彭代渊王玲-信息论与编码理论-第七章习题解答.pdf
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信息论与编码理论1第第7章章线性分组码线性分组码1.已知一个(5,3)线性码C的生成矩阵为:
11001G0110100111
(1)求系统生成矩阵;
(2)列出C的信息位与系统码字的映射关系;(3)求其最小Hamming距离,并说明其检错、纠错能力;(4)求校验矩阵H;(5)列出译码表,求收到r=11101时的译码步骤与译码结果。
2设(7,3)线性码的生成矩阵如下010101000101111001101G
(1)求系统生成矩阵;
(2)求校验矩阵;(3)求最小汉明距离;(4)列出伴随式表。
3已知一个(6,3)线性码C的生成矩阵为:
.011100110010101001G
(1)写出它所对应的监督矩阵H;
(2)求消息M=(101)的码字;(3)若收到码字为101010,计算伴随式,并求最有可能的发送码字。
4设(6,3)线性码的信息元序列为x1x2x3,它满足如下监督方程组000631532421xxxxxxxxx
(1)求校验矩阵,并校验10110是否为一个码字;
(2)求生成矩阵,并由信息码元序列101生成一个码字。
信息论与编码理论2习题答案习题答案1.已知一个(5,3)线性码C的生成矩阵为:
11001G0110100111
(1)求系统生成矩阵;
(2)列出C的信息位与系统码字的映射关系;(3)求其最小Hamming距离,并说明其检错、纠错能力;(4)求校验矩阵H;(5)列出译码表,求收到r=11101时的译码步骤与译码结果。
解:
(1)线性码C的生成矩阵经如下行变换:
23132110011001101101011010011100111100111001101101010100011100111将第、加到第行将第加到第行得到线性码C的系统生成矩阵为111000101011001SG
(2)码字),(110ncccc的编码函数为111000101011001)(210mmmmfc生成了的8个码字如下信息元系统码字0000000000100111010010100110110110010011101101001101100111111110(3)最小汉明距离d=2,所以可检1个错,但不能纠错。
信息论与编码理论3(4)由,)()(knTknkknkknIAHAIG,得校验矩阵1010101111H(5)消息序列m=000,001,010,011,100,101,110,111,由c=mGs得码字序列c0=00000,c1=00111,c2=01010,c3=01101,c4=10011,c5=10100,c6=11001,c7=11110则译码表如下:
0000000111010100110110011101001100111110100001011111010111010001100100010010111001000011110001000101110111110010001101100000100110010110110010010101011100011111当接收到r=(11101)时,查找码表发现它所在的列的子集头为(01101),所以将它译为c=01101。
2设(7,3)线性码的生成矩阵如下010101000101111001101G
(1)求系统生成矩阵;
(2)求校验矩阵;(3)求最小汉明距离;(4)列出伴随式表。
解:
(1)生成矩阵G经如下行变换1323010101010011010010111001011110011010101010100110110011010010111010101001010100010111交换第、行交换第、行得到系统生成矩阵:
100110101010100010111SG
(2)由,)()(knTknkknkknIAHAIG,得校验矩阵为信息论与编码理论41101000101010001100101010001H(3)由于校验矩阵H的任意两列线性无关,3列则线性相关,所以最小汉明距离d=3。
(4)(7,3)线性码的消息序列m=000,001,010,011,100,101,110,111,由c=mGs得码字序列:
c0=0000000,c1=0010111,c2=0101010,c3=0111101,c4=1001101,c5=1011010,c6=1100111,c7=1110000。
又因伴随式有24=16种组合,差错图样为1的有771种,差错图样为2的有7212种,而由TTHrHe,则计算陪集首的伴随式,构造伴随表如下:
伴随式陪集首伴随式陪集首000000000000101100100011011000000100110001001010010000011110011000011100100001100000110010000001000111001001000100000010010110100001001000000100011001010000010000001011000001103已知一个(6,3)线性码C的生成矩阵为:
.011100110010101001G
(1)写出它所对应的监督矩阵H;
(2)求消息M=(101)的码字;(3)若收到码字为101010,计算伴随式,并求最有可能的发送码字。
解:
(1)线性码C的生成矩阵G就是其系统生成矩阵GS,所以其监督矩阵H直接得出:
101100011010110001H信息论与编码理论5
(2)消息M=(m0,m1,m2)=(101),则码字c为:
()100101001110101011cfm(3)收到码字r=(101010),则伴随式101011110101010001100010001TrH又(6,3)线性码的消息序列m=000,001,010,011,100,101,110,111,由c=mGs得码字序列:
c0=000000,c1=001110,c2=010011,c3=011101,c4=100101,c5=101011,c6=110110,c7=111000。
伴随式有23=8种情况,则计算伴随式得到伴随表如下:
伴随式陪集首000000000101100000011010000110001000100000100010000010001000001111100010伴随式(001)对应陪集首为(000001),而c=r+e,则由收到的码字r=(101010),最有可能发送的码字c为:
c=(101011)。
4设(6,3)线性码的信息元序列为x1x2x3,它满足如下监督方程组000631532421xxxxxxxxx
(1)求校验矩阵,并校验10110是否为一个码字;
(2)求生成矩阵,并由信息码元序列101生成一个码字。
解:
(1)由监督方程直接得监督矩阵即校验矩阵为:
信息论与编码理论6110100011010101001H因为收到的序列10110为5位,而由(6,3)线性码生成的码字为6位,所以10110不是码字。
(2)由,)()(knTknkknkknIAHAIG,则生成矩阵为:
100101010110001011SGG信息码元序列M=(101),由c=mGs得码字为c:
012100101010110001011101110cmmm
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