立体几何中的7种常见解题技巧.pdf
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立体几何中的7种常见解题技巧.pdf
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林明成(四川省苍溪中学628400)在立体几何的复习中,倘能在正确掌握基础知识和基本技能的同时,讲究一些解题技巧,常可获事半功倍之效1平移我们知道两条平行直线和一条直线或一个平面成等角,这就为平移提供了用武之地平移可以使分散的条件集中,可以使立体几何问题迅速向平面几何问题转化例1如右图,已知正方体ABCDA181C1D1中,P为AA。
的中点,O为底面ABCD的中心,求P0彳lP彳CC与截面C。
BD所成的角解连接A,C、AC,因为P、0分别为AA,、AC的中点,所以P0A:
C。
因为AA。
上底面ABCD,所以A。
C在底面ABCD的射影为AC又因BD上AC,所以BD上A。
C同理BCz上A。
C所以A。
C上截面C。
BD,PO上截面C。
BD,PO与截面C,BD所成的角为90。
2射影线面角、二面角都是立体几何中的重要概念抓住“线”在“面”内的射影,是求线面角的关键抓住“面”在“面”内的射影,是解决“无棱”二面角的常用方法例2如右图,已知等腰三角形ABC中,AB=BC一2,么ABC一120。
,ABC4所在平面外一点P到三角形三顶点的距离PC都等于4,求直线PB与平面ABC所成的角解作P0上平面ABC,0为垂足因为PAPBPC,所以0A=oB=OC,0为ABC的外接圆的圆心设OBR,则2R=盎=击钆在RtPoB中,0B一2,PB一4,所以么PBO=60。
,即直线PB与平面ABC所成的角为60。
例3如右图,P、Q分别是正方体。
ABCDA1BlClDl的棱A。
A、AB的中点,P试求平面C。
PQ与底面ABcD所成二面“角的大小Q口CC解连结PQ、PC。
、QC。
、AC、QC显然,PC,Q在平面ABCD内的射影为ACQ令AB=4口,贝4BQ一2口,CQ=25口,c。
Qc,P一6口,PQ一2画则等鹰Pc。
Q底边PQ上的高为弭民于是,s托,Q=告崛醌一2以兄2,SAOQ一4口2设所求的二面角为口,则cos口一涂2羔一等3PclQ217口2l7故平面C。
PQ与底面ABCD所成二面角的大小为a嫩。
蜉3等积体积,有时可以作为一种中介量,用来沟通有关元素之间的关系从不同角度“算两次”,借助于体积的相等,常可巧妙地完成计万方数据算或证明例4如右图所示,三棱台ABGA。
B。
C,的上、下底面积分别为口2、62,底边cBC和截面AB,C。
的距离等于三棱台的高,求截面AB,C。
的面积解连结B。
C,把三棱台分成3个三棱锥:
A-A。
B。
C。
、B。
一ABC、cAB。
C。
,3个三棱锥的体积之和就是三棱台的体积设三棱台的高为,则专a2+专62+寺s截一1(乜2+62舶262)毳,故S截一口6例5如右图,若四面体ABCD中,AB一口,CD=6,AB和CD的距离为d,问当棱AB曰与CD所成角口为何值时,该四面体体积V有最大值?
最大值是多少?
CD解析AB与CD是异面直线,它造成了条件的离散状态,给问题的解决带来了困难我们注意到异面直线所成角的定义,过B作BECD,并使BECD,那么么ABE一口,这样在ABE中就聚集了大部分的已知条件D到平面ABE的距离就是AB和CD的距离d因此,VVBcDV冉B舾一VD一BE一专。
专BEABsin伊d一言n6dSin良U口U从而,当口=90。
,即当对棱AB和CD垂直时,四面体体积V有最大值口6dU4分割给出的几何体比较复杂,有关的计算公式无法直接运用时,适当分割几何体,化整为零,问题就简单多了例6如右图所示,在多面体ABCDEF8一中,已知ABCD是边长为3的正方形,EFAB,EF一372,EF与面AC的距离为2,则该多面体的体积为()CA92;B5;C6;D152解析这是一个同学们陌生的多面体,它异于熟悉的柱、锥、台,没有现成的公式可供计算若过E在平面AF中作EGBF交AB于G,过E在平面EC中作EHFC交CD于H,连接GH,则截面EGH把多面体ABCDEF分割成熟悉的四棱锥E-AGHD与三棱柱BCPGHE,容易求得它们的体积和为152,故选D5补形若题设条件彼此分散,我们可以通过补形,化复杂的几何体为简单的几何体(柱、锥、台),化生为熟,给解题带来便利例7如下图,已知AA。
与正方形ABCD所在平面垂直,且AA。
=BC,求平面A。
BA与A,CD所成二面角(锐角)的大小DDD分析将四棱锥A。
一ABCD补形成正方体A。
B。
C,D。
一ABCD,则所求二面角的棱为A。
B。
通过补形,整体上宏观地把握局部问题,居高临下,巧妙地突破了问题的难点易证么DA。
A即为所求二面角的平面角故所求二面角为45。
6展“展”的技巧是一种化折为直、化曲为直的转化方法,一般用于求多面体、旋转体的侧面上两点间的最短距离例8如下图,设正三棱锥SABC的底面边长为6,侧棱长为26,E、H分别是SB、万方数据SC上的动点,求线段和SAE+EH+HA的最小值SC解从展开图可以看到,当A、E、H、A7共线时,S取得最小值设么ASB一臼,则易得口62l8m虿一玄一百sin警一3sin导一4sin3导一sln百一5sln百一4sln。
百=o山o3丢一4c丢,3一嚣所以s的最小值为226sin雩一学7比棱锥(或圆锥)被平行于底面的平面所截,所得的小棱锥(或小圆锥)与原棱锥(或原圆锥)相对应的面积比等于“相似比”的平方,体积比等于“相似比”的立方遇到此类问题,利用这种比例关系,可快速、准确获解例9某工厂食堂用圆台形缸盛满食油,已知此缸上、下底面半径分别为40cm和20cm,13d后,油的高度降为原来的23若每天用油量相等,剩余的油还可以用多少天?
解如右图,将圆台补成圆锥,记从下至上三部分的体积分别为V1、V2、y3。
设yl一33口一27口,由圆锥平行于底的截面的性质得V253口一33口一98口,V,=63口一53口一91n剩余的油还可以用zd,由题设得91口:
1398口oz,解得z一14故剩余的油还可以用14d已知递推式求数列通项陶磊(广东省惠东县惠东高级中学516321)一个数列,若已知递推式要求其通项,一般的方法是:
先根据所给出的递推式求出前若干项,然后猜测其通项式,最后用数学归纳法来证明其正确性但其困难在于猜测这一步,如果学生对一些基本的数列知识不够熟悉或所求出的若干项的规律不易观察出,往往很难正确猜想出其通项式,从而导致解题失败况且在新版的实验教材中也出现了数列递推式的概念,那么通过已知的数列递推式来求通项将是学生所乐于接受的从以上的考虑出发,结合笔者的教学实践,对已知数列的递推式求其通项的问题作了一些总结,希望对读者能有所帮助类型l(等差数列型)形如:
a。
一口。
一,+d(挖),其中d(佗)是竹的函数分析因为口。
一口1+(a2一口1)+(口3一口。
)+(n。
一口。
一。
)恒成立,所以口。
一盘I+矗
(2)+d(3)+d(挖),即n。
一口1+:
d(i)舀例1已知数列口。
)满足口,一1,口。
一n。
一。
+,z,求数列口。
)的通项公式简解口。
一口-+芝:
i一1+2+3+,z=丛掣类型2(等比数列型)形如:
口。
一口川g(卵),其中g(,2)是砣的函数分析因为口。
一口-詈亳。
耋三恒成立,所以口。
一口lg
(2)口(3)口(咒),即万方数据立体几何中的7种常见解题技巧立体几何中的7种常见解题技巧作者:
林明成作者单位:
四川省苍溪中学,628400刊名:
高中数理化英文刊名:
GAOZHONGSHULIHUA年,卷(期):
2003,(4)被引用次数:
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