应用数理统计课件(配庄楚强版教材)第五章4.pdf
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15.35.3非线性回归非线性回归非线性回归非线性回归一、第一类非线性回归(广义线性回归)一、第一类非线性回归(广义线性回归)+=mmzbzbzbb.22110(变成了线性回归,但系数保持没有变换变成了线性回归,但系数保持没有变换)常见类型双曲线对数多项式常见类型双曲线对数多项式mmxxxxxxxzxt=2211,ln11,坐标变换+=+=+=mmxbxbbbzabta.110线性模型;).(,)().(),.,()(21221110zxxxfgfbfbxxfbbgkjmmk=+=坐标变换:
j+=+=+=mmxbxbxbbxbaxba.ln122110非线性12Example1.某种半成品在生产过程中的废品率某种半成品在生产过程中的废品率与它所含的某种物质的质量有关,现将试验所得与它所含的某种物质的质量有关,现将试验所得16组数据记录如下表:
组数据记录如下表:
y编号编号编号编号11303411569044401600210036129610056411681307337136911030421764409038144412042431849508139152113035431849607039152114040452025706039152115041472209805040160016060482304x2=x2yx1=xx1=xx2=x2其中其中y为废品率(%),为废品率(%),x为含某物质的量(0.01%)求回归方程为含某物质的量(0.01%)求回归方程。
3Solution.描点做散点图根据图形特点,试用抛物线回归。
描点做散点图根据图形特点,试用抛物线回归。
2210xbxbby+=22110xbxbby+=记记x1=x,x2=x2则有这是二元线性回归,用公式(则有这是二元线性回归,用公式(5-7)。
)。
11221140.68751611669.312516iixxxx=6263.0161=iyy计算数据计算数据44.221)(21111=il()()()05.923.;649.11.;18283;1513685212211211221122=yyiiillxxxxllxxl4218.4840.82050.009301yxx=+484.1822110=bbyb于是得线性回归方程:
于是得线性回归方程:
y=18.4840.825x1+0.009301x2代入线性回归系数计算公式代入线性回归系数计算公式(5-7)(p336(200)得到方程组)得到方程组?
1212221.441828311.649182831513685923.05bbbb+=+=$1b2b由上式解得由上式解得=0.8205,=0.009301.又,从而得到又,从而得到对对x的非线性回归方程为:
的非线性回归方程为:
00820544112009301x=它在处有最小的它在处有最小的y值:
值:
0y=18.4840.820544.11+0.009301(44.11)2=0.39.5出钢时所用盛钢水的钢包,由于钢水对耐火材料的浸蚀,容积不断扩大,我们希望找出使用次数出钢时所用盛钢水的钢包,由于钢水对耐火材料的浸蚀,容积不断扩大,我们希望找出使用次数x与增大容积与增大容积之间的关系,试验数据列于下表:
之间的关系,试验数据列于下表:
Example3.0.08500.062511.76160.10440.25009.5840.12200.33338.2030.15880.50006.422z=1/yt=1/xyx6Solution.将(将(xi,yi),i=1,2,15描在坐标平面上得散点图,从图我们看到开始浸蚀速度快,然后逐渐减慢,显然钢包容积不会无限增大,它必有一条平行于描在坐标平面上得散点图,从图我们看到开始浸蚀速度快,然后逐渐减慢,显然钢包容积不会无限增大,它必有一条平行于x轴的渐近线,根据这些特点,我们可以认为轴的渐近线,根据这些特点,我们可以认为与与x关系可以用双曲回归模型(见关系可以用双曲回归模型(见p365图形图形5-7)来描述,因此要求的回归方程化为坐标变换:
则化为一元线性回归方程;)来描述,因此要求的回归方程化为坐标变换:
则化为一元线性回归方程;tbz+=+=b1111,ztyx=.1xbay+=68104812167()()().1312.00823.01312.00823.01,1312.00823.00.0823.0.15870.13120.1031;1312.00.20650.02709)(p306;1031.0.;1578.0.2+=+=+=xyxytztbzattzzttbztyxiii或线回归方程:
代回原来变量得经验曲线性经验回归方程:
公式计算:
值坐标变换,并进一步,将表中x8xetyzaAyzaAxtz=,1ln,lnln,ln,lnlny,二、第二类非线性回归(实质上的非线性回归)二、第二类非线性回归(实质上的非线性回归)幂函数指数函数幂函数指数函数S型曲线型曲线非线性坐标变换线性模型非线性坐标变换线性模型xbxbbeayaeyaxy+=1btazbxAzbtAz+=+=+=),1btazbeayx+=+=(推导:
(虽然也线性化了,但是原模型中的参数(虽然也线性化了,但是原模型中的参数a,b也被改变了)也被改变了)910不同点:
一类:
原模型中的参数不同点:
一类:
原模型中的参数a,b,不受变换的影响二类:
原模型中的参数不受变换的影响二类:
原模型中的参数a,b,受到变换的影响如受到变换的影响如A=lna三、两大类非线性回归的比较三、两大类非线性回归的比较共同点:
非线性回归坐标变换线性回归共同点:
非线性回归坐标变换线性回归11Example3.对例对例2的问题,把它的散点图与图的问题,把它的散点图与图5-11(p367)所列出的函数图形对照,可知用指数曲线所列出的函数图形对照,可知用指数曲线y=aeb/x,(b0)作为)作为关于关于x的回归曲线也是合理的。
对上式两边取对数得再作变换,则得的回归曲线也是合理的。
对上式两边取对数得再作变换,则得z=A+bt根据所作变换,把例根据所作变换,把例2的数据变换为新坐标形式:
的数据变换为新坐标形式:
bay+=n1n1xtaAyz1,n1,n1=2.46470.062511.76161.85940.50006.422z=lnyt=1/xyx12()()()2294.015;2065.015;2815.21151151;1587.0151222=ztztzzttttttnyzzttiiiiiiiii参数计算:
()()().6791.11;4578.2;1107.12065.02294.02=AiiietbzAttzzttb&1.1107/11.6791xye=指数型经验回归方程为:
指数型经验回归方程为:
13不同曲线回归的比较不同曲线回归的比较TRTeieyyeSSSSynySlSR=11122相关系数剩余标准差2*=nse好好剩余平方和参数:
比较的2)(=iieyyS好好好xeyxxy1107.16791.1131312.00823.02=+=:
例:
例(双曲型)(指数型)(双曲型)(指数型)14yyy例例2中中x23456789y6.428.29.589.59.7109.939.996.76137.93448.68819.21329.69.896810.131710.3323-0.3230.2656-0.10810.28680.10.1032-0.2017-0.3323x10111213141516y10.4910.5910.610.810.610.911.7610.4810.612610.725810.823410.908510.983411.04970.01-0.0226-0.12580.0234-0.3085-0.0834-0.7103yyy3328.0134393.12054.1)(*2=nSyySeiie159529.03747.22054.11)(11222=ynyyylSRiiiyyeAssignment:
p380(220)-11,12Prep:
6.1例3中:
Se=0.83121.4394(例2中)*=0.26180.9529例3中的指数型经验回归曲线,比例2中的双曲型要好.
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