数理方程与特殊函数复习课.pdf
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数理方程与特殊函数复习课课程内容概述第一章一些典型方程和定解条件的推导第二章分离变量法第三章行波法与积分法第四章拉普拉斯方程的格林函数法第五章贝塞尔函数第六章勒让德多项式第一章一些典型方程和定解条件的推导数学物理方程的导出步骤数学物理方程的类型定解条件适定问题及叠加原理数学物理方程的导出步骤确定所研究的物理量用数学中的“微元法”从所研究的系统中分割出一小部分,再根据相应的物理规律分析邻近部分与该部分的作用(抓主要作用),这种相互作用在一个短的时间间隔内如何影响物理量。
把这种关系用微分方程表达出来,经过化简整理,得到数学物理方程。
三种类型的数理方程波动方程(双曲型)波动方程(双曲型)描述描述振动过程振动过程,关于连续介质(,关于连续介质(弦、杆、膜、弦、杆、膜、气体气体等)的振动问题,以及关于等)的振动问题,以及关于电磁振荡电磁振荡等等问题。
问题。
一维一维二维二维三维三维22222uuatx222222222()uuuuatxyz2222222()uuuatxy三种类型的数理方程热传导方程(抛物型)热传导方程(抛物型)描述描述输运过程输运过程,研究,研究热传导、扩散、电介质内热传导、扩散、电介质内电磁场电磁场的传播,的传播,粘性液体流动粘性液体流动等问题。
等问题。
一维一维二维二维三维三维222uuatx2222222()uuuuatxyz22222()uuuatxy三种类型的数理方程稳定场方程(椭圆型方程)稳定场方程(椭圆型方程)描述描述稳恒过程稳恒过程,即不随时间变化的过程,如,即不随时间变化的过程,如固固定的电场、磁场、稳定的热场定的电场、磁场、稳定的热场等问题。
等问题。
二维二维三维三维2222220uuuxyz22220uuxy定解条件初始条件初始条件对于不同类型的方程初始条件的不同对于不同类型的方程初始条件的不同边界条件边界条件第一类第一类第二类第二类热传导问题波动问题边界条件的分类以以SS表示物体的边界,则有:
表示物体的边界,则有:
第一类边界条件第一类边界条件第二类边界条件第二类边界条件如果边界条件中的如果边界条件中的f=0f=0,则称其为齐次边界条件,否则,则称其为齐次边界条件,否则称为非齐次边界条件。
称为非齐次边界条件。
考试要求振动、扩散物理问题的方程及振动、扩散物理问题的方程及定解条件,能够写出定解问题。
定解条件,能够写出定解问题。
方程推导过程不考。
方程推导过程不考。
重点:
振动、扩散问题的边界重点:
振动、扩散问题的边界条件如何确定条件如何确定振动问题的边界条件振动问题的边界条件固定端固定端自由端自由端热传导问题的边界条件边界温度已知边界温度已知边界有热流流入(或绝热)边界有热流流入(或绝热)第一类问题第一类问题:
根据物理现象写出定解问题:
根据物理现象写出定解问题弦的横振动问题:
两个端点弦的横振动问题:
两个端点x0和和xa固定,初始时处固定,初始时处于静止,初始位移如下图所示,写出相应的定解问题。
于静止,初始位移如下图所示,写出相应的定解问题。
X0XaX1HHX2xu长为长为l的杆,侧面绝缘,两端均有热流流出,的杆,侧面绝缘,两端均有热流流出,x0端热流强度为端热流强度为,xl端热流强度为端热流强度为杆的初始温度分布为杆的初始温度分布为,写出相应的定解问题,写出相应的定解问题。
1()qt2()qt()xlxdQqdSdtudQkdSdtn01()xukqtx2()xlukqtx流入或流入或流出流出00端流出,端流出,温温度梯度梯度方向度方向为为正正l端流出,端流出,温温度度梯度方向梯度方向为负为负00端端l端端长为长为l的弦两端固定,开始时在的弦两端固定,开始时在x=cx=c受到冲量受到冲量kk的作的作用,求此问题的定解问题。
用,求此问题的定解问题。
0设有一长为设有一长为l的棒,表面绝热,包括它的两个端点(的棒,表面绝热,包括它的两个端点(xx00和和xxl),初始温度为),初始温度为f(x),写出此问题的定解问题。
),写出此问题的定解问题。
解此类题目的思路解此类题目的思路11、对给定的物理、力学问题,识别此问题的方程属于、对给定的物理、力学问题,识别此问题的方程属于哪一类(波动,热传导,拉普拉斯),写出方程,注哪一类(波动,热传导,拉普拉斯),写出方程,注意,方程中有没有自由项(外力作用)。
意,方程中有没有自由项(外力作用)。
22、根据问题所给的条件写出初始条件(波动问题:
初、根据问题所给的条件写出初始条件(波动问题:
初位移和初速度;热传导问题:
初始温度;拉普拉斯问位移和初速度;热传导问题:
初始温度;拉普拉斯问题:
无初始条件)和边界条件(一类边界:
固定端,题:
无初始条件)和边界条件(一类边界:
固定端,固定温度;二类边界:
自由端,热流流入或绝热)固定温度;二类边界:
自由端,热流流入或绝热)重点练习习题一习题一124124第二章第二章分离变量法(在有界域内分离变量法(在有界域内求解定解问题)求解定解问题)分离变量法的基本思想分离变量法的基本思想分离变量法的基本步骤分离变量法的基本步骤基本思想将定解问题的解表示成单变量函数将定解问题的解表示成单变量函数之积(变量分离),代入偏微分方程,之积(变量分离),代入偏微分方程,将方程降阶或化为带有参数的常微分将方程降阶或化为带有参数的常微分方程,使问题简化,达到求解目的。
方程,使问题简化,达到求解目的。
基本步骤把解写成由几个只包含一个自变量的函数的乘积把解写成由几个只包含一个自变量的函数的乘积的形式的形式把偏微分方程和边界条件化成几个常微分方程的把偏微分方程和边界条件化成几个常微分方程的边值问题边值问题求特征值问题,得到原来方程无穷多个满足边界求特征值问题,得到原来方程无穷多个满足边界条件且变量分离的特解条件且变量分离的特解把特解叠加得到无穷级数并利用初始条件决定其把特解叠加得到无穷级数并利用初始条件决定其中的系数。
中的系数。
(,)()()uxtXxTt分离变量法步骤图定解问题偏微分方程齐次边界条件初始条件变量分离常微分方程1常微分方程2条件特征值问题特征值解1解2解1解2所求解用Fourier级数确定叠加系数必须会一、一(一、一(00,ll),),一、二,一、二,二、一,二、一,二、二类边界条件的特征值和特征函数二、二类边界条件的特征值和特征函数上述边界条件下波动方程,热传导方程、二维拉氏问上述边界条件下波动方程,热传导方程、二维拉氏问题题(矩形域、扇形域、扇环域)的解的形式矩形域、扇形域、扇环域)的解的形式(注意:
二注意:
二二类解里多一个二类解里多一个uu00,00)圆域或者圆环域上的两维拉氏问题求解圆域或者圆环域上的两维拉氏问题求解解题时可以直接使用,不过要写出解题时可以直接使用,不过要写出“根据。
的根据。
的边界条件及分离变量法,可得:
边界条件及分离变量法,可得:
”应用分离变量法求解应用分离变量法求解一维波动一维波动一维热传导一维热传导二维矩形域拉普拉斯二维矩形域拉普拉斯二维扇形域拉普拉斯二维扇形域拉普拉斯二维环扇域拉普拉斯二维环扇域拉普拉斯二维圆环域拉普拉斯二维圆环域拉普拉斯二维圆域拉普拉斯二维圆域拉普拉斯利用齐次边界条件,利用齐次边界条件,确定特征值问题,确定特征值问题,确定特征值和特确定特征值和特征函数征函数利用周期条件,确定利用周期条件,确定特征值问题,特征特征值问题,特征值和特征函数值和特征函数一维振动,热传导方程对应的特征值问题,特征值,一维振动,热传导方程对应的特征值问题,特征值,特征函数系特征函数系方程边界条件特征值问题特征值特征函数系一维振动一维传导(0,)0(,)0utult(0,)0(,)0xutult(0,)0(,)0xutult(0,)0(,)0xxutult()()0(0)()0XxXxXXl()()0(0)()0XxXxXXl()()0(0)()0XxXxXXl()()0(0)()0XxXxXXl2()01,2,.nnln221()020,1,2,.nnln2()00,1,2,.nnln221()020,1,2,.nnln()sin1,2.nnXxxln21()sin20,1,2.nnXxxln21()cos20,1,2.nnXxxln()cos0,1,2.nnXxxln矩形域两维拉氏问题对应的特征值问题,特征值,矩形域两维拉氏问题对应的特征值问题,特征值,特征函数系特征函数系方程边界条件特征值问题特征值特征函数系空间两维拉氏问题(矩形域)(0,)(,)0(,0)()(,)()uyuayuxxuxbx(0,)(,)0(,0)()(,)()xuyuayuxxuxbx(0,)(,)0(,0)()(,)()xuyuayuxxuxbx()()0(0)()0XxXxXXa()()0(0)()0XxXxXXa()()0(0)()0XxXxXXa()()0(0)()0XxXxXXa2()01,2,.nnan221()020,1,2,.nnan2()00,1,2,.nnan221()020,1,2,.nnan()sin1,2.nnXxxan21()sin20,1,2.nnXxxan21()cos20,1,2.nnXxxan()cos0,1,2.nnXxxan00xayb(0,)(,)0(,0)()(,)()xxuyuayuxxuxbx两组边两组边界界条条件可件可对调对调圆圆/扇(环)域拉普拉斯边值问题的特征值、特征函数系扇(环)域拉普拉斯边值问题的特征值、特征函数系区域区域边界条件边界条件特征值问题特征值问题特征值特征值特征函数系特征函数系020002100000100()uf(,)(,2)uu00()uf11()uf(,)(,2)uu0()uf00()uf11()uf00uu00uu()1,cos,sin,1,2.nnnn()1,cos,sin,1,2.nnnn()sin,1,2.nnn()sin,1,2.nnn22000,(0,0),(0,0)11,12,21,2211,12,21,22()(),()ttxxtxxttttuauxltuauxltuxuxux边边界界条条件件边边界界条条件件1(11;22)0(12;21)2,20(,)()()nnnnnuxtuTatXx一一维维波波动动、热传导热传导方程方程Tn由方程的性质而定,对于振动方程由方程的性质而定,对于振动方程2200,natnnucTCe对于热传导方程对于热传导方程2,2000,cossinnnnnnucdtTCatDat1(11;22)0(12;21)0022()()()nnxxnnnnnucdxcedeYy矩形域上的二矩形域上的二维维拉普拉斯方程拉普拉斯方程chshnnnnaxbx若若XX提供提供齐齐次次边边界界条条件件1(11;22)0(12;21)0022()()()nnyynnnnnucdycedeXx环环(圆圆)域上的二)域上的二维维拉普拉斯方程拉普拉斯方程圆圆域域00,u扇扇环环(扇)域上的二(扇)域上的二维维拉普拉斯方程拉普拉斯方程齐齐次次边边界界若若为为扇域扇域通解中待定系通解中待定系数数的确定方法的确定方法-代入定解代入定解条条件,利件,利用特征函用特征函数数的正交性求解的正交性求解02()()lnnnCxXxdxl021()()lnnnnDxXxdxla001()lcxdxl001()ldxdxl一一维维波波动动方程方程1(11;22)0(12;21)2,200(,)()(cossin)(),nnnnnnnuxtcdtCatDatXx02()()lnnnCxXxdxl001()lcxdxl221(11;22)0(12;21)2,20(,)()natnnnnuxtcCeXx一一维热传导维热传导方程方程1(11;22)0(12;21)2,200()()()nnxxnnnnnucdxcedeYy矩形域上的二矩形域上的二维维拉普拉斯方程拉普拉斯方程chshnnnnaxbx1(11;22)0(12;21)2,20()()()nnnnyccdYy1(11;22)0(12;21)2,200()()()()nneennnnnycdecedeYy利用正交性求解系数02()()fnnnncdyYydyf求解方程组即可001()fcydyf0001()fcdeydyf02()()fnnnayYydyf求解方程组即可1(11;22)0(12;21)2200()(chsh)()nnnnnnnucdxaxbxYy1(11;22)0(12;21)2,20()()nnnycaYy1(11;22)0(12;21)2,200()()(chsh)()nnnnnnnycdeaebeYy001()fcydyf0001()fcdeydyf利用正交性求解系数将定界条件带入将定界条件带入环环(圆圆)域上的二)域上的二维维拉普拉斯方程拉普拉斯方程环环域域利用正交性求系数利用正交性求系数将定界条件带入将定界条件带入环环(圆圆)域上的二)域上的二维维拉普拉斯方程拉普拉斯方程圆圆域域利用正交性求系数利用正交性求系数扇扇环环(扇)域上的二(扇)域上的二维维拉普拉斯方程拉普拉斯方程扇扇环环域域将定界条件带入将定界条件带入联立求解联立求解利用正交性求系数利用正交性求系数0c0d联立求解联立求解扇域扇域将定界条件带入将定界条件带入利用正交性求系数利用正交性求系数重点掌握重点掌握振动、热传导、拉氏问题齐次、非齐次方程的求解振动、热传导、拉氏问题齐次、非齐次方程的求解齐次方程可直接写出形式解齐次方程可直接写出形式解非齐次方程特征函数法非齐次方程特征函数法冲量法冲量法特解法特解法第二类问题:
第二类问题:
应用应用分离变量法分离变量法求解求解有界域有界域的定解问题的定解问题此类定解问题的特点:
此类定解问题的特点:
11、方程齐次或非齐次、方程齐次或非齐次22、边界条件齐次边界条件齐次边界条件的特点:
边界条件的特点:
一一;一二;二一;二二一一;一二;二一;二二周期条件周期条件熟记以上边界熟记以上边界/周期条件条件下,方程的特征值和特征函数周期条件条件下,方程的特征值和特征函数二二类边界条件下,解的形式中多一个二二类边界条件下,解的形式中多一个uu00练习长度为长度为2的弦,两端固定,弦做自由振动,初始位移的弦,两端固定,弦做自由振动,初始位移如图所示,初速度为零。
写出定解问题并求解。
如图所示,初速度为零。
写出定解问题并求解。
由方程和边界条件可得通解为由方程和边界条件可得通解为解定解问题解定解问题2000,0,00,0,00,0ttxxtttxxxluauAxxltuuxluut冲量法:
冲量法:
2000,ttxxxxxltttwawwwwwAx034420(,)(,;)32
(1)(21)(21)(1cos)sin(21)22tnnuxtwxtdAlnatnxnall2000,0,00,0,00,0ttxxtttxxxluauAxxltuuxluut20()0xxxlawxAxww32()62AxAlxwx20000(),0ttxxxxxltttVaVVVVwxV(,)(,)()uxtVxtwx转换转换法:
法:
2000,0,00,0,00,0ttxxtttxxxluauAxxltuuxluut0(21)(21)21(,)cossinsin()222nnnnnnVxtCatDatxlll01344221()sin()2
(1)32(21)lnnncwxxdxllAln20000(),0ttxxxxxltttVaVVVVwxV(,)(,)()uxtVxtwx特征函特征函数数法:
法:
00220331442442sinsin28sin
(1)(21)32(21)32
(1)cos
(1)(21)2(21)nnnnnnlnnnnnnuuxAxcxlAcAxdxlnlAnlAuatnalna3442032
(1)(21)(21)(,)(1cos)sin(21)22nnAlnatnxuxtnall2000,0,00,0,00,0ttxxtttxxxluauAxxltuuxluut求定解问题求定解问题000,0,00,0,0xxyyxxlyymuuxlymuuuxu对对于于uu(x,yx,y):
x:
x满满足足1111类齐类齐次次边边界界条条件,件,则应则应用分离用分离变变量法得量法得1(,)()sinnynyllnnnnuxycedexl10122
(1)sin
(1)
(1)0,()()nlnnnmnmnmnmnnllllnnnnnlcdxxdxllnlelecedecdnmnmnshnshll11
(1)
(1)(,)sin()()nmnmnynynnllllnlelenuxyeexnmnmlnshnshll分离变量法解题思路分离变量法解题思路第一要审题,关键看方程特点(类型、齐次、非齐次的第一要审题,关键看方程特点(类型、齐次、非齐次的自由项)与边界条件自由项)与边界条件(齐次的)或者周期条件(齐次的)或者周期条件第二根据边界条件(或周期条件)写出特征值与特征函第二根据边界条件(或周期条件)写出特征值与特征函数数(一(一sinsin二二coscos零端异,相同相异正半长)零端异,相同相异正半长)分离变量法解题思路分离变量法解题思路第三,如果方程是齐次的,直接写出通解,通解是第三,如果方程是齐次的,直接写出通解,通解是叠加叠加形式形式,即特征函数的级数展开,特别注意二二类边界条,即特征函数的级数展开,特别注意二二类边界条件还有一项件还有一项u00不要丢。
通解中的系数可用特征函数正交不要丢。
通解中的系数可用特征函数正交性的特点进行求解。
性的特点进行求解。
第四,如果方程是非齐次的,要根据方程的特点选择适第四,如果方程是非齐次的,要根据方程的特点选择适当的方法(特征方程法、冲量法、特解法等)当的方法(特征方程法、冲量法、特解法等)重点练习习题二:
习题二:
2568912131425689121314第三章第三章行波法(在无界域内求解行波法(在无界域内求解波动方程的解)波动方程的解)在无界域内求解二阶偏微分方程在无界域内求解二阶偏微分方程20xxxyyyxyAuBuCuDuEuFu22()2()0AdyBdxdyCdx先写特征方程再求特征方程线2()BBACyxA常数2()BBACyxA常数第三步,做特征变换第四步,求积分得解第三类问题:
第三类问题:
应用应用行波法行波法求解求解无界域一维无界域一维波动方程波动方程00(0,)21,(,0)1xyuyxyuyyux216,0(,0)0,(,0)xxtttuuxtuxuxx直接直接积积分分特征方程特征方程特征特征线线特征特征变换变换积积分分直接用直接用达达朗倍朗倍尔公式尔公式11(,)()()()22xatxatuxtxatxatda2ttxxuau2230(,0)3,(,0)0xxxyyyyuuuuxxux特征方程特征方程特征特征线线特征特征变换变换积积分分行波法解题思路行波法解题思路熟记达朗贝尔公式熟记达朗贝尔公式对于积分型的方程,对对于积分型的方程,对x,y分别积分,求分别积分,求通解,之后,代入定解条件求通解中的待通解,之后,代入定解条件求通解中的待定函数,切记仔细认真!
定函数,切记仔细认真!
小心方程陷阱小心方程陷阱a重点掌握重点掌握三种题型的解法三种题型的解法重点练习重点练习习题三习题三11及课堂上提供的两个练习题,及课堂上提供的两个练习题,书中第一节例题书中第一节例题第四章第四章拉普拉斯方程的格林函数法拉普拉斯方程的格林函数法拉普拉斯狄氏问题和牛曼问题拉普拉斯狄氏问题和牛曼问题第一、第二格林公式第一、第二格林公式调和函数的性质调和函数的性质格林函数的建立(电象法)格林函数的建立(电象法)应用格林法写出拉普拉斯方程的形式解应用格林法写出拉普拉斯方程的形式解拉普拉斯方程的狄氏问题和牛曼问题拉普拉斯方程的狄氏问题和牛曼问题ufufn狄氏问题狄氏问题:
在:
在内找到一个调和函数内找到一个调和函数uu,且,且牛曼问题:
在内找到一个调和函数u,且第一,第二格林公式2()vuvdVudSgradugradvdVn22()()vuuvvudVuvdSnn22()()DCvuuvvuduvdsnn三维拉普拉斯方程的基本解22200011()()()vrxxyyzz220011lnln()()vxxyy二维拉普拉斯方程的基本解调和函数的性质调和函数的性质调和函数的调和函数的积分公式积分公式边值性质边值性质平均值定理平均值定理唯一性唯一性调和函数的积分表达式调和函数的积分表达式000111()()()()4MMMMuMuMuMdSnrrn000111()()()(ln)(ln)2MMMMuMuMuMdsnn0222000()()()MMrxxyyzz点点MM00到点到点MM的距离的距离02200()()MMxxyy格林函数格林函数0(,)GMM0001(,)4(,)0MMGMMvrGMM拉普拉斯方程的格林函数拉普拉斯方程的格林函数定定义义00011(,)ln2(,)0MMGMMvrGMM若若GG存在,且在存在,且在上有连续的上有连续的一阶偏导数,则拉普拉斯方程的狄一阶偏导数,则拉普拉斯方程的狄氏问题氏问题20()uufM0()()GuMfMdSn的解为0()()GuMfMdSn电象法求格林函数电象法求格林函数画图,找到所求的区域画图,找到所求的区域及区域的边界及区域的边界对应于对应于内的一点内的一点MM00寻找寻找外的一点外的一点MM11;在在MM11点放置一个负电荷(点放置一个负电荷(qq),使得它在),使得它在上上产生的电位为产生的电位为,与,与MM00处正电荷产生处正电荷产生的电位的电位相抵消,即相抵消,即14MMqvr014MMr011044MMMMqrr10MMMMrqr因而因而于是,格林函数于是,格林函数0101(,)44MMMMqGMMrr电象法求格林函数电象法求格林函数电象法的关键:
电象法的关键:
如何寻找如何寻找MM11。
通常通常取取MM11为为MM00关于边界关于边界的某种的某种“对称点对称点”。
如果如果为平面,则为几何对称点;如果为球为平面,则为几何对称点;如果为球面,则为反演点面,则为反演点如果如果为平面(直线),为平面(直线),则为几何对称点则为几何对称点XXYYMM00MM11OOPP00(,)xy00(,)xy012OMOMrrR为球面(圆弧为球面(圆弧线),则为反演点线),则为反演点求电荷量求电荷量为平面(直线)为平面(直线)放置单位负电荷放置单位负电荷101MMMMrqr100MPMPrRqr为球面(圆弧线)为球面(圆弧线)根据边界的情况,根据边界的情况,有时需要找若干个有时需要找若干个MM00的对称点。
的对称点。
如果对称点有若干个,则关于平面如
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- 数理 方程 特殊 函数 复习