2019-2020学年四川省成都七中高新校区八年级(下)期中数学试卷(解析版).doc
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2019-2020学年四川省成都七中高新校区八年级(下)期中数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.已知a>b,下列各式中,错误的是( )
A.a﹣3>b﹣3 B.5﹣a>5﹣b C.﹣a<﹣b D.a﹣b>0
2.关于命题:
“对顶角相等”,下列说法正确的是( )
A.有逆命题 B.有逆定理
C.它是假命题 D.以上说法都不正确
3.下列因式分解正确的是( )
A.3ax2﹣6ax=3(ax2﹣2ax) B.x2+y2=(﹣x+y)(﹣x﹣y)
C.a2+2ab﹣4b2=(a+2b)2 D.﹣ax2+2ax﹣a=﹣a(x﹣1)2
4.分式可变形为( )
A. B.﹣ C. D.﹣
5.关于y的方程的解正确的是( )
A.y=﹣2 B.y=2 C.y=﹣2或y=2 D.方程无解
6.不等式(a﹣3)x>1的解集是x<,则a的取值范围是( )
A.a<0 B.a>0 C.a>3 D.a<3
7.已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm,则该等腰三角形的周长是( )
A.7cm B.9cm
C.12cm或者9cm D.12cm
8.若2a﹣3b=﹣1,则代数式4a2﹣6ab+3b的值为( )
A.﹣1 B.1 C.2 D.3
9.n为正整数,若2an﹣1﹣4an+1的公因式是M,则M等于( )
A.an﹣1 B.2an C.2an﹣1 D.2an+1
10.小明用15元买售价相同的软面笔记本,小丽用24元买售价相同的硬面笔记本(两人的钱恰好用完),已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元,且小明和小丽买到相同数量的笔记本,设软面笔记本每本售价为x元,根据题意可列出的方程为( )
A.= B.= C.= D.=
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
11.已知y=,则x的取值范围是 .
12.若x2+mx+1是完全平方式,则m= .
13.如图,在△ABC中,AB=AC=3cm,AB的垂直平分线交AC于点N,△BCN的周长是5cm,则BC的长等于 cm.
14.当直线y=(2﹣2k)x+k﹣3经过第二、三、四象限时,则k的取值范围是 .
三、解答题(本大题共6小题,共54分)
15.解答题
(1)分解因式:
4a2﹣4.
(2)简便计算:
4.322﹣8.64×0.32+0.322.
16.计算:
(1).
(2)1﹣.
17.计算:
(1)求不等式组的整数解.
(2)解方程:
.
18.先化简,再求值.
(﹣1)÷,其中a=+1,b=﹣1.
19.已知:
如图,△ABC是等边三角形,点D在AB上,点E在AC的延长线上,且BD=CE,DE交BC于F,求证:
BF=CF+CE.
20.2014年5月28日,成都新二环迎来改造通车一周年的日子.在二环路的绿化工程中,甲、乙两个绿化施工队承担了某路段的绿化工程任务,甲队单独做要40天完成,若乙队先做30天后,甲、乙两队合作再做20天恰好完成任务,请问:
乙队单独做需要多少天能完成任务?
四、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
21.若m2﹣n2=12,且m﹣n=2,则m+n= .
22.已知关于x的不等式组只有2个整数解,则实数a的取值范围是 .
23.若关于x的方程有正根,则的取值范围是 .
24.如图,△ABC是一钝角三角形,∠ACB>90°,现以AC,BC为斜边向外作等腰直角三角形△ACN,△BCM,点D为AB边中点,连接DN,DM,MN,若DN=3,则MN= .
25.若一个正整数能表示为两个正整数的平方差,则这个正整数称为“智慧数”.例如:
16=52﹣32,16就是一个智慧数,在正整数中,从1开始,第20个智慧数是 .
五、解答题(本大题共3小题,共30分)
26.为了全面推进素质教育,增强学生体质,丰富校园文化生活,高新区某校将举行春季特色运动会,需购买A,B两种奖品,经市场调查,若购买A种奖品3件和B种奖品2件,共需60元:
若购买A种奖品1件和B种奖品3件,共需55元.
(1)求A、B两种奖品的单价各是多少元;
(2)运动会组委会计划购买A、B两种奖品共100件,购买费用不超过1160元,且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍,运动会组委会共有几种购买方案?
(3)在第
(2)问的条件下,设计出购买奖品总费用最少的方案,并求出最小总费用.
27.完成下列各题.
(1)问题背景,如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∠ABC的平分线交直线AC于点D,过点C作CE⊥BD,交直线BD于点E,请探究线段BD与CE的数量关系.
(2)类比探索,在
(1)中,若把BD改为△ABC的外角的平分线,其他条件不变(如图2),
(1)中的结论还成立吗?
若成立,请写出证明过程;若不成立,说明理由.
(3)拓展延伸,若AB=,其他条件均不变(如图3),请你探究BD与CE的数量关系.
28.如图
(1),Rt△AOB中,∠A=90°,∠AOB=60°,OB=2,∠AOB的平分线OC交AB于C,过O点作与OB垂直的直线ON.动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动,运动时间为t秒,同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动,当点P到达点O时P、Q同时停止运动.
(1)求OC、BC的长;
(2)设△CPQ的面积为S,求S与t的函数关系式;
(3)当P在OC上Q在ON上运动时,如图
(2),设PQ与OA交于点M,当t为何值时,△OPM为等腰三角形?
求出所有满足条件的t值.
参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.已知a>b,下列各式中,错误的是( )
A.a﹣3>b﹣3 B.5﹣a>5﹣b C.﹣a<﹣b D.a﹣b>0
【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可.
解:
A、∵a>b,∴a﹣3>b﹣3,正确;
B、∵a>b,3>0,∴﹣a<﹣b,∴5﹣a<5﹣b,故本选项错误;
C、∵a>b,∴﹣a<﹣b,正确;
D、∵a>b,∴a﹣b>0,正确.
故选:
B.
2.关于命题:
“对顶角相等”,下列说法正确的是( )
A.有逆命题 B.有逆定理
C.它是假命题 D.以上说法都不正确
【分析】写出对顶角相等的逆命题,判断即可.
解:
命题:
“对顶角相等”是真命题,C选项说法错误,不符合题意;
它有逆命题,它的逆命题是相等的角是对顶角,A选项说法正确,符合题意;
但其逆命题不正确,故它没有逆定理,B选项说法错误,不符合题意;
D选项说法错误,不符合题意;
故选:
A.
3.下列因式分解正确的是( )
A.3ax2﹣6ax=3(ax2﹣2ax) B.x2+y2=(﹣x+y)(﹣x﹣y)
C.a2+2ab﹣4b2=(a+2b)2 D.﹣ax2+2ax﹣a=﹣a(x﹣1)2
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可.
解:
A、3ax2﹣6ax=3ax(x﹣2),故此选项错误;
B、x2+y2,无法分解因式,故此选项错误;
C、a2+2ab﹣4b2,无法分解因式,故此选项错误;
D、﹣ax2+2ax﹣a=﹣a(x﹣1)2,正确.
故选:
D.
4.分式可变形为( )
A. B.﹣ C. D.﹣
【分析】直接利用分式的基本性质分析得出答案.
解:
分式可变形为:
﹣.
故选:
D.
5.关于y的方程的解正确的是( )
A.y=﹣2 B.y=2 C.y=﹣2或y=2 D.方程无解
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到y的值,经检验即可得到分式方程的解.
解:
去分母得:
y2﹣4+4=4y﹣8+4,
整理得:
y2﹣4y+4=0,即(y﹣2)2=0,
解得:
y1=y2=2,
经检验y=2是增根,原分式方程无解,
故选:
D.
6.不等式(a﹣3)x>1的解集是x<,则a的取值范围是( )
A.a<0 B.a>0 C.a>3 D.a<3
【分析】根据不等式的性质2,不等式的两边都除以一个负数,不等号的方向改变,得出a﹣3<0,求出即可.
解:
∵不等式(a﹣3)x>1的解集是x<,
∴a﹣3<0,
∴a<3,
故选:
D.
7.已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm,则该等腰三角形的周长是( )
A.7cm B.9cm
C.12cm或者9cm D.12cm
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4cm和2cm,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.
解:
①5cm为腰,2cm为底,此时周长为12cm;
②5cm为底,2cm为腰,则两边和小于第三边无法构成三角形,故舍去.
∴其周长是12cm.
故选:
D.
8.若2a﹣3b=﹣1,则代数式4a2﹣6ab+3b的值为( )
A.﹣1 B.1 C.2 D.3
【分析】将代数式4a2﹣6ab+3b变形后,整体代入可得结论.
解:
4a2﹣6ab+3b,
=2a(2a﹣3b)+3b,
=﹣2a+3b,
=﹣(2a﹣3b),
=1,
故选:
B.
9.n为正整数,若2an﹣1﹣4an+1的公因式是M,则M等于( )
A.an﹣1 B.2an C.2an﹣1 D.2an+1
【分析】根据多项式ma+mb+mc中,各项都含有一个公共的因式m,因式m叫做这个多项式各项的公因式,可得答案.
解:
因为2an﹣1﹣4an+1=2an﹣1(1﹣a2),
所以2an﹣1﹣4an+1的公因式是2an﹣1,即M=2an﹣1,
故选:
C.
10.小明用15元买售价相同的软面笔记本,小丽用24元买售价相同的硬面笔记本(两人的钱恰好用完),已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元,且小明和小丽买到相同数量的笔记本,设软面笔记本每本售价为x元,根据题意可列出的方程为( )
A.= B.= C.= D.=
【分析】直接利用用15元买售价相同的软面笔记本,小丽用24元买售价相同的硬面笔记本,得出等式求出答案.
解:
设软面笔记本每本售价为x元,
根据题意可列出的方程为:
=.
故选:
A.
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
11.已知y=,则x的取值范围是 x≥3 .
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件可得x﹣3≥0且x﹣2≠0,依此即可求解.
解:
由题意得:
x﹣3≥0且x﹣2≠0,
解得:
x≥3.
故答案为:
x≥3.
12.若x2+mx+1是完全平方式,则m= ±2 .
【分析】本题考查完全平方公式,这里根据首末两项是x和1的平方可得,中间一项为加上或减去它们乘积的2倍,即:
x=±2•x•1,由此得m=±2.
解:
由于(x±1)2,
=x2±2x+1,
=x2+mx+1,
∴m=±2.
故答案为:
±2.
13.如图,在△ABC中,AB=AC=3cm,AB的垂直平分线交AC于点N,△BCN的周长是5cm,则BC的长等于 2 cm.
【分析】由AB的垂直平分线交AC于点N,根据线段的垂直平分线的性质得到NA=NB,而BC+BN+NC=5cm,则BC+AN+NC=5cm,由AC=AN+NC=3cm,即可得到BC的长.
解:
∵AB的垂直平分线交AC于点N,
∴NA=NB,
又∵△BCN的周长是5cm,
∴BC+BN+NC=5cm,
∴BC+AN+NC=5cm,
而AC=AN+NC=3cm,
∴BC=2cm.
故答案为:
2.
14.当直线y=(2﹣2k)x+k﹣3经过第二、三、四象限时,则k的取值范围是 1<k<3 .
【分析】根据一次函数y=kx+b,k<0,b<0时图象经过第二、三、四象限,可得2﹣2k<0,k﹣3<0,即可求解;
解:
y=(2﹣2k)x+k﹣3经过第二、三、四象限,
∴2﹣2k<0,k﹣3<0,
∴k>1,k<3,
∴1<k<3;
故答案为1<k<3;
三、解答题(本大题共6小题,共54分)
15.解答题
(1)分解因式:
4a2﹣4.
(2)简便计算:
4.322﹣8.64×0.32+0.322.
【分析】
(1)直接提取公因式4,再利用平方差公式分解因式得出答案;
(2)直接利用完全平方公式分解因式得出答案.
解:
(1)原式=4(a2﹣1)
=4(a+1)(a﹣1);
(2)原式=(4.32﹣0.32)2
=16.
16.计算:
(1).
(2)1﹣.
【分析】
(1)先去括号,再约分计算即可;
(2)先因式分解,再约分即可求解.
解:
(1)
=﹣•[﹣(x+y)]
=﹣•+•(x+y)
=﹣+1
=1;
(2)1﹣
=1﹣(﹣)2×
=1﹣()2×
=1﹣(x2﹣x+1)
=﹣x2+x.
17.计算:
(1)求不等式组的整数解.
(2)解方程:
.
【分析】
(1)先解不等式组得﹣<x≤1,再由题意可求整数解为﹣1,0,1;
(2)先去分母,再去括号,解得x=﹣5,最后对所求的解进行检验即可.
解:
(1),
由①得,x>﹣,
由②得,x≤1,
∴不等式组的解集为﹣<x≤1,
∴不等式组的整数解为﹣1,0,1;
(2),
方程两边同时乘(x+2)(x﹣2),
得6﹣(x2﹣4)=﹣x(x+2),
去括号,得6﹣x2+4=﹣x2﹣2x,
解得x=﹣5,
经检验x=﹣5是方程的解,
∴原方程的解为x=﹣5.
18.先化简,再求值.
(﹣1)÷,其中a=+1,b=﹣1.
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子,然后将a、b的值代入即可解答本题.
解:
(﹣1)÷
=
=
=a+b,
当a=+1,b=﹣1时,原式=+1+﹣1=2.
19.已知:
如图,△ABC是等边三角形,点D在AB上,点E在AC的延长线上,且BD=CE,DE交BC于F,求证:
BF=CF+CE.
【分析】首先过点D作DM∥AC交BC于M,可得△BDE∽△BAC,由△ABC是等边三角形,可得△BDM是等边三角形,然后可证得△DMF≌△ECF,即可得FM=CF,BM=CE,继而证得BF=CF+CE.
【解答】证明:
过点D作DM∥AC交BC于M,
则△BDM∽△BAC,
∵△ABC是等边三角形,
∴△BDM是等边三角形,
∴BD=BM=DM,
∵BD=CE,
∴BM=DM=CE,
∵DM∥AC,
∴∠MDF=∠E,
在△DMF和△ECF中,
,
∴△DMF≌△ECF(AAS),
∴FM=CF,
∴BF=BM+FM=CF+CE.
20.2014年5月28日,成都新二环迎来改造通车一周年的日子.在二环路的绿化工程中,甲、乙两个绿化施工队承担了某路段的绿化工程任务,甲队单独做要40天完成,若乙队先做30天后,甲、乙两队合作再做20天恰好完成任务,请问:
乙队单独做需要多少天能完成任务?
【分析】设乙工程队单独做要x天才能完成任务,等量关系为:
甲20天的工作量+乙50天的工作量=1,把相关数值代入计算即可.
解:
设乙工程队单独做要x天才能完成任务,甲的速度为,乙的速度为,
由题意得:
+20(+)=1,
解得:
x=100,
经检验得x=100是原方程的根.
答:
乙工程队单独做要100天才能完成任务.
四、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
21.若m2﹣n2=12,且m﹣n=2,则m+n= 6 .
【分析】利用平方差公式将m2﹣n2分解,然后整体代入可得出m+n的值.
解:
由题意得,m2﹣n2=(m+n)(m﹣n)=12,
∵m﹣n=2,
∴可得(m+n)=6.
故答案为:
6.
22.已知关于x的不等式组只有2个整数解,则实数a的取值范围是 ﹣1<a≤0 .
【分析】首先解每个不等式,根据不等式组只有2个整数解,确定整数解的值,进而求得a的范围.
解:
,
解①得x≥a,
解②得x<2.
不等式组的解集是a≤x<2.
∵不等式组只有2个整数解,
∴整数解是0,1.
则﹣1<a≤0.
故答案是:
﹣1<a≤0.
23.若关于x的方程有正根,则的取值范围是 k>﹣且k≠﹣4 .
【分析】先解方程得x=3k+16,再由题意可得3k+16>0,3k+16≠4,3k+16≠k,即可求解.
解:
,
方程两边同时乘(x﹣4)(x+k),
得3(x+k)=4(x﹣4),
去括号,得3x+3k=4x﹣16,
解得x=3k+16,
∵方程的解是正数,
∴3k+16>0,
∴k>﹣,
∵3k+16≠4,3k+16≠k,
∴k≠﹣4,k≠﹣8,
∴k>﹣且k≠﹣4,
故答案为:
k>﹣且k≠﹣4.
24.如图,△ABC是一钝角三角形,∠ACB>90°,现以AC,BC为斜边向外作等腰直角三角形△ACN,△BCM,点D为AB边中点,连接DN,DM,MN,若DN=3,则MN= 3 .
【分析】延长MD至H,使DH=DM,连接HN,AH,由“SAS”可证△ADH≌△BDM,可得AH=BM=CM,∠DAH=∠DBM=∠DBC+45°,由“SAS”可证△NAH≌△NCM,可得MN=NH,∠ANH=∠CNM,由等腰直角三角形的性质可求解.
解:
如图,延长MD至H,使DH=DM,连接HN,AH,
∵△ACN,△BCM都是等腰直角三角形,
∴AN=CN,CM=MB,∠NAC=∠NCA=∠MCB=∠MBC=45°,
∵点D为AB边中点,
∴AD=BD,
在△ADH和△BDM中,
,
∴△ADH≌△BDM(SAS),
∴AH=BM=CM,∠DAH=∠DBM=∠DBC+45°,
∵∠ABC+∠CAB+∠ACB=180°,
∴∠ACB=180°﹣∠CAB﹣∠CBA,
∵∠DCM=360°﹣∠ACB﹣∠NCA﹣∠MCB=90°+∠CAB+∠CBA,∠NAH=∠NAC+∠BAC+∠DAH=∠NAC+∠BAC+∠ABC+∠MBC=90°+∠CAB+∠CBA,
∴∠NAH=∠NCM,
在△NAH和△NCM中,
,
∴△NAH≌△NCM(SAS),
∴MN=NH,∠ANH=∠CNM,
∴∠ANC=∠HNM=90°,
又∵HD=DM,
∴ND=DM=3,DN⊥DM,
∴MN=3,
故答案为3.
25.若一个正整数能表示为两个正整数的平方差,则这个正整数称为“智慧数”.例如:
16=52﹣32,16就是一个智慧数,在正整数中,从1开始,第20个智慧数是 29 .
【分析】根据规律可知全部智慧数从小到大可按每三个数分一组,从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数.归纳可得第n组的第一个数为4n(n≥2),又因为20=3×6+2,所以第20个智慧数是第7组中的第2个数,从而得到4×7+1=29.
解:
∵第1个智慧数3=22﹣12,
第2个智慧数5=32﹣22,
第3个智慧数7=42﹣32,
第4个智慧数8=32﹣12,
第5个智慧数9=52﹣42,
第6个智慧数11=62﹣52,
第7个智慧数12=42﹣22,
第8个智慧数13=72﹣62,
第9个智慧数15=42﹣12,
第10个智慧数16=52﹣32,
第11个智慧数17=92﹣82,
第12个智慧数19=102﹣92,
…
∴可知全部智慧数从小到大可按每三个数分一组,从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数.
即第n组的第一个数为4n(n≥2),
∵20=3×6+2,
∴第20个智慧数位于第7组第2个数,
∵第7组的第1个智慧数为4×7=28,
∴第7组第2个数为29,即第20个智慧数为29,
故答案为:
29.
五、解答题(本大题共3小题,共30分)
26.为了全面推进素质教育,增强学生体质,丰富校园文化生活,高新区某校将举行春季特色运动会,需购买A,B两种奖品,经市场调查,若购买A种奖品3件和B种奖品2件,共需60元:
若购买A种奖品1件和B种奖品3件,共需55元.
(1)求A、B两种奖品的单价各是多少元;
(2)运动会组委会计划购买A、B两种奖品共100件,购买费用不超过1160元,且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍,运动会组委会共有几种购买方案?
(3)在第
(2)问的条件下,设计出购买奖品总费用最少的方案,并求出最小总费用.
【分析】
(1)设A种奖品的单价为x元,B种奖品的单价为y元,根据“若购买A种奖品3件和B种奖品2件,共需60元:
若购买A种奖品1件和B种奖品3件,共需55元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设运动会组委会购进m件A种奖品,则购进(100﹣m)件B种奖品,根据购买费用不超过1160元且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围,再结合m为正整数即可得出购买方案的个数;
(3)由A,B两种奖品单价间的关系,可找出购买奖品总费用最少的方案,再利用总价=单价×数量可求出最小总费用.
解:
(1)设A种奖品的单价为x元,B种奖品的单价为y元,
依题意,得:
,
解得:
.
答:
A种奖品的单价为10元,B种奖品的单价为15元.
(2)设运动会组委会购进m件A种奖品,则购进(100﹣m)件B种奖品,
依题意,得:
,
解得:
68≤m≤75,
75﹣68+1=8(种).
答:
运动会组委会共有8种购买方案.
(3)∵10<15,
∴A种奖品的单价较低,
∴当m=75时,购买奖品总费用最少,最少费用为10×75+15×(100﹣75)=1125(元).
答:
购买75件A种奖品,25件B种奖品时,购买奖品总费用最少,最少费用为1125元.
27.完成下列各题.
(1)问题背景,如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∠ABC的平分线交直线AC于点D,过点C作CE⊥BD,交直线BD于点E,请探究线段BD与CE的数量关系.
(2)类比探索,在
(1)中,若把BD改为△ABC的外角的平分线,其他条件不变(如图2),
(1)中的结论还成立吗?
若成立,请写出证明过程;若不成立,说明理由.
(3)拓展延伸,若AB=,其他条件均不变(如图3),请你探究BD与CE的数量关系.
【分析】
(1)延长CE、BA交于F点,先证明△BFC是等腰三角形,再根据等腰三角形的性质可得CF=2CE,然后证明△ADB≌△AFC可得BD=FC,进而证出BD=2CE;
(2)延长CE、AB交于点G,先利用ASA证明△GBE≌△CBE,得出GE=CE,则CG=2CE,再证明△DAB∽△GAC,根据相似三角形对应边的比相等及AB=AC即可得出BD=CG=2CE;
(3)同
(2),延长CE、AB交于点G,先利用ASA证明△GBE≌△CBE,得出GE=CE,则CG=2CE,再证明△DAB∽△GAC,根据相似三角形对应边的比相等及AB=nAC即可得出BD=CG=2nCE.
解:
(1)BD=2CE.理由如下:
如图1,延长CE、BA交于F点.
∵CE⊥BD,交直线BD于E,
∴∠FEB=∠CEB=90°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠1=∠2,
∴∠F=∠BCF,
∴BF=BC,
∵BE⊥CF,
∴CF=2CE.
∵△ABC中,AC=AB,∠A=90°,
∴∠CBA=45°,
∴∠F=(180﹣45)°÷2=67.5°,∠FBE=22.5°,
∴∠ADB=67.5°,
在△ADB和△AFC中,
,
∴△ADB≌△AFC(AAS),
∴BD=CF,
∴BD=2CE;
(2)结论BD=2CE仍然成立.理由如下:
如图2,延长CE、AB交于点G.
∵∠1=∠2,∠
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