电磁场与电磁波(第4版)第4章部分习题参考解答.pdf
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4.1证明以下矢量函数满足真空中的无源波动方程222210EEct?
=?
,其中2001c=,为常数。
(1)0E0cos()xEeEtzc=?
;
(2)0sin()cos()xEeEztc=?
;(3)0cos()yEeEtzc=+?
。
证:
证:
(1)222002cos()cos()xxEeEtzeEtzczc=?
20()cos()xeEtccz=?
2220022cos()cos()xxEeEtzeEtzttcc=?
22220022211()cos()cos()0xxEEeEtzeEtzctcccc=?
即矢量函数0cos()xEeEtzc=?
满足波动方程222210EEct=?
。
(2)222002sin()cos()sin()cos()xxEeEzteEztczc=?
20()sin()cos()xeEzcct=?
2220022sin()cos()sin()cos()xxEeEzteEztttcc=?
22220022211()sin()cos()sin()cos()0xxEEeEzteEztctcccc=?
即矢量函数0sin()cos()xEeEztc=?
满足波动方程222210EEct=?
。
(3)222002cos()cos()yyEeEtzeEtzczc=+=+?
20()cos()yeEtccz=+?
2220022cos()cos()yyEeEtzeEtzttcc=+=?
+22220022211()cos()cos()0yyEEeEtzeEtzctcccc=+=?
即矢量函数0cos()yEeEtzc=+?
满足波动方程222210EEct=?
。
4.2在无损耗的线性、各向同性媒质中,电场强度()Er?
的波动方程为22()()0ErEr+=?
已知矢量函数j0()ekrErE=?
,其中0E?
和k?
是常矢量。
试证明()Er?
满足波动方程的条件是22k=,这里kk=?
。
证:
证:
在直角坐标系中xyzrexeyez=+?
设xxyyzkekekek=+?
z则()()xxyyzzxyzxyzkrekekekexeyezkxkykz=+=+?
故j()j00()eexyzkxkykzkrErEE+=?
j()22j200222j()0222j()22220()eee()exyzxyzxyzkxkykzkrkxkykzkxkykzxyzErEEExyzkkkEkEr+=+=?
()?
代入方程,得22()()0ErEr+=?
220kEE+=?
故22k=4.3已知无源的空气中的磁场强度为90.1sin(10)cos(610)A/myHextkz=?
利用波动方程求常数k的值。
解:
解:
在无源的空气中的磁场强度满足波动方程22002(,)(,)0HrtHrtt=?
而229229(,)0.1sin(10)cos(610)(10)0.1sin(10)cos(610)yyHrtextkzekxt=?
kz?
22922929(,)0.1sin(10)cos(610)(610)0.1sin(10)cos(610)yyHrtextkzttex=?
tkz代入方程22002(,)(,)0HrtHrtt=?
,得2292900(10)(610)0.1sin(10)cos(610)0yekxtk+=?
z于是有229200(10)(610)0k+=故得92200(610)(10)103k=4.4证明:
矢量函数0cos()xEeEtxc=?
满足真空中的无源波动方程222210EEct=?
但不满足麦克斯韦方程。
证:
证:
22220002(,)cos()cos()()cos()xxxErteEtxeEtxeEtxcxccc=?
22220022(,)cos()cos()xxErteEtxeEtxttcc=?
所以22220022211()cos()cos()0xxEEeEtxeEtxctcccc=?
即矢量函数0cos()xEeEtxc=?
满足波动方程222210EEct=?
。
另一方面,00cos()sin()0EEtxEtxxccc=?
而在无源的真空中,应满足麦克斯韦方程为E?
0E=?
故矢量函数0cos()xEeEtxc=?
不满足麦克斯韦方程组。
以上结果表明,波动方程的解不一定满足麦克斯韦方程。
4.5证明:
在有电荷密度和电流密度J?
的均匀无损耗媒质中,电场强度E?
和磁场强度的波动方程为H?
222()EJEtt=+?
,222HHJt=?
证:
证:
在有电荷密度和电流密度J?
的均匀无损耗媒质中,麦克斯韦方程组为EHJt=+?
(1)HEt=?
(2)0H=?
(3)E=?
(4)对式
(1)两边取旋度,得()HJtE=+?
而2()HH=H?
故2()(HHJt)E=+?
(5)将式
(2)和式(3)代入式(5),得222HHJt=?
这就是的波动方程,是二阶非齐次方程。
H?
同样,对式
(2)两边取旋度,得()EHt=?
即2()(EEHt)=?
将式
(1)和式(4)代入式(6),得2221EJEtt=+?
此即满足的波动方程。
E?
4.6在应用电磁位时,如果不采用洛伦兹条件,而采用库仑条件0A=?
,导出A?
和所满足的微分方程。
解:
解:
将电磁矢量位A?
的关系式BA=?
和电磁标量位的关系式AEt=?
代入麦克斯韦第一方程EHJt=+?
得1()AAJtt=+?
利用矢量恒等式2()AA=A?
得2()AAAJtt=+?
(1)又由D=?
得At=?
即2()At+=?
(2)按库仑条件,令0A=?
,将其代入式
(1)和式
(2),得222AAJtt=+?
(3)2=(4)式(3)和式(4)就是采用库仑条件时,电磁位函数A?
和所满足的微分方程。
4.7证明在无源空间(0=、0J=?
)中,可以引入矢量位mA?
和标量位m,定义为mDA=?
,mmAHt=?
并推导和mA?
m的微分方程。
证:
证:
无源空间的麦克斯韦方程组为DHJt=+?
(1)BEt=?
(2)0B=?
(3)0D=?
(4)根据矢量恒等式0A=?
和式(4),知D?
可表示为一个矢量的旋度,故令mDA=?
(5)将式(5)代入式
(1),得m()HAt=?
即m0AHt+=?
(6)根据矢量恒等式0=和式(6),知mAHt+?
可表示为一个标量函数的梯度,故令mmAHt+=?
即mmAHt=?
(7)将式(5)和式(7)代入式
(2),得mmm1AAtt=?
(8)而2mm()mAAA=?
故式(8)变为22mmm2()AAAtt=m?
(9)又将式(7)代入式(3),得mm0At=?
即2mm()At0+=?
(10)令mmAt=?
将它代入式(9)和式(10),即得mA?
和m的微分方程22mm20AAt=?
22mm20t=4.8给定标量位xct=及矢量位(xx)Aect=?
,式中001c=。
(1)试证明:
00At=?
;
(2)、H?
B?
、E?
和D?
;(3)证明上述结果满足自由空间的麦克斯韦方程。
解:
解:
(1)001()xAxAtxxcc=?
001()xctctt=故000000001()t=则00At=?
(2)0xzyzAABAeezy=?
00BH=?
而()xxAxEeetxtc=?
t?
()xxexctex=+=?
000DE=?
(3)这是无源自由空间的零场,自然满足麦克斯韦方程。
4.9自由空间中的电磁场为(,)1000cos()V/m(,)2.65cos()A/mxyEztetkzHztetkz=?
式中000.42rad/mk=。
求:
(1)瞬时坡印廷矢量;
(2)平均坡印廷矢量;(3)任一时刻流入如图题4.9所示的平行六面体(长1m、横截面积为)中的净功率。
20.25m图题图题4.9解:
解:
(1)瞬时坡印廷矢量222650cos()W/mzSEHetkz=?
(2)平均坡印廷矢量2/22av02650cos()d1325W/m2zzSetkzte=?
(3)任一时刻流入如图题4.9所示的平行六面体中的净功率为n0122d()26500.25cos()cos(0.42)270.2sin(20.42)WzzSzzPSeSSeSettt=+=?
0.254.10已知某电磁场的复矢量为000000()jsin()V/m()cos()A/mxyEzeEkzHzeEkz=?
式中002kc=,c为真空中的光速,0是波长。
求:
(1)0z=、08、04各点处的瞬时坡印廷矢量;
(2)以上各点处的平均坡印廷矢量。
解:
解:
(1)和的瞬时矢量为E?
H?
j0000(,)Rejsin()esin()sin()V/mtxxEzteEkzeEkzt=?
j00000000(,)Recos()ecos()cos()A/mtyyHzteEkzeEkzt=?
则瞬时坡印廷矢量为002000022000(,)(,)(,)sin()cos()sin()cos()sin
(2)sin
(2)W/m4zzSztEztHzteEkzkzttEekzt=?
故2(0,)0W/mSt=?
022000(/8,)sin
(2)W/m4zEStet=?
20(/4,)0W/mSt=?
(2)*2av1()Re()()0W/m2SzEzHz=?
4.11在横截面积为的矩形金属波导中,电磁场的复矢量为abj0j00jsin()eV/mjsin()cos()eAzyzxzaxEeHaaxxHeHeHaa=+/m?
式中、0H、和都是实常数。
求:
(1)瞬时坡印廷矢量;
(2)平均坡印廷矢量。
解:
解:
(1)和的瞬时矢量为E?
H?
jj00(,)Rejsin()eesin()sin()V/mztyyaxExzteHaaxeHtza=?
jj0000(,)Rejsin()cos()eesin()sin()cos()cos()A/mztxzxzaxxHxzteHeHaaaxxeHtzeHtzaa=+=+?
故瞬时坡印廷矢量为0222022(,)()sin()sin()2sin()sin(22)W/m4zxaxSxzteHtzaaxeHtza=+?
(2)平均坡印廷矢量*22av01(,)Re(,)(,)()sin()W/m22zaxSxzExzHxzeHa2=?
4.12在球坐标系中,已知电磁场的瞬时值00000(,)sincos()V/m(,)sinsin()A/mEErtetkrrEHrtetkrr=?
式中为常数,0E000=,0k00=。
试计算通过以坐标原点为球心、为半径的球面的总功率。
0rS解:
解:
将和表示为复数形式,有E?
H?
00j0j00(,)sineV/m(,)sineA/mkrkrEErerEHrer=?
于是得到平均坡印廷矢量*220av011(,)Re()sinW/m22rESrEHer=2?
通过以原点为球心、为半径的球面的总功率0rS022220avav000001d()sinsindd29SEEPSSrr=?
W04.13已知无源的真空中电磁波的电场0cos()V/mxEeEtzc=?
证明avavxSew=?
c,其中是电磁场能量密度的时间平均值,avw001c=为电磁波在真空中的传播速度。
证:
证:
电场复矢量为jmezcxEeE=?
由0jEH=?
,得磁场强度复矢量jj0mm000jj(e)ezzcczxyHEeeEeEz=?
所以m*20av011Re22zSEHe=?
E?
另一方面,m*00av1Re2222wEEHH20E=+=?
由于000000c=,故有m20avav2zzSeEcewc=?
4.14设电场强度和磁场强度分别为0ecos()EEt=+?
和0mcos()HHt=+?
证明其坡印廷矢量的平均值为av00em1cos()2SEH=?
解:
解:
坡印廷矢量的瞬时值为0e0m00emem00ememcos()cos()1cos()cos()21cos
(2)cos()2SEHEtHtEHttttEHt=+=+=+?
故平均坡印廷矢量为av00emem0000em111dcos
(2)cos()d21cos()2TTSStEHtTTEH=+=?
t?
4.15在半径为a、电导率为的无限长直圆柱导线中,沿轴向通以均匀分布的恒定电流I,且导线表面上有均匀分布的电荷面密度S。
(1)求导线表面外侧的坡印廷矢量S?
;
(2)证明:
由导线表面进入其内部的功率等于导线内的焦耳热损耗功率。
解:
解:
(1)当导线的电导率为有限值时,导线内部存在沿电流方向的电场i2zJIEea=?
根据边界条件,在导线表面上电场的切向分量连续,即izEEoz=。
因此,在导线表面外侧的电场的切向分量为o2zaIEa=又利用高斯定理,容易求得导线表面外侧的电场的法向分量为o0SaE=故导线表面外侧的电场为o20SzaIEeea=+?
利用安培环路定理,可求得导线表面外侧的磁场为o2aIHea=?
故导线表面外侧的坡印廷矢量为22ooo230()W/22SzaaIISEHeeaa=+?
m?
(2)由内导体表面每单位长度进入其内部的功率222o232d22aSIIPSeSaRaa=I?
式中,21Ra=是内导体单位长度的电阻。
由此可见,由导线表面进入其内部的功率等于导线内的焦耳热损耗功率。
4.16由半径为a的两圆形导体平板构成一平行板电容器,间距为,两板间充满介电常数为d、电导率为的媒质,如图题4.16所示。
设两板间外加缓变电压mcosuUt=,略去边缘效应,试求:
(1)电容器内的瞬时坡印廷矢量和平均坡印廷矢量;
(2)进入电容器的平均功率;(3)电容器内损耗的瞬时功率和平均功率。
图题图题4.16解:
解:
(1)电容器中的电场mcoszzUuEeetdd=?
位移电流密度和传导电流密度dJ?
J?
分别为mdmsincoszzUEJetdUJEetdt=?
由于轴对称性,两板间的磁场只有e?
分量,且在以z轴为中心、为半径的圆周上处处相等,于是由CddCSSDHlJSStd=+?
可得22mm2cossinUUHtddt=所以m(cossin)2UHettd=?
mmm222(cos)(cossin2cossin222zUUSEHetettddUettd)=?
mm2222av20022d()cossin222224USStetdUed=?
dtt
(2)进入电容器的平均功率为mmavavavavav2222ddd242zzSSSSPSSSeSSeSSeUaaUaddd=+=?
dS?
下上柱()面(3)损耗功率瞬时值为Pmmm2222222222dcosdcoscosVVUUaUPEVtVtadddd2t=平均损耗功率为avPm222av0d22aUPPtd=由此可见,有。
avavPP=4.17已知真空中两个沿方向传播的电磁波的电场为zj11mj()22meekzxkzyEeEEeE=?
其中为常数、00k=。
证明:
总的平均坡印廷矢量等于两个波的平均坡印廷矢量之和。
证:
证:
由0jEH=?
得磁场复矢量j01111000jj()ekzzyHEeEeEz=?
mj()02222m000jj()ekzzxHEeEeEz=?
所以平均坡印廷矢量1m*j0av1111m1m020011ReReee2212kzkzxyzSEHeEeEeEj=?
2m*j()0av2222m2m020011ReReee2212kzkzyxzSEHeEeEeEj()=?
合成波电场和磁场复矢量jj()121m2mj()j00122m1m00eeeekzkzxykzkzxyEEEeEeEHHHeEeE=+=+=+=+?
所以平均坡印廷矢量1m2m*av*jj()j()j001m2m2m1m0022001Re21Re(ee)ee21()2kzkzkzkzxyxyzSEHeEeEeEeEeEE=+=+?
由此可见。
avav1av2SSS=+?
4.18试证明电磁能量密度221122wEH=+?
和坡印廷矢量SEH=?
在下列变换下都具有不变性:
1cossinEEH=+?
,11sincosHEH=+?
其中为常数、=。
证:
证:
(1)2211111112222EHEEH1H+=+?
22222cossin2cossin2EHEH=+?
2222211sincos2cossin2EHEH+?
由于=,则2=及2/=,故有2221111112222EHE+=+?
2H?
(2)111(cossin)(sincos)EHEHEH=+?
221cos()()sinEHHEEH=+=?
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