmaXma71111)几种常见力的功)几种常见力的功)几种常见力的功)几种常见力的功mghW=重力的功重力的功重力的功重力的功弹性力的功弹性力的功弹性力的功弹性力的功)(212221=kW定轴转动刚体上力的功定轴转动刚体上力的功定轴转动刚体上力的功定轴转动刚体上力的功zMW=作用在平面运动刚体上力的功作用在平面运动刚体上力的功作用在平面运动刚体上力的功等于力向质心简化所得的力和力偶作功之和。
作用在平面运动刚体上力的功等于力向质心简化所得的力和力偶作功之和。
11111111动能定理动能定理动能定理动能定理小结小结小结小结1111、功的计算、功的计算、功的计算、功的计算822)内力的功内力的功内力的功内力的功一般情况下一般情况下一般情况下一般情况下:
0内W刚体:
刚体:
刚体:
刚体:
0=内W不可伸长的绳索:
不可伸长的绳索:
不可伸长的绳索:
不可伸长的绳索:
0=内W93333)常见约束力的功)常见约束力的功)常见约束力的功)常见约束力的功绳索拉力:
绳索拉力:
绳索拉力:
绳索拉力:
光滑接触面:
光滑接触面:
光滑接触面:
光滑接触面:
固定铰支座固定铰支座固定铰支座固定铰支座或或或或销子:
销子:
销子:
销子:
光滑铰支座:
光滑铰支座:
光滑铰支座:
光滑铰支座:
0=W摩擦力:
摩擦力:
摩擦力:
摩擦力:
FFssFFdd滚动阻力偶:
滚动阻力偶:
滚动阻力偶:
滚动阻力偶:
不作功不作功不作功不作功作负功作负功作负功作负功作负功作负功作负功作负功理想约束理想约束理想约束理想约束:
0=约束力W纯滚动,摩擦力不作功。
纯滚动,摩擦力不作功。
纯滚动,摩擦力不作功。
纯滚动,摩擦力不作功。
FFssFFNN102222、动能、动能、动能、动能11)平动平动平动平动221mvT=22)定轴转动定轴转动定轴转动定轴转动221OJT=33)平面运动刚体平面运动刚体平面运动刚体平面运动刚体221PJT=222121CCJmvT+=3333、动能定理:
、动能定理:
、动能定理:
、动能定理:
=主WTT12EVT=+(保守系统)(保守系统)(保守系统)(保守系统)机械能守恒:
机械能守恒:
机械能守恒:
机械能守恒:
111、求图示各均质物体的动量。
设各物体质量为1、求图示各均质物体的动量。
设各物体质量为m。
a)b)c)d)解:
解:
解:
解:
aa)p=p=mvmvCCbb)p=p=mvmvCC2lm=RCROvcOlCABcc)p=p=mvmvCCdd)p=p=mvmvCCcos2cos22mvlvlmlm=vc=mRmR=00lCvcPv一、一、动量、动量矩、转动惯量动量、动量矩、转动惯量动量、动量矩、转动惯量动量、动量矩、转动惯量JJ、动能的计算、动能的计算、动能的计算、动能的计算122、求各均质物体的动量矩。
设各物体质量为求各均质物体的动量矩。
设各物体质量为求各均质物体的动量矩。
设各物体质量为求各均质物体的动量矩。
设各物体质量为mm,半径为半径为半径为半径为RR。
eooCvCCa)b)c)【解】【解】【解】【解】a)OOJL=+=2221memRPPc)纯滚纯滚纯滚纯滚PPJL=OO)(COOmvMJL+=C221mR=b)OOJL=()2meJC+=()CCCmRvRvmRJ232=+=CCCmRvmRv)Rv(mR23212=+=1333、图示各匀质构件的质量为图示各匀质构件的质量为图示各匀质构件的质量为图示各匀质构件的质量为mm,求其动能。
求其动能。
求其动能。
求其动能。
rOCrCvCPO0.30.3ll0.70.7llABCa)b)c)解:
解:
解:
解:
a)221OJT=222)21(21mrmr+=2243mr=222121CCJmvT+=或b)221OJT=222)2.0(12121+=lmml2206.0ml=c)221PJT=222)(21+=rvmrmrC2Cmv=222)(2121+=rvmrmvCC2Cmv=14p11)动量)动量)动量)动量p=p=mvmvCC632lmllm=22291611212mlmmlJLOO=+=)动量矩(222181213mlJTO=)动能(4、求杆、求杆动量、动量矩和动能动量、动量矩和动能动量、动量矩和动能动量、动量矩和动能1555、杆、杆、杆、杆ABAB,已知,已知,已知,已知,求,求,求,求质点系动量主矢及对质点系动量主矢及对质点系动量主矢及对质点系动量主矢及对AA、CC点的主矩。
点的主矩。
点的主矩。
点的主矩。
CCJL=AAJL=2121ml=231ml=,21mlp=a),21mlp=b)16l2OABll2OABll26、均质直角折杆尺寸如图,其质量为、均质直角折杆尺寸如图,其质量为3m,求其对轴,求其对轴O的转动惯量。
的转动惯量。
解:
ABOAOJJJ+=OABll2222)2)(2()2)(2(12131lmlmml+=25ml=2223)2)(2(3131mllmmlJO=+=22223)2()2)(2(12131mllmlmmlJO=+=171、单刚体的问题(突然解除约束问题)、单刚体的问题(突然解除约束问题)=0CCyCyxCxMJFmaFma一般不用动能定理,用刚体动力学方程求解。
一般不用动能定理,用刚体动力学方程求解。
二、动力学普遍定理的应用二、动力学普遍定理的应用二、动力学普遍定理的应用二、动力学普遍定理的应用有时需要补充运动学方程。
有时需要补充运动学方程。
18解解解解:
OOMJ=2312lmgml=lg23=02/,2=lmFFmaXmaOxOxnCCx,4mgFOy=OAFOxCamgFOy杆杆杆杆OAOA绳断瞬间,绳断瞬间,绳断瞬间,绳断瞬间,OAOA杆定轴转动杆定轴转动杆定轴转动杆定轴转动OytCCyFmglmmaYma=2/,11、匀质杆匀质杆匀质杆匀质杆OAOA长长长长ll、质量为、质量为、质量为、质量为mm,AA端用细绳悬挂,置于铅垂面内。
试求端用细绳悬挂,置于铅垂面内。
试求端用细绳悬挂,置于铅垂面内。
试求端用细绳悬挂,置于铅垂面内。
试求将细绳突然剪断瞬时,将细绳突然剪断瞬时,将细绳突然剪断瞬时,将细绳突然剪断瞬时,OAOA的角加速度,铰链的角加速度,铰链的角加速度,铰链的角加速度,铰链OO的约束力。
的约束力。
的约束力。
的约束力。
192杆杆AB,m,l,图示位置无初速释放,求该瞬时,图示位置无初速释放,求该瞬时A点反力。
点反力。
,AAMJ=2312lmgml=lg23=,=XmaCx0=AxF,=YmaCy,AyCFmgma=2laC=mgmgmgmamgFCAy4143=【解】【解】204已知偏心轮为均质圆盘,位于铅垂面内。
质心在点已知偏心轮为均质圆盘,位于铅垂面内。
质心在点C,质量,质量m,半径,半径R,偏心距,偏心距OC=R/2。
求圆盘在图示位置无初速释放瞬时的角加速度及轴承。
求圆盘在图示位置无初速释放瞬时的角加速度及轴承O处的约束力。
处的约束力。
02245sin2221=+RmgRmmRmgRmR42432=Rg32=OxCFma=045cos63242222mgRgmRRmFOx=OyCFmgma=045sinmgRgmRmgRmmgFOy653242222=【解】【解】,OOMJ=,=XmaCx,=YmaCy211010-55已知:
已知:
已知:
已知:
mm=4kg4kg,R=R=200mm200mm,OCOC=e=e=150mm,150mm,=30=3000无初速无初速无初速无初速释放。
释放。
释放。
释放。
求此时求此时求此时求此时和和和和FFoxox、FFOyOy。
FFOyOyFFOxOx=,xxFma,OxtFma=cos=,yyFma,mgFmaOyt=sinN99.8=OxF,0=na=OCattamg2srad29.17=,OOMJ=sin2122mgememR=+N01.34=OyF解:
匀质圆柱解:
匀质圆柱解:
匀质圆柱解:
匀质圆柱223、多刚体问题(一个自由度)既求运动又求约束力。
、多刚体问题(一个自由度)既求运动又求约束力。
一定用动能定理求运动一阶量,如果系统是任意位置,可求导求一定用动能定理求运动一阶量,如果系统是任意位置,可求导求2阶量,然后利用刚体动力学方程求约束力阶量,然后利用刚体动力学方程求约束力动能定理:
动能定理:
动能定理:
动能定理:
=主WTT12=0CCyCyxCxMJFmaFma平面运动动力学方程平面运动动力学方程平面运动动力学方程平面运动动力学方程:
23卷扬机。
鼓轮在常力偶卷扬机。
鼓轮在常力偶卷扬机。
鼓轮在常力偶卷扬机。
鼓轮在常力偶MM的的的的作用下将圆柱沿斜坡上拉。
已知作用下将圆柱沿斜坡上拉。
已知作用下将圆柱沿斜坡上拉。
已知作用下将圆柱沿斜坡上拉。
已知鼓轮鼓轮鼓轮鼓轮RR11,mm11,质量分布在轮缘,质量分布在轮缘,质量分布在轮缘,质量分布在轮缘上;均质圆柱上;均质圆柱上;均质圆柱上;均质圆柱RR22,mm22。
设斜坡的。
设斜坡的。
设斜坡的。
设斜坡的倾角为倾角为倾角为倾角为,圆柱只滚不滑。
系统圆柱只滚不滑。
系统圆柱只滚不滑。
系统圆柱只滚不滑。
系统从静止开始运动,试求:
从静止开始运动,试求:
从静止开始运动,试求:
从静止开始运动,试求:
11)求圆柱中心)求圆柱中心)求圆柱中心)求圆柱中心CC经过路程经过路程经过路程经过路程ss时时时时的速度和加速度。
的速度和加速度。
的速度和加速度。
的速度和加速度。
22)支座)支座)支座)支座OO的约束力。
的约束力。
的约束力。
的约束力。
33)地面对轮)地面对轮)地面对轮)地面对轮CC的摩擦力。
的摩擦力。
的摩擦力。
的摩擦力。
OOMMDDCC24m2gvvCCOOMMCCDD11221212WTT=222221121212121,0cCJvmJTT+=222221121212121,0cCJvmJTT+=222211121,RmJRmJC=222211121,RmJRmJC=,11RvC=,11RvC=22RvC=22RvC=)32(42122mmvTC+=)32(42122mmvTC+=由动能定理由动能定理由动能定理由动能定理=+0)32(4212mmvC=+0)32(4212mmvCsgmRMsin21sgmRMsin21,sgmMW=sin212,sgmMW=sin212【解】以整体为对象【解】以整体为对象【解】以整体为对象【解】以整体为对象mm11gg1Rs=1Rs=25)32()sin(221112mmRsgRmMvC+=)32()sin(221112mmRsgRmMvC+=?
例题例题例题例题
(1)
(1)
(1)对时间取导对时间取导对时间取导对时间取导,m2gvvCCOOMMCCDD1122mm11ggCCCCvgmRvMavmmsin)32(212121=+12112)32()sin(2RmmRgmMaC+=+0)32(4212mmvC=+0)32(4212mmvCsgmRMsin21sgmRMsin2126?
例题例题例题例题11mm11ggFFFFOyOyFFOxOx22)求求求求FFOxOx、FFOyOy轮轮轮轮OO:
11RaC=,OOMJ=,=xCxFma,=yCyFma,11211RFMRm=,cos0FFOx=OxFF,sin01FgmFOy=OyF27?
例题例题例题例题33)求求求求FFNN、FFSS轮轮轮轮CC:
RaC=2,CCMJ=,=xCxFma,=yCyFmam2gaaCC22FFFFSSFFNN,2122222RFRmS=,sin2mgFFamSC+=,cos01gmFN=FsFNF28222221221212121CBBAAAvmJJvmT+=222221221212121CBBAAAvmJJvmT+=【解【解【解【解1111】以整体为对象以整体为对象以整体为对象以整体为对象,21,212121rmJrmJBA=,21,212121rmJrmJBA=BAACrrvv=BAACrrvv=,2122212ArmmT+=,2122212ArmmT+=mm22ggvvCCBBAAvvAA1111-2424匀质滚子匀质滚子匀质滚子匀质滚子AA:
mm11,rr,沿斜面,沿斜面,沿斜面,沿斜面向下滚,匀质轮向下滚,匀质轮向下滚,匀质轮向下滚,匀质轮BB:
mm11,rr,重物,重物,重物,重物CC:
mm22。
求求求求滚子滚子滚子滚子AA的的的的AA及所受的约束力。
及所受的约束力。
及所受的约束力。
及所受的约束力。
mm11gggsmgsmW2112sin=gsmgsmrmmA212221sin0)21(=+动能定理:
动能定理:
动能定理:
动能定理:
ss29对对对对tt求导,求导,求导,求导,,rFJSAA=ATrmgmF1123sin=sin,sin011gmFgmFNN=求滚子求滚子求滚子求滚子AA所受的所受的所受的所受的约束力约束力约束力约束力:
FFSSFFNNgsmgsmrmmA212221sin0)21(=+AAra=AAAAvgmvgmrmm=+21221sin2)21(gmgmrmmA2121sin)2(=+rmmgmgmA)2(sin2121+=滚子滚子滚子滚子AA:
AAaaAAmm11ggFFTTAA,sin11STAFFgmam=ASmF121=30匀质圆盘和滑块的质量均为匀质圆盘和滑块的质量均为匀质圆盘和滑块的质量均为匀质圆盘和滑块的质量均为mm。
圆盘的半径为。
圆盘的半径为。
圆盘的半径为。
圆盘的半径为rr。
杆平行。
杆平行。
杆平行。
杆平行于斜面,其质量不计。
斜面的倾斜角为于斜面,其质量不计。
斜面的倾斜角为于斜面,其质量不计。
斜面的倾斜角为于斜面,其质量不计。
斜面的倾斜角为。
圆盘、滑块与斜。
圆盘、滑块与斜。
圆盘、滑块与斜。
圆盘、滑块与斜面的摩擦因数均为面的摩擦因数均为面的摩擦因数均为面的摩擦因数均为。
圆盘在斜面上作无滑动的滚动。
试求。
圆盘在斜面上作无滑动的滚动。
试求。
圆盘在斜面上作无滑动的滚动。
试求。
圆盘在斜面上作无滑动的滚动。
试求滑块下滑加速度和杆的内力。
滑块下滑加速度和杆的内力。
滑块下滑加速度和杆的内力。
滑块下滑加速度和杆的内力。
?
例题例题例题例题311212WTT=01=T01=T2222212121mvJmvTA+=221,mrJvrA=【解】以整体为对象【解】以整体为对象【解】以整体为对象【解】以整体为对象vvscosmgFB=2245mvT=对对t取导取导avvs=&,sFmgsmgsWB+=sinsin12()cossin212=mgsW()cossin2452=gsv()cossin252=ga32对物对物对物对物BB:
cossinmgmgFmaT+=()mgFTsincos351=NAAFF=?
例题例题例题例题或对轮或对轮或对轮或对轮AA:
ATFmgFma+=sin,AAMJ=,212rFmrA=ra=()mgFTsincos351=33图示机构,已知:
物块图示机构,已知:
物块图示机构,已知:
物块图示机构,已知:
物块AA的质量是的质量是的质量是的质量是mm11,鼓轮,鼓轮,鼓轮,鼓轮BB由半径分别为由半径分别为由半径分别为由半径分别为RR和和和和rr的大轮和小的大轮和小的大轮和小的大轮和小轮固连而成,质量是轮固连而成,质量是轮固连而成,质量是轮固连而成,质量是mm22,对其中心轴的回转半径是,对其中心轴的回转半径是,对其中心轴的回转半径是,对其中心轴的回转半径是。
匀质轮。
匀质轮。
匀质轮。
匀质轮CC作纯滚动,作纯滚动,作纯滚动,作纯滚动,半径半径半径半径rr,质量,质量,质量,质量m3m3,绳,绳,绳,绳CECE段水平,系统从静止开始运动。
求(段水平,系统从静止开始运动。
求(段水平,系统从静止开始运动。
求(段水平,系统从静止开始运动。
求(11)物块)物块)物块)物块AA下落下落下落下落ss距离时的速度和加速度。
(距离时的速度和加速度。
(距离时的速度和加速度。
(距离时的速度和加速度。
(22)绳)绳)绳)绳ADAD、CECE段的张力段的张力段的张力段的张力F1F1、F2F2(用表示)。
(用表示)。
(用表示)。
(用表示)。
,1212WTT=gsmJJvmCPBBA122210212121=+解(解
(1),22mJB=232321rmrmJP+=,BARv=RvAB=RvAC=sgmvRrmRmmA=+122232221)1231(21AAAvgmavmRrmRm=+132222212)23(213222221123mRrmRmgmaA+=对t求导,111TgmamA=AamgmT111=,BBBMJ=rTRTmB2122=RamRamgmrmRTrTAAB22112212)
(1)(1
(2)物块A:
鼓轮B:
34已知:
物块已知:
物块A质量质量m1,匀质轮,匀质轮B质量质量m2,作纯滚动的匀质轮质量,作纯滚动的匀质轮质量33,半径均为,斜面的倾角=30,半径均为,斜面的倾角=3000,轮,轮B上作用力偶矩为上作用力偶矩为M的常力偶,绳的倾斜段与斜面平行。
求:
(的常力偶,绳的倾斜段与斜面平行。
求:
(1)物块)物块A由静止下降距离由静止下降距离s时的速度和加速度;(时的速度和加速度;
(2)斜面与轮)斜面与轮C间的摩擦力。
间的摩擦力。
35起重卷筒直径起重卷筒直径d=600mm,卷筒对转轴,卷筒对转轴O的转动惯量的转动惯量J=0.05kg.m2,被提升重物的质量,被提升重物的质量m=40kg。
设卷筒受到的主动转矩。
设卷筒受到的主动转矩M=200N.m。
求重物上升的加速度。
求重物上升的加速度a和绳索的拉力和绳索的拉力T。
36动静法解题关键是施加惯性力系。
动静法解题关键是施加惯性力系。
施加惯性力的关键要明确刚体做什么运动,正确分析质心的加速度和刚体的角加速度。
施加惯性力的关键要明确刚体做什么运动,正确分析质心的加速度和刚体的角加速度。
惯性力方向与对应的加速度(或角加速度)方向相反。
惯性力方向与对应的加速度(或角加速度)方向相反。
强调几点:
强调几点:
强调几点:
强调几点:
33、惯性力系的简化、惯性力系的简化、惯性力系的简化、惯性力系的简化372mlmaFnCIn=11平行四边形,平行四边形,平行四边形,平行四边形,AC=AC=ll,ABAB的惯性力简化结果的惯性力简化结果的惯性力简化结果的惯性力简化结果。
图示方向。
图示方向。
图示方向。
图示方向。
IFAaInFnAaCmlmaFCI=杆杆杆杆ABAB平动平动平动平动2laanAnC=laaAC=CanCa、向转轴简化、向转轴简化、向转轴简化、向转轴简化、向质心简化、向质心简化、向质心简化、向质心简化ABABCJtCmanCmaCtCmanCmaAJ231mlJMAIA=2121mlJMCIC=221,21mlFmlFInIt=22均质杆均质杆l,m,求惯性力向质心,求惯性力向质心C和转轴和转轴A简化。
简化。
图示方向。
图示方向。
图示方向。
图示方向。
22121lalanCtC=221,21mlFmlFInIt=3933直角形刚性杆直角形刚性杆直角形刚性杆直角形刚性杆OABOAB中均质杆中均质杆中均质杆中均质杆ABAB的质量为的质量为的质量为的质量为mm,OAOA的质量不计,的质量不计,的质量不计,的质量不计,ABAB=2=2RR,OAOA=RR。
图示瞬时绕。
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图示瞬时绕OO轴转动的角速度为轴转动的角速度为轴转动的角速度为轴转动的角速度为,角加速度为,角加速度为,角加速度为,角加速度为,ABAB的惯性力系向的惯性力系向的惯性力系向的惯性力系向OO点简化的结果点简化的结果点简化的结果点简化的结果。
图示方向。
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mRFIt2=IOMtCaInFItFnCa()()2223722121mRRmRmJMOIO=+=22mRFIn=C惯性力作用在惯性力作用在惯性力作用在惯性力作用在O点点点点杆杆杆杆ABAB定轴转动定轴转动定轴转动定轴转动222RaRanCtC=,
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