《常微分方程》(王高雄)第三版课后答案.pdf
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常微分方程习题常微分方程习题2.11.xydxdy2=,并求满足初始条件:
x=0,y=1的特解.解:
对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得:
eexxycyxxcycyxdxdyy22,11,0,ln,212=+=,0)1(.22=+dyxdxy并求满足初始条件:
x=0,y=1的特解.解:
对原式进行变量分离得:
。
故特解是时,代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时,两边同时积分得;当xycyxyxcycyxydydxxy+=+=+=+=+1ln11,11,001ln1,11ln0,11123yxydxdyxy321+=解:
原式可化为:
xxyxxyxyxyyxyccccxdxxdyyyxydxdy2222222232232)1
(1)1)(1(),0(ln1ln21ln1ln2111,0111=+=+=+=+=+)故原方程的解为(即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln,ln,lnln0110000)1()1(4=+=+=+=+xycyxxycyxxycyyxxdyyydxxxxyxyxdyyydxx故原方程的解为即两边积分时,变量分离是方程的解,当或解:
由:
10ln1lnln1ln1,0ln0)ln(ln:
931:
8.coslnsinln07lnsgnarcsinlnsgnarcsin1sgn11,)1(,6ln)1ln(21111,11,0)()(:
53322222222222cdxdydxdyxycyuduudxxxyudxxydyxyydxdyyxxcdyyyyydxdycxytgxdxctgydyctgxdytgydxcxxxycxxudxxxduxdxdudxduxudxdyuxyuxyydxdyxcxarctgudxxduuuudxduxudxduxudxdyuxyuxyxyxydxdydxxydyxyeeeeeeeexyuuxyxuuxyxyyxxx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+两边积分解:
变量分离:
。
代回原变量得:
则有:
令解:
方程可变为:
解:
变量分离,得两边积分得:
解:
变量分离,得:
也是方程的解。
另外,代回原来变量,得两边积分得:
分离变量得:
则原方程化为:
解:
令:
。
两边积分得:
变量分离,得:
则令解:
cxyxarctgcxarctgtdxdtdxdtdxdtdxdytyxdxdycdxdydxdyttyxeeeeexyxyyx+=+=+=+=+=+=+)(,11111,.11222)(代回变量得:
两边积分变量分离得:
原方程可变为:
则解:
令两边积分得:
解:
变量分离,122)(1yxdxdy+=解cxyxarctgyxcxarctgttdxdttttdxdtdxdtdxdytyx+=+=+=+)(1111222,代回变量,两边积分变量分离,原方程可变为,则令变量分离,则方程可化为:
令则有令的解为解:
方程组UUdXdUXUXYYXYXdXdYYyXxyxyxyxyxyxdxdyU2122222,31,3131,31;012,0121212.132+=+=+=+=.7)5(72177217)7(,71,1,525,14)5(22cxyxcxtdxdttttdxdtdxdtdxdytyxyxyxdxdyyxt+=+=+=+代回变量两边积分变量分离原方程化为:
则解:
令1518)14()1(22+=xyyxdxdy原方程的解。
,是,两边积分得分离变量,所以求导得,则关于令解:
方程化为cxyxarctgdxduuudxdudxdudxdyxuyxyxxyyyxxdxdy+=+=+=+=+=+=6)383232(941494141412)14(1818161222222162252622yxxyxydxdy+=解:
,则原方程化为,令uyxxyxydxdyxxyyxydxdy=+=+=323223323222322)(32
(2)(126326322222+=+=xuxuxxuxudxdu,这是齐次方程,令cxxyxycxyxycxxyxycxzzdxxdzdzzzzzxyxyzzzzzzzdxdzxdxdzxzzzdxdzxzdxduzxu15337333533735372233222)2()3(023)2()3,)2()3112062312306)1.(.1261263=+=+=+=+=+=+=+=的解为时。
故原方程包含在通解中当或,又因为即(,两边积分的(时,变量分离当是方程的解。
或)方程的解。
即是(或,得当,所以,则17.yyyxxxyxdxdy+=3232332解:
原方程化为123132;)123()132(2222222222+=+=yxyxdxdyyxyyxxdxdy令)1.(123132;,22+=uvuvdvduvxuy则方程组,);令,的解为(111101230132+=+=+uYvZuvuv则有+=+=+zyzydzdyyzyz23321023032)化为,从而方程(令)2.(.232223322,所以,则有ttdzdtzttdzdtztdzdtztdzdyzyt+=+=+=当是原方程的解或的解。
得,是方程时,即222222)2(1022xyxytt=当cxyxydzzdtttt5222222)2(12223022+=+=+两边积分的时,分离变量得另外cxyxyxyxy522222222)2(2+=+=原方程的解为,包含在其通解中,故,或,这也就是方程的解。
,两边积分得分离变量得,则原方程化为令解)(并由此求解下列方程可化为变量分离方程,经变换证明方程cyxxydxxduuuuuxuuuuxyxyxdxdyyxxdydxyxyuxyxyfdxdyyx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=4ln142241)22(1dxduuxy
(2)0.x,c2故原方程的解为原也包含在此通解中。
0y,c2即,c2两边同时积分得:
dxx12udu变量分离得:
),(2ux1dxdu则方程化为u,xy令1dxdyyx时,方程化为0sxy是原方程的解,当0y或0x当:
(1)解程。
故此方程为此方程为变u)(uf(u)x11)(f(u)xu1)y(f(u)dxduf(u),1dxduy1得:
ydxdudxdyx所以,dxdydxdyxy求导导得x关于u,xy证明:
因为22).2()1(.1)(18.222222222222224223322222222xyxyxyxyxuuuuyx19.已知f(x)=xxfxdtxf0)(,0,1)(的一般表达式试求函数.解:
设f(x)=y,则原方程化为=xydtxf01)(两边求导得12yyy=cxyycxdyydxdxdyy+=+=21;121;1;233所以两边积分得代入把cxy+=21=xydtxf01)(xyccxccxcxdtctx21,02)2(;2210=+=+=+所以得20.求具有性质x(t+s)=)()
(1)()(sxtxsxtx+的函数x(t),已知x(0)存在。
解:
令t=s=0x(0)=)0
(1)0()0(xxx+=)0()0
(1)0(2xxx若x(0)0得x2=-1矛盾。
所以x(0)=0.x(t)=)
(1)(0()()
(1)
(1)(lim)()(lim22txxtxtxttxtxttxttx+=+=+)
(1)(0()(2txxdttdx+=dtxtxtdx)0()
(1)(2=+两边积分得arctgx(t)=x(0)t+c所以x(t)=tgx(0)t+c当t=0时x(0)=0故c=0所以x(t)=tgx(0)t02411黄罕鳞(41)甘代祥(42)习题习题2.22.2求下列方程的解1dxdy=xysin+解:
y=edx(xsinedxcdx+)=ex-21ex(xxcossin+)+c=cex-21(xxcossin+)是原方程的解。
2dtdx+3x=et2为解:
原方程可化:
dtdx=-3x+et2所以:
x=edt3(et2edt3cdt+)=et3(51et5+c)=cet3+51et2是原方程的解。
3dtds=-stcos+21t2sin解:
s=etdtcos(t2sin21edtdt3c+)=etsin(+cdttettsincossin)=etsin(cetett+sinsinsin)=1sinsin+tcet是原方程的解。
4dxdynxxeynx=,n为数常.为解:
原方程可化:
dxdynxxeynx+=)(cdxexeeydxxnnxdxxn+=)(cexxn+=是原方程的解.5dxdy+1212yxx=0为解:
原方程可化:
dxdy=-1212+yxx=dxxxey212(cdxedxxx+221)21(ln2+=xe)(1ln2+cdxexx=)1(12xcex+是原方程的解.6dxdy234xyxx+=解:
dxdy234xyxx+=23yx+xy令xyu=则uxy=dxdy=udxdux+因此:
dxduxu+=2ux21udxdu=dxduu=2cxu+=331cxxu+=33(*)将xyu=带入(*)中得:
3433cxxy=是原方程的解.3332()21()227.
(1)12
(1)12(),()
(1)1
(1)()1
(1)dxPxdxxPxdxdyyxdxxdyyxdxxPxQxxxeexeQxdxcx+=+=+=+=+P(x)dx232解:
方程的通解为:
y=e=(x+1)(*(x+1)dx+c)=(x+1)(x+23221
(1)()211,()()dyyxcdyydxxydxxydyyyQyyyeyQydyc+=+=+2243P(y)dyP(y)dyP(y)dy1)dx+c)=(x+1)即:
2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。
8.=x+y解:
则P(y)=e方程的通解为:
x=ee2331*)22ydycyycyy+=y(=即x=+cy是方程的通解,且y=0也是方程的解。
()()()19.,1),()()01adxPxdxaxPxdxPxdxaadyayxadxxxaxPxQxxxeexeeQxdxcaa+=+=+=为常数解:
(方程的通解为:
y=1x+1=x(dx+c)xx当时,方程的通解为y=x+ln/x/+c当时,方程01aaaa的通解为y=cx+xln/x/-1当,时,方程的通解为x1y=cx+-1-3331()()()310.11(),()1()(*)dxPxdxxPxdxPxdxdyxyxdxdyyxdxxPxQxxxeexeeQxdxcxxdxccxcx+=+=+33解:
方程的通解为:
y=1=xx=4x方程的通解为:
y=4()()()223333233232332311.2()2()()2,()2()
(2)pxxdxxpxpxxdyxyxydxxyxydxxyxydxxyxdxyzdzxzxdxPxxQxxedxeeedxedxQxdxcex+=+=+=+=+=+23-2xdy解:
两边除以ydydy令方程的通解为:
z=e222)11)1,0xxdxcceycey+=22=x故方程的通解为:
(x且也是方程的解。
22212111()()222ln112.(ln2)424ln2ln2ln22ln2ln(),()()ln1()(PxdxPxdxdxdxxxcxyxydxxdyxdyxyydxxxydyxyydxxxdyxydxxxyzdzxzdxxxxPxQxxxzeeQxdxcxzeedxcxx=+=+=+=解:
两边除以令方程的通解为:
222ln()ln1424ln1:
()1,424xdxcxxcxxcxyx+=+=方程的通解为且y=0也是解。
13222
(2)2122xydyyxdxdyyxydxxyxy=这是n=-1时的伯努利方程。
两边同除以1y,212dyyydxx=令2yz=2dzdyydxdx=22211dzyzdxxx=P(x)=2xQ(x)=-1阶线由一性方程的求解公式22()dxdxxxzeedxc=+=2xxc+22yxxc=+1423ydyexdxx+=两边同乘以ye22()3yyydyexeedxx+=令yez=ydzdyedxdx=222233dzzxzzzdxxxx+=+这是n=2时的伯努利方程。
两边同除以2z22131dzzdxxzx=+令1Tz=21dTdzdxzdx=231dTTdxxx=+P(x)=3xQ(x)=21x阶线由一性方程的求解公式3321()dxdxxxTeedxcx=+=321()2xxc+=1312xcx+131()12zxcx+=131()12yexcx+=2312yyxecex+=2312yxxec+=15331dydxxyxy=+33dxyxyxdy=+这是n=3时的伯努利方程。
两边同除以3x3321dxyyxdyx=+令2xz=32dzdxxdydy=3222dzyydyx=322yzyP(y)=-2yQ(y)=32y阶线由一性方程的求解公式223
(2)ydyydyzeyedyc=+=223
(2)yyeyedyc+=221yyce+222
(1)1yxyce+=22222
(1)yyyxeycee+=22222
(1)yexxycx+=16y=xe+0()xytdt()xdyeyxdx=+xdyyedx=+P(x)=1Q(x)=xe阶线由一性方程的求解公式11()dxdxxyeeedxc=+=()xxxeeedxc+=()xexc+0()()xxxxexceexcdx+=+c=1y=()xexc+17设数函(t)于t=kvktkdtdvm即:
(*)(12tmkvmkdtdv+=(*)式为一阶非齐线性方程,根据其求解公式有)(221cdtetmkeVdtmkdtmk+=)(22222121cekmketkketmktmktmk+=又当t=0时,V=0,故c=221kmk因此,此质点的速度与时间的关系为:
)(2212212kmtkkekmkVtmk+=36.解下列的黎卡提方程
(1)xxxeyeyey2212=+解:
原方程可转化为:
(*),2322xxxxeeyeyey+=观察得到它的一个特解为:
xey=,设它的任意一个解为zeyx+=,代入(*)式得到:
(*)
(2)()(322xxxxxxxeezeezeedxzed+=+由(*)-(*)得:
2zedxdzx=变量分离得:
dxezdzx=2两边同时积分:
cezx+=1即:
cezx+=1故原方程的解为xxecey+=1
(2)xxxyyy22sincossin2=+解:
原方程可化为:
xxxyyy22sincossin2+=由观察得,它的一个特解为xysin=,设它的任意一个解为zxy+=sin,故22)sin2sin2(zzzxxdxdz=+=变量分离再两边同时积分得:
cxz+=1即cxz+=1故原方程的解为cxxy+=1sin(3)1222+=xyyxyx解:
原方程可化为:
2211xyxyy+=由观察得到,它的一个特解为xy1=,设它的任一个解为zxy+=1,故21zzxdxdz+=,该式是一个2=n的伯努利方程两边同除以2z得到:
11112+=zxdxdzz即:
1111=zxdxzd,令uz=1,则:
11=uxdxdu,根据一阶非齐线性方程的求解公式得:
=+=|)|()(11xencxcdxeeudxxdxx故:
|)|(1xencxz=因此:
原方程的解为:
1|1=xencxy(4)1)(422=yyx解:
原方程可化为:
2241xyy+=由观察得到,它的一个特解为xy21=,设它的任一个解为zxy+=21,于是21zzxdxdz+=,这是2=n的伯努利方程两边同除以2z得到:
11112+=zxdxdzz即:
1111=zxdxzd则:
=+=|)|()(111xencxceezdxxdxx即:
|)|(1xencxz=故:
原方程的解为:
1|22=xencxy(5)2)(22=+yyx解:
原方程可化为:
222xyy+=由观察得,它的一个特解为xy1=,故设它的任一个解为zxy+=1,于是22zzxdxdz=,这是2=n的伯努利方程两边同除以2z得到:
11212=zxdxdzz即:
1121+=zxdxzd则:
+=+=)3
(1)(13222cxxcdxeezdxxdxx故:
原方程的解为:
xcxxy1332+=,即332xccxxy+=.(6)0)2(22=+xyyx解:
原方程可化为:
2244xyxyy+=由观察得到它的一个特解为xy1=,设它的任一个解为zxy+=1,于是22zzxdxdz=,这是2=n的伯努利方程两边同除以2z得到:
11212=zxdxdzz即:
1121+=zxdxzd则:
+=+=)3
(1)(13222cxxcdxeezdxxdxx从而:
+=)(122cdxeezdxxdxx)3(132cxx+=故原方程的解为:
)(4313332cxxcxcxxxy+=+=即:
)(433cxxcxxy+=(7)xyxyxy+=)21()1(2解:
由观察得到它的一个特解为1=y,故设它的任一个解为zy+=1,于是2)1(zxzdxdz+=,这是n=2的佰努利方程,两边同除以2z得:
)1(112+=xzdxdzz即:
)1(11xzdxzd+=从而:
)1(1cdxexezdxdx+=xxxcexcxee+=+=)(故原方程的解为:
xcexzy+=+=111习题3.1习题3.11求方程1求方程dxdy=x+y=x+y2通过点(0,0)的第三次近似解;通过点(0,0)的第三次近似解;解:
取0)(0=x200200121)()(xxdxdxyxyxxx=+=522200210220121)21()()(xxdxxxdxxxyxxx+=+=+=dxxxxyxx)20121()(252003+=1185244001160120121xxxx+2求方程2求方程dxdy=x-y=x-y2通过点(1,0)的第三次近似解;通过点(1,0)的第三次近似解;解:
令0)(0=x则200200121)()(xxdxdxyxyxxx=+=522200210220121)21()()(xxdxxxdxxxyxxx=+=dxxxxyxx)20121()(252003+=1185244001160120121xxxx+3题求初值问题:
3题求初值问题:
=0)1(2yxdxdyR:
R:
1+x1,1,y1的解的存在区间,并求解第二次近似解,给出在解的存在空间的误差估计;解:
1的解的存在区间,并求解第二次近似解,给出在解的存在空间的误差估计;解:
因为M=max22yx=4则h=min(a,Mb)=41则解的存在区间为0xx=)1(x=1+x41令)(0X=0;)(1x=y0+xxx0)0(2dx=31x3+31;)(2x=y0+)3131(2132+xxxdx=31x3-9x-184x-637x+4211又yyxf),(2=L则:
误差估计为:
)()(2xx322)12(*hLM+=24114题讨论方程:
4题讨论方程:
3123ydxdy=在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,并求通过点(0,0)的一切解;在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,并求通过点(0,0)的一切解;解:
因为yyxf),(=3221y在y0上存在且连续;而3123y在y0?
上连续由3123ydxdy=有:
y=(x+c)23又因为y(0)=0所以:
y=x23另外y=0也是方程的解;故方程的解为:
y=00023xxx或y=0;6题证明格朗瓦耳不等式:
设K为非负整数,f(t)和g(t)为区间6题证明格朗瓦耳不等式:
设K为非负整数,f(t)和g(t)为区间t上的连续非负函数,上的连续非负函数,且满足不等式:
且满足不等式:
f(t)f(t)k+k+tdssgsf)()(,t则有:
f(t)则有:
f(t)kexp(kexp(tdssg)(),),t证明:
令R(t)=tdssgsf)()(,则R(T)=f(t)g(t)R(T)-R(t)g(t)=f(t)g(t)-R(t)g(t)kg(t)R(T)-R(t)g(t)kg(t);两边同乘以exp(-tdssg)()则有:
R(T)exp(-tdssg)()-R(t)g(t)exp(-tdssg)()kg(t)exp(-tdssg)()两边从到t积分:
R(t)exp(-tdssg)()-tdsskg)(exp(-tdrrg)()ds即R(t)tdsskg)(exp(-tsdrrg)()ds又f(t)1k+R(t)k+ktsg)(exp(-tsdrrg)()dsk(1-1+exp(-tsdrrg)()=kexp(stdrrg)()即f(t)ktdrrg)(;7题假设函数f(x,y)于(x7题假设函数f(x,y)于(x0,y,y0)的领域内是y的不增函数,试证方程)的领域内是y的不增函数,试证方程dxdy=f(x,y)满足条件y(x=f(x,y)满足条件y(x0)=y)=y0的解于x的解于xxx0一侧最多只有一个解;证明:
假设满足条件y(x一侧最多只有一个解;证明:
假设满足条件y(x0)=y)=y0的解于x的解于xxx0一侧有两个一侧有两个(x),(x),(x)(x)则满足:
则满足:
(x)=y0+xxxxf0)(,(dx(x)=y0+xxxxf0)(,(dx不妨假设(x)?
(x),则(x)-(x)0而(x)-(x)=xxxxf0)(,(dx-xxxxf0)(,(dx=xxxxfxxf0)(,()(,(dx又因为f(x,y)在(x0,y0)的领域内是y的增函数,则:
f(x,(x)-f(x,(x)0则(x)-(x)=xxxxfxxf0)(,()(,(dx0则(x)-(x)0所以(x)-(x)=0,即(x)=(x)则原命题方程满足条件y(x0)=y0的解于xx0一侧最多只有一个解;习题3.4
(一)、解下列方程,并求奇解(如果存在的话):
1、422+=dxdyxdxdyxy解:
令pdxdy=,则422pxxpy+=,两边对x求导,得dxdppxxpdxdpxpp3244222+=()02213=+pdxdpxxp从0213=+xp得0p时,2343,21pypx=;从02=+pdxdpx得222,cpcypcx+=,0p为参数,0c为任意常数.经检验得+=222cpcypcx,(0p)是方程奇解.2、2=dxdyyx解:
令pdxdy=,则2pxy+=,两边对x求导,得dxdppp21+=ppdxdp21=,解之得()cppx+=21ln2,所以()cpppy+=221ln2,且y=x+1也是方程的解,但不是奇解.3、21+=dxdydxdyxy解:
这是克莱洛方程,因此它的通解为21ccxy+=,从=+=01122ccxccxy中消去c,得到奇解21xy=.4、02=+ydxdyxdxdy解:
这是克莱洛方程,因此它的通解为2ccxy+=,从=+=022cxccxy中消去c,得到奇解042=+yy.5、022=+ydxdyxdxdy解:
令pdxdy=,则22pxpy+=,两边对x求导,得dxdppdxdpxpp222+=22=xpdpdx,解之得232+=cppx,所以1231+=cppy,可知此方程没有奇解.6、0123=dxdyydxdyx解:
原方程可化为21=dxdydxdyxy,这是克莱罗方程,因此其通解为21ccxy=,从=+=02132cxccxy中消去c,得奇解042732=+yx.7、21+=dx
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- 常微分方程 微分方程 高雄 第三 课后 答案