《复数的概念》说课稿.pdf
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周刊2010年第16期一、教材分析
(一)地位与作用。
复数的概念是复数的第一课时,在实数的基础上;进一步研究X2=-1而得到复数系。
复数在近、现代科学中发挥着极其重要的作用。
如,流体力学、热力学、机翼理论的应用;渗透到代数学、数论、微分方程等数学分支。
复数在理论物理、弹性力学、天体力学等方面得到了广泛应用,是现代人才必备的基础知识之一。
复数在高考中的地位逐渐下降:
题量减少,难度降低。
通常就考一题,或者是客观题,或者是主观题,均为中低档难度题。
复数的概念与代数的运算是本章的基础知识,也是高考的必考内容。
(二)教学目标。
1.知识要求。
(1)了解引入复数的必要性,理解复数的有关概念。
(2)使学生初步体会i2=-1的合理性。
(3)使学生会对复数系进行简单的分类。
2.能力要求。
在培养学生类比、转化的数学思想方法的过程中,提高学生学习能力。
3.育人因素。
培养学生科学探索精神和辩证唯物主义思想。
(三)教学重、难点。
1.重点。
复数的有关概念。
2.难点。
对i和复数定义的理解。
二、学生分析由于复数是从实数的基础上进一步扩充数系。
因此,学生对学习复数的概念存在有不同于实数概念的差异。
学生在教师的引导下能基本掌握本节知识。
本班学生层次为理科基础班、基础较差,所以讲解过程不宜较多展开,要简明扼要地让学生掌握复数的概念,特别是i的规定。
三、教学法
(一)教法。
目标教学法、讨论法;学法:
归纳讨论练习。
(二)教学手段。
多媒体电脑与投影机。
四、教学过程
(一)引入部分。
1.教师引入内容:
因生产和科学发展的需要数集在逐步扩充,数集的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾。
但是,数集扩到实数集R以后,像x2=-1这样的方程还是无解的,因为没有一个实数的平方等于-1。
由于解方程的需要,人们引入了一个新数i,叫做虚数单位,并由此产生的了复数。
由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作,此概念逐渐为数学家所接受。
复数有多种表示法,诸如向量表示、三角表示、指数表示等。
它满足四则运算等性质。
它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具。
2.学生对此部分内容在了解的基础上要能够产生学习复数的兴趣和好奇心。
(二)概念讲解部分(此过程应按部就班,层层递进)。
1.虚数单位i。
(1)它的平方等于-1,即i2=-1。
(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立。
如:
ai+bi=(a+b)i,ai-bi=(a-b)i,aibi=abi=-ab,ai/bi=a/b(b0)。
2.与-1的关系。
i就是-1的一个平方根,即方程x2=-1的一个根,方程x2=-1的另一个根是-i。
3.i的周期性。
i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1。
此部分由学生发现得到。
4.复数的定义。
形如a+bi(a,bR)的数叫复数,a叫复数的实部,b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示。
5.复数的代数形式。
复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,bR),把复数表示成a+bi的形式,叫做复数的代数形式。
6.复数与实数、虚数、纯虚数,以及0的关系。
对于复数a+bi(a,bR),当且仅当b=0时,复数a+bi(a、bR)是实数a;当b0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0。
7.复数集与其它数集之间的关系(由学生讨论得到)。
N芴Z芴Q芴R芴C.8.两个复数相等的定义。
如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等。
这就是说,如果a,b,c,dR,那么a+bi=c+di圳a=c,b=d。
复数相等的定义是求复数值,在复数集中解方程的重要依据。
一般的,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小。
如3+5i与4+3i不能比较大小。
现有一个命题:
“任何两个复数都不能比较大小”对吗?
不对如果两个复数都是实数,就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小。
如3+5i与4+3i不能比较大小。
复数不能比较大小的一种解释:
例如:
i与0能不能比较大小?
(1)如果i0,那么ii0i,即-10。
(2)如果i0,那么-i0,(-i)20(-i),即-10。
(三)典例剖析(重引导,由学生比较概念得到结论)。
例1.请说出复数2+3i,-3+12i,-13i,-3%姨-5%姨i的实部和虚部,有没有纯虚数?
答:
它们都是虚数,它们的实部分别是2,-3,0,-3%姨;虚部分别是3,12,-13,-5%姨;-13i是纯虚数。
例2:
实数m取什么值时,复数z=m+1+(m-1)i是:
(1)实数;
(2)虚数;(3)纯虚数。
复数的概念说课稿(甘肃省金昌市金川公司一中,甘肃金昌737100)夏朝晖数学教学与研究922010年第16期周刊解:
(1)当m-1=0,即m=1时,复数z是实数;
(2)当m-10,即m1时,复数z是虚数;(3)当m+1=0,且m-10时,即m=-1时,复数z是纯虚数。
例3:
已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x,yR,求x与y。
解:
根据复数相等的定义,得方程组2x-1=y,1=-(3-y),所以x=52,y=4。
(四)练习(达标)。
课后练习1、2。
(五)小结。
这节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质,复数的定义、实部、虚部,以及有关分类问题,复数相等的充要条件,等等。
基本思想是:
利用复数的概念,联系以前学过的实数的性质,对复数的知识有较完整的认识,以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题。
五、课后反思的三个方面
(一)学生对概念的掌握。
(二)数的发展和完善过程给学生的启示。
(三)学生对类比、转化的数学思想的掌握。
摘要:
随着新课程改革在全国全面展开,在数学教学中如何培养学生的创新意识就显得特别重要。
本文作者在圆锥曲线教学中,从抓基础、重阅读理解等四个方面对培养学生创新意识作了初步探讨,试图使圆锥曲线教学更适合新“课改”的理念。
关键词:
圆锥曲线教学培养创新意识创新意识是指人们根据社会和个体生活发展的需要,引起创造前所未有的事物或观念的动机,并在创造活动中表现出的意向、愿望和设想。
近几年的全国高考数学考试大纲提出,考试内容中能力要求之一是创新意识,即对新颖的信息、情境和设问,选择有效的方法和手段分析信息,综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法,进行独立的思考、探索和研究,提出解决问题的思路,创造性地解决问题。
这对高中学生数学创新意识的培养提出了较高的要求。
在圆锥曲线教学中如何培养高中生的数学创新意识呢?
我从以下几方面进行探讨。
1.牢固掌握数学基础知识是培养学生数学创新意识的前提所谓“推陈出新”是指有“陈”才有“新”。
在数学教学中的“陈”很大一部分包括的是数学基础知识。
在近年的普通高中全国统一高考试题中基础题占80%,这体现了掌握基础知识的重要性,只有牢固掌握数学基础知识,才能对数学有较深的理解,在数学上有所创新。
案例1.已知椭圆C:
x24+y22=1,直线l:
y=ax+b。
(1)请你具体给出a,b的一组值,使直线l和椭圆C相交。
(2)直线和椭圆C相交时,a,b应满足什么关系?
(3)若a+b=1,试判定直线l和椭圆C的位置关系。
问题
(1)是个开放题,此题设计使学生从形和数这两个角度思考后极易说出符合题意的的值(结果不唯一)。
问题
(1)让学生直观感受直线l和椭圆C相交的情形。
问题
(2)则旨在让学生探求直线和椭圆相交时的一般情形,是对问题
(1)的提升。
问题(3)的提出,是对问题
(1)
(2)的呼应。
它可以从“直线l过定点(1,1)”的几何角度去解,也可以利用
(2)的结果这个代数角度去解决。
旨在引导学生领悟:
处理直线和圆锥曲线的位置关系的方法,有代数方法与几何方法。
这3个问题是层层跃进,让学生“感受”了“从特殊到一般”再“从一般到特殊”的思维历程。
在此过程中,有的学生开始思考,提出了下列问题。
变式一:
已知a+b=1,直线l:
y=ax+b和椭圆C:
x24+y22=1交于A,B两点,%(请你添加条件),求直线l的方程。
变式二:
已知直线l:
y=ax+b和椭圆C:
x24+y22=1相切,若p圻=(a+1,b+2)与q圻=(1,k)共线,求k的取值范围。
此题涉及到的知识有韦达定理、弦长公式、中点坐标公式、两直线互相垂直的充要条件、点到直线的距离,等等。
只有掌握这些基础知识,学生的思维才能得到充分的锻炼。
2.提高学生数学阅读理解能力是培养学生创新意识的关键学生有了较强的数学阅读理解能力,就能正确理解题意,也就能产生创新思维,创新能力得到培养。
案例2:
(2009年高考北京理科卷,选择题第8题)点P在直线l:
y=x-1上,若存在过P的直线交抛物线y=x2于A,B两点,且|PA|=|AB|,则称点P为“点”,那么下列结论中正确的是(A)A.直线l上的所有点都是“点”B.直线l上仅有有限个点是“点”C.直线l上的所有点都不是“点”D.直线l上有无穷多个点(点不是所有的点)是“点”此题主要考查学生对“点”的理解,考查了学生的阅读理解能力,学生的学习潜力,学生分析问题和解决问题的能力,培养了学生的创新能力。
3.在圆锥曲线的教学中注重学生信息迁移的训练数学知识的信息迁移是培养学生创新意识的主要途径。
3.1概念的创新根据抛物线通径的定义,可对圆锥曲线的通径定义如下:
通过圆锥曲线的焦点,引轴的垂线,交圆锥曲线于P、Q两点,则线段PQ叫圆锥曲线的通径。
此概念主要是抓住了抛物线通径定义中的过焦点,引轴的垂线进行的创新。
3.2性质的创新如上定义,我们可得出椭圆的又一性质。
性质:
过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的焦点F垂直于长轴的直线l,l交椭圆于P、Q两点,过点P作关于直线l对称的直线l1,l2分别交椭圆于另外两点M、N,则直线MN平行于椭圆在Q点处的切线。
此性质是在圆锥曲线通径定义的基础上得出的,也是学在圆锥曲线教学中培养学生创新意识探究(遵义师范学院数学系,贵州遵义563000)庹中友数学教学与研究93
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