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例2如果六位数□8919□能被33整除,那么这个六位数是多少?
解:
设这个六位数为W,并且它的十万位上的数为x,个位上的数为y(也
就是W=x8919y)。
因为33=3×
11,3与11是互质数,所以根据整数的基本性质(3),可得如果W能被3、11整除,那么W就能被3×
11=33整除。
要使W能被3整除,必须使x+8+9+1+9+y=27+x+y能被3整除,因为27能被3整除,如果x+y也能被3整除,那么根据整数的基本性质
(1)可得27+x+y能被3整除,从而W能被3整除。
要使W能被11整除,必须使(9+9+x)-(y+1+8)=9+(x-y)能被11整除。
综合以上情况,得
x+y能被3整除⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
(1)
9+(x-y)能被11整除⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
(2)
因为x、y均是0~9中的整数(x≠0),所以,9+(x-y)=11,即x
=y+2。
当y=0、1、2、3、4、5、6、7时,x=2、3、4、5、6、7、8、9。
由
(1),可得y=2,x=4或y=5,x=7。
所以W=489192或789195。
这个六位数是489192或789195
例3下面这个41位数
55⋯⋯5□99⋯⋯9(其中5和9各有20个)能被7整除,那么中间方格内的数字是多少?
(1991年小学奥赛决赛题)解:
根据数的整除特征(6),555555,999999这两个数都能被7整除,
这样,18个5和18个9分别组成的十八位数,也都能被7整除。
原数=551
⋯5⋯
231200
⋯0+55□9900⋯0+99⋯9
3123123
23个018个018个9在这个和式中,第一部分与第三部分加数都能被7整除,所以只要第二部分加数中55□99能被7整除,也就是只要□99-55=□44能被7整除,原数就能被7整除,经试除得□内填6。
答:
中间方格内的数字是6。
说明:
由6个相同的数字所组成的六位数总能被7、11、13整除。
例4一个三位数的百位、十位、个位数字分别是5、a、b,将它接连重复写99次成为:
5ab5ab1
⋯⋯5ab
442
443
99个5ab
<
/PGN0064.TXT/PGN>
如果所成之数能被915ab整除,问:
这个三位数
是几?
解:
因为=5ab5ab
=×
5ab1001
×
5ab1000+5ab
5ab
11
,91
所以,由2个所得的数5ab
所得的数
能被5ab5ab91整除,进而可得由98个5ab
也能被91整除,因此:
原数=5ab5ab1
98个5ab
⋯⋯5ab×
1000+。
443
又由于原数能被整除,根据整数的基本91
整除。
98个5ab
性质()可得15ab能被91
因为91×
6=546,所以=5ab546。
这个三位数是5ab546。
例5三个质数的和为122,求这三个质数的乘积的最大值。
因为三个质数的和为122是偶数,所以这三个质数当中必定有一个
数是偶数,另外两个质数都是奇数。
在质数中,2是唯一的偶数,故三个质数中有一个质数是2。
另外两个质数的和为定值(120),为使这两个质数的乘积尽可能地大,就要使该两个质数的差值尽可能地小,因为1202÷
2=60,所以得到59和61两个质数,是和为120且差为最小的两个质数,它们的积也就最大。
综合以上情况,和为122的三个质数中,以2、59、61这三个质数的乘积最大,最大乘积为2×
59×
61=7198。
三个质数的乘积的最大值是7198。
注意“如果两个整数的和一定,那么当这两个数的差值尽可能小
时,其乘积最大”。
例如,和为11的两个整数有如下五种情况:
1+10、2+9、3+8、4+7、
5+6,相对应的乘积是10、18、24、28、30,通过比较,可得“和为11,其积最大的两个整数是5和6”。
例6如果325×
472+765×
895×
()的积的最后五个数字都是零,那么括号内填入的自然数最小可以是多少?
(上海市1989年小学六年级数学比赛题)解:
要使五个数的连乘积的最后五个数字都是0,这个连乘积一定是100000的倍数,把100000分解质因数:
100000=25×
55。
说明要使连乘积的末尾有五个零,因数中至少应该有五个2和五个5。
因为325=52×
13,765=3×
5×
51,
472=23×
59,895=5×
179
四个数的乘积里一共包含了4个5和3个2,必须要再乘以两个2和一个5,
所以括号里应填22×
5=20。
在括号内最小可以是20。
例7一个自然数能分解成3个质因数的积,如果这3个质因数的平方和是1710,求这个自然数。
设所求的自然数是N,把N分解质因数为
2
N=a1·
a2·
a3。
由题意得a1+a2+a3=1710,因为奇数(或偶数)的平方仍是奇
数(或偶数),而1710是偶数,所以这三个质数中一定有一个是偶数,在质数中,2是唯一的偶数。
假设a3=2,则a1、a2是奇数又是质数,且
22,又因为任何一个奇数的平方的个位数只能是、,
a1+a2=1710-2=170615
9、1加上5等于1706的个位数6,而个位数是5的质数只有一个是5,所以
a1、a2中一定有一个数是5,假设a2=5,则
2=1706-52=1681。
a1
402<1681<502。
找出40~50中个位数是1的质数,得a1=41。
所以N=2
41=410。
这个自然数是410。
例8360这个数的约数有多少个?
这些约数的和是多少?
(第三届华罗庚金杯赛决赛题)
把360分解质因数是:
360=23×
32×
5,所以360的任何一个约数都是从三个质数2、二个质数3、一个质数5中取若干个出来相乘得到的。
23的约数是1、2、4、8(或1、21、22、23);
32的约数是1、3、9(或1、31、32);
5的约数是1、5(或1、51)。
如果我们把下面的式子
(l+2+4+8)×
(1+3+9)×
(1+5)展开成一个和式,和式中的每一个加数都是在每个括号里各取一个数相乘的积。
由前面的分析可得,360的任一个约数都恰好是这个展开式中的一个加数。
由于第一个括号里有4个数,第二个括号里有3个数,第三个括号里有
2个数,所以这个展开式中的加数个数是4×
3×
2=24,这就是360的约数的总个数,这些约数是:
1×
1=1,2×
1=2,4×
1=4,8×
1=8,
5=5,2×
5=10,4×
5=20,8×
5=40,
1=3,2×
1=6,4×
1=12,8×
1=24,
5=15,2×
5=30,4×
5=60,8×
5=120,
9×
1=9,2×
1=18,4×
1=36,8×
1=72,
调5=45,2×
5=90,4×
5=180,8×
5=360。
(你能知道上面每个等式中,三个数相乘的由来吗?
)
另一方面,360的所有约数的和就等于这个展开式的和,也就是(1+21+22+23)
(1+31+32)×
(1+51)=1170。
360的约数有24个,这些约数的和是1170。
本题中的二个问题的解法具有一般性,并由此可以得出下面二个结论。
若自然数N可以分解质因数为:
N=am·
b5·
ct
(其中a、b、C为不同的质数,m、s、t为自然数),则
(1)自然数N的约数的总个数是(m+1)·
(s+1)·
(t+1);
(2)自然数N的所有约数的总和是
(1+a+a2+⋯+am)·
(1+b+b2+⋯bs)·
(1+c+c2⋯+c3)。
以上两个结论可以推广到一般的情况。
例9A、B两数都只含有质因数3和5,它们的最大公约数是75,已知A有12个约数,B有10个约数,那么A、B两数的最小公倍数是多少?
因为A、B两数都只含有质因数3和5,所以设A=3m·
5n,B=3s·
5t。
因为A、B两数的最大公约数是75=3×
52,所以,n≥2,t≥2。
又因为A有12个约数,根据例8后的说明可得(m+1)
·
(n-1)=12=(1十1)·
(5+1)=(2+1)·
(3+1)=(3+1)
(2+1)。
所以A有三种可能:
55或32×
53或33×
52。
同理,因为乙有10个约数,可得
(t+1)=10=(1十1)·
(4+1),所以B=3×
54=1875。
由于A、B的最大公约数是3×
52,所以A只能是33×
52=673。
这样可得A、B两数的最小公倍数是33×
54=16875。
A、B两数的最小公倍数是16875。
例10有8个不同约数的自然数中,最小的一个是多少?
设有8个不同约数的自然数为N,根据例8后的说明来分析N的取值可能性。
因为8=7+1=(1+1)·
(3+1)=(3+1)·
(1+1)=(1+l)·
(1+1)·
(1
+l),所以N只能为下面四种形式:
(1)N=a7(3)N=a3×
b
(2)N=a×
b3(4)N=a×
b×
C
(a、b、c为不同的质数)
要使N最小,可以用a=2,b=3,C=5去代入上面四个等式,分别得到N为128、54、24、30。
所以有8个不同约数的自然数中最小的一个是24。
最小的一个是24。
例116661
⋯66÷
7的余数是多少?
42
34
1990个6
(1990年宜兴市第五届小学生数学比赛题)解:
我们可以先试除一下,666666÷
7=95238,如果把连续六个6作为一组,1990÷
6=331(组)⋯⋯4,就是666⋯6可以分成组还多3314
1990个6
个6,即:
6661
⋯66=666666666666⋯666666×
10000+6666。
34123
1990个661个64一组4442
44443
1990个66个6一组
一共331个组
显然在这个和式中,第一部分加数能被7整除,因此66614
7的余4
234
1990个6
数等于6666÷
7的余数。
因为6666÷
7=952⋯⋯2,所以,所求的余数也是2。
余数是2。
例12把4到50的每个整数都除以4,余数是2的数共有多少个?
(日本小学数学比赛题)解:
先试除一下:
4除以4,余数为0;
5除以4,余数为1;
6除以4,余数为2;
7除以4,余数为3。
8、9、10、11除以4,余数分别为0、1、2、3。
由此可得,从4~50的每个整数都除以4,余数为
0,1,2,3,0,1,2,3,⋯⋯每四个余数“0,1,2,3”作为一个循环节。
因为4~50中共有50-4+
1=47个整数,47÷
4=11⋯⋯3,说明这47个整数都除以4后,一共有11个循环节,还有3个余数(0、1、2)。
所以,所求的余数共有1×
11+1=12个。
余数是2的数共有12个。
例13下列数中,除了第一个数和第二个数以外,每个数都等于它前面两个数的和:
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、⋯⋯。
问这列数中第1993个数被6除余几?
一方面,虽然我们根据已知的这列数中的写数规律能求出第1993个数是几,但毕竟太麻烦了。
另一方面,如果我们用6去除已知的这列数中的每个数得到的余数分别是:
1、1、2、3、5、2、1、3、4、1、5、0⋯⋯从这列数里也看不出它有什么规律。
我们考虑到6=2×
3,把被6除转化为被2除和被3除两步来考虑。
(1)将已知的每个数都除以2,所得的余数是:
1、1、0、1、1、0、1、1、0、1、1、0、⋯⋯
显然,每3个余数作为一个循环节。
因为1993÷
3=664⋯⋯1,所以,已知的这列数中的第1993个数除以2的余数是1。
同理:
(2)将已知的每个数都除以3,所得的余数是:
1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0⋯⋯
显然,每8个余数作为一个循环节。
因为
1993÷
8=249⋯⋯1,所以,已知的这列数中的第1993个数除以3的余数也是1。
设已知的数中第1993个数是a,则由
(1)、
(2)
得:
a=2q1+1①(q1是a除以2的商)
a=3q2+1②(q2是a除以3的商)
所以3q2=2q1,由于2q1是偶数,所以3q2也是偶数,因而得q2,必为偶数。
令a2=2k,代入②,得
a=3·
(2k)+1=6k+1,由此可得a破6除,余数是1。
这列数中第1993个数被6除余1。
例14(中国古代问题)今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物
几何?
这一问题可译为:
一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求适合这些条件的最小数。
解法1:
用枚举法。
(1)除以3余2的数有:
5、8、11、14、17⋯⋯;
(从第二个数起,每一个数都比它的前一个数多3)
(2)除以5余3的数有:
8、13、18、23、28、⋯⋯。
(从第二个数起,每一个数都比它的前一个数多5)
显然8被3除余2,且被5除余3。
因为3与5的最小公倍数是15,所以15+8、15×
2+8⋯⋯15×
n+8,都同时满足被3除余2,被5除余3这两个条件,只须在这列数中找到被7除余2的最小数。
为此只要用n=1、2、3、
4、⋯⋯依次去代入15×
n+8。
当n=1时,15×
1+8=23,23÷
7=3⋯⋯2所以符合题意的数是23。
解法2:
(1)从5和7的公倍数35、70、105⋯中找出除以3余2的最小数是35。
(2)从3和7的公倍数21、42、63、⋯中找出除以5余3的最小数是63。
(3)从3和5的公倍数15、30、45、⋯中找出除以7余2的最小数是
30。
所以35+63+30=128能符合“被3除余2、被5除余3、被7除余2”。
又因为3、5、7的最小公倍数是105,由此得符合题意的数是128-105
1=23。
适合这些条件的最小数是23。
这个问题是驰名中外的中国古代问题之一。
解答这类问题要用到
古代数学家孙子所发明的著名定理——“孙子定理”,它的解法很早就流传到国外,被称为“中国剩余定理”。
例15一个数减去1能被2整除,减去2能被5整除,减去3能被7整除,加上4能被9整除,这个数最小是多少?
(1990年江西省小学生“八一杯”数学比赛题)解:
(1)“减去1能被2整除”的数,可知这个数是奇数。
(2)“减去2能被5整除”的数,可知它的个位数是2或7。
(3)“减去3能被7整除”的数,可知这个数是10、17、24、⋯⋯同时符合
(1)、
(2)、(3)的数是17。
因为2、5、7的最小公倍数是70,所以同时符合
(1)、
(2)、(3)的数的一般式是70×
n+17。
又因为“一个数加上4能被9整除”相当于“一个数被9除不足4”,也就是“一个数被9除余9-4=5”。
所以用n=1、2、3、4、5、⋯⋯代入70
n+17,当n=6时,70×
6+17=437被9除余5,由此得符合题意的最小数是
437。
这个数最小是437。
例16幼儿园拿出一块长方体木料,长72厘米,宽60厘米,高36厘
米,请王师傅把它锯成同样大小的正方体木块,木块的体积要最大,木料又不能剩余,算一算,可以锯成几块?
(厦门市小学生1986年“从小爱数学”预赛题)解:
由题意可得王师傅要把原长方体木料锯成同样大小的正方体木块(体
积要最大),木料又不能剩余,那么锯成的正方体的棱长必须是长方体木料的长、宽、高的最大公约数。
72、60、36的最大公约数是2×
2×
3=12。
所以,能锯成最大正方体的木块数是6×
3=90(块)。
或(72×
60×
36)÷
(12×
12×
12)90(块)。
可以锯成90块。
练习六
1.五位数4A97A能被3整除,它的最末两位数字组成的7A又能被6整除,
求这个五位数?
2.某班全班有50人,上体育课时,男生横着正好站成两排,前排同学报数,先1、2、3、1、2、3⋯⋯报,再1、2、3、4、1、2、3、4⋯⋯报,最后
1、2、3、4、5、6、1、2、3、4、5、6、⋯⋯报,三次报数,末尾的同学都报2,这个班有男生多少人?
(1990年青岛市四方区小学数学比赛题)
3.被2、3、5除都余1,被7除能整除的最小数,各位数之和是多少?
(1990年长春市小学数学比赛题)
4.某个七位数1993□□□能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除,那么它的最后三位数是多少?
(1993年小学奥赛数学初赛(B)卷题)
5.222⋯⋯2除以13所得的余数是多少?
2000个2
(第五届《小学生数学报》初赛题)
6.三个质数的和是140,求这三个质数的乘积的最大值。
7.P为质数,P3+5,仍是质数,求P6+7的值。
{ewcMVIMAGE,MVIMAGE,!
16000100_0076_1.bmp}
8.右图有一个长方体,它的正面和上面的面积之和是209,如果它的长、宽,高都是质数,那么这个长方体的体积是多少?
(1991年小数奥赛决赛试题)
9.把20、26、33、35、39、42、44、55、91分成三组,使每组数相乘的积相等。
10.5397除以一个质数,所得的余数是15,这个质数是多少?
(1990年哈尔滨市第九届小学生数学比赛题)
11.棱长1米的正方体2100个,堆成了一个实心的长方体。
它的高10米,长、宽都大于高。
问长方体的长与宽的和是多少?
12.600的约数有多少个?
13.求具有15个约数的最小自然数,并求这个自然数的15个约数之和。
14.某自然数是3和4的倍数,包括1和本身在内共有10个约数,那么这自然数是多少?
(上海市1990年小学六年级数学比赛题)
15.已知:
a=199119911991⋯⋯
1
4442
4443
1991个1991
问:
a除以13所得余数是几?
(第三届“华罗庚金杯”赛决赛题)
16.有一个整数,用它去除63、91、129所得到的三个余数之和为25,这个整数是多少?
17.小张在计算有余数的除法时,把被除数113错写成131,结果商比原来多3,但余数恰巧相同。
那么该题的余数是多少?
(上海市1989年小学五年级数学比赛题)
18.70个数排成一行,除两头外,每个数的3倍恰好等于它两旁的两个数的和,这一行最左边的几个数是:
0、1、3、8、21、⋯⋯,求第70个数被6除余几?
19.一个数除以3余2,除以5余4,除以7余6,这个数最小是多少?
(1990年宜兴市第五届小学数学比赛题)
20.召开学生座谈会,每组5人,多3人;
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