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矢量期末复习题docx
矢量分析与场论复习题
注意题目中出现的exi,eyTj,ez
1.求下列温度场的等温线
1)T=xy,2)T=J,
x+y
解求等温线即设定相关的方程为常数,因此可得
C
(1)xy=Cfy=一;
(2)x2+y2=C
x'
1.求下列标量场的等值面
1)u=!
2)w=z-yjx2+y2,3)u=ln(x2+y2+z2)
ax+by+cz
解据题意可得
(1)ax+by-\-cz=k
(2)z_J*+〉,2=c,x2+y2=(z-c)2
(3)ln(x2+y2+z2)=c,x2+y2+z2=ec,x2+>j2+z2=k~
2.求矢量场A=xes+玖+2理经过点M(1.0,2.0,3.0)的矢量线方程。
解根据矢量线的定义,可得—-
xy2z
解微分方程,可得y=c【x,z=c2x2
将点M(L0,2.0,3.0)的坐标代入,可得q=2,c2=3即y=2x,z=3x2为所求矢量线方程。
3.求矢量场A=y2xex+x2Xv+)界阻的矢量线方程。
解根据矢量线的定义,可得芈=孚=半yxxyyz
解微分方程,可得x2-r=c,,z=c2x为所求矢量线方程。
4.设u(M)=3尢2-2)*+2兀z,求:
1)讥M)在点Mo(l.O,2.0,3.0)处沿矢量l=yxex+uey+xye:
方向的方向导数,
2)u(M)在点Mo(l.O,2.0,3.0)处沿矢量Z=(6x+2z)ex-2zey+(2z-2y+2x)ez方向的方向导数。
22解/的方向余弦为COS6Z=;=~^=,
722+32+22V17
3322
COSB={=~^=,COS7={=—^=;
a/22+32+22V17722+32+22V17
5.求标量场《=小十)2+"在点Mo(l.O,2.0,3.0)处沿其矢径方向的方向导数。
11
cosa=,=—=
a/12+22+32V14
6.设有标量场u=2xy-z2,求u在点(2.0,-1.0,1.0)处沿该点至(3.0,1.0,・1.0)方向的方向导数。
在点(2.0,-1.0,1.0)沿什么方向的方向导数达到最大值?
其值是多少?
解点(2.0,-1.0,1.0)至点(3.0,1.0,-1.0)的方向余弦为
当方向余弦均为1时,方向导数达到最大值,即沿G=-2“+4s-2®方向
导数达最大值,G=7(-2)2+42+(-2)2=724=2^6
7.求下列标量场的
1)u=2xy;2)u=x2+y2;3)u=eAsiny:
4)
u=x2y3z4;5)u=3x2-2y2+3z2
解
据
「dududu
dxdyydz.z
1)
Vw
=2yex+2xey
2)
Vw
=2xex+2yey
3)
Vh
v•.x
=esinyex+ecosyev
4)
Vw
=2xy3z4eA.+3x2y2^4ev+4x2y3z3e
5)
Vw
=6xex-4ye+6ze:
8・求标量场u=xy^-2x+x2y在点(—1.0,3.0,・2.0)处的梯度。
解Vu=(yz2-24-2xy)ex+(xz2+F»V+2xyze_,则所求梯度为
=(12-2-6>t+(-4+1>V+12乞=4ex-3ey+12乞
9.求标量场l心』)=3/+y2具有最大方向导数的点及方向,所求的点满足x2+/=lo(提示:
最大的方向导数就是在点(兀,y)处的梯度,模最大,口满足x2+/=l,即求条件极值。
)
解Vw=—ex+—ex=6xex+2yex,Vw=d36x2+4y2,将y=±J1
&労))v
代入,可得|W|=』36〒+4(1_讨=丁32宀4,即[Vn]2=32x2+4,当x=±l>y=0时,有|Vw|max=±6,即点(-1,0)和(1,0)为满足条件的点,乂%U))=—6j,▽血o)=6j,即最大方向导数的方向分别为±5
10.设r=xex+yey+ze.,r-|r|,“为正整数,
1)求"WW),
2)
证明▽(a«r)=a,(a是常矢量)
解1)V(r2)=V(x2+y2+z2)=2x^a.+2yey+2理=2r
2)2“(2叫+2竺+2"J
巧(厂)=广(厂)%=广(厂)厂》=广(厂)二
2)证明设a=axex+ayey+a.e.,贝tlar-axx^ayy^a_z,因此,可得V(a-r)=V(axx+ayy+a.z)=axex+axey+a.e:
,证毕。
11.设S为上半球面x2+y2+z2=^2(z>0),其法向单位矢量-与z轴的夹角为锐角,求矢量场厂二.叫+)s+z—沿乞所指的方向穿过S的通量。
(提示:
注意r与乞同向)
解将r=®+)s+“:
用球坐标表示,则在S面上有r=aen,因此,可得jr-d5=axZm2=2加'
12.求均匀矢量场A通过半径为/?
的半球面的通量。
(如图M所示)
解设半球面的方程为x2+y2+/=/(zno),则矢量A通过S面的通量等于矢量A通过S面在z=0的平面上的投影的通量,因此,=A加?
彳
13.计算曲而积分①
=jj(x2-2xy)dydz+(y2一2yz)dzdx+(z-2x+l)dxdy,其s
中S是球心在原点,半径为。
的球而外侧。
解设A=(x2-2xy)ex+(y2-2yz)ey+(z-2x+l)e:
,根据散度定理,可得
①=Jj(%2-2xy)dydz+(j
卩2-2yz)dzdx+(z-2兀+l)dxdy=月4•ds
+2y-2z+2z-2x+l)dv二彳加
14.求矢量场A从内穿出所给闭曲面S的通量:
1)A=x'ex+y3ev+z3e:
S为球面/+于+/=/
2)A=(兀一y+z)j+(y-z+x)0v+(z-兀+y)冬,S为椭球面
解1)根据散度定理,可得
月A-ds=j|J(V•A)dv=Jjj(3x2+3y2+3^2)dv=£3r2x4m2dr=—7ia5
SVV5
2)护出(1+1+l)dv=3x牛加be=4/iabc
15.求下列空间矢量场的散度:
1)A=(2z-3y)ex+(3x-z)ey+(y-2x)e.
2)A=(3x2-2yz)ex+(y3+yz2)ey+(xyz-3xz2)ez
何八V?
4%°久dA,
解1)V-A=—-+—-+—-=0
dxdydz
八l▲3AroAv6A_A9/
2)V-A=—+^—+—-=6兀+3)厂++xy-Gxz
dxdydz'
16.求div4在给定点处的值:
1)A=x3ex+y3ev在M(1.0,0.0,・1.0)处;
2)A=4xet-2xyev+z2e:
.,在M(1.0,1.0,3.0)处;
3)A=xyzr(r=xeK+yey+ze_)在M(1.0,3.0,2.0)处。
r}AnAriA
解1)竺=3〒+3y2+3z2,贝|J\7・a3+3=6
dxdydz
2)V-A=-^+—+-^=4-2x+2^,PliJV-A=4-2+6=8
dxdydzM
厂.8AxcAvdA_(\i
3)二頁+可+1=¥・呵4^+)$+%/,
=2xyz+2xyz+2xyz=6xyz
Kijv-A=6x1x3x2=36
M
17.求标量场W=x3/z2的梯度场的散度。
解Vw=学匕+学€、.+学s=3x2y4z2ev+4x3y3z2er+2x3y4ze.dxd)^y8z)、
V•Vm=6xy4z2+12x3y2z2+2x3y4=2xy2(3y2z2+6x2z2+x2y2)
18.已知液体的流速场
V=3x2ex+5xyey+xyz3ez,问点M(1.0,2.0,3.0)是否为源点?
解V-v=6x+5x+3^z2,由^Vvl^=65^0,所以M是源点。
19.已知点电荷如,%分别位TM,,M?
两点处,求从闭曲面S内穿出的电场强度通量屮°,其中S为:
1)不包含M|,M?
两点的任一闭曲面;
2)仅包含M]点的彳壬一闭曲面;
解
1)
3)同时包含MpM?
两点任一闭曲面。
据高斯通量定理,可得
屮e=月£・血=0
E-ds=-^-
£()
20.求矢量场A=-yex+cez(c为常数)沿下列曲线的环量
1)圆周x2+y2=R\z=0(旋转方向与z轴成右手关系)
2)
圆周(x-2)2+y2=R\z=0(旋转方向与Z轴成右手关系)
21.求矢量场4二小z(S+ev+冬)在点M(1.0,3.0,2.0)处的旋度以及在这点沿方向0”=—(^r+2ev+2e_)的环量面密度。
Jd
ox
=(2-3>.v+
沿方向0”=7(er+2e
3
(VxA)w=
(3-6>v
=\^xz-xy)ex+(xy-yz)ey
M
+(6—2艮=-ex-3e+4ez
+2e.)的环量而密度为(VxA)iW•
=2—x4=—
333
解矢量场A=xyz(ex^ey^-e:
)在点M(1.0,3.0,2.0)处的旋度为
2二
22.设矢量场A=(x+y)j+(y-X)".,求该矢量场沿椭圆周C:
亠+二=1a『
与Z轴成右手关系方向的环量。
解据斯托克斯定理,可得
^Ad/=Jj(VxA)d5=jj£
/JTS
兀+y
4.
8
Sz
0
•d5=JJ(-
2e:
・ds)=—2/iab
23.求题15屮各矢量场的旋度。
分别可得
1)(VXA)m=(1+1总+(2+2总+(3+3k=2j+略+6冬
2)
(VxA)m=(xz-2yz)ex+(-2y-yz+3z2)eY+2ze.
Vx(v«)=Vx
V-(VxA)=V-
du
du
he
y
d2ud2u'
du
+杰乞
SA&加&务。
一创加一㊈sAaxaw-ax
'd2ud2u
15xdzdxdz丿
Idydzdydz
2)对于矢量函数A,冇
X
k&8x)
dA:
8Ay
SA.}
◎•+
d2ud2u'
^dxdydxdy丿'
6Av]
d
4_
5/1.>
d
4-
pA_v
dx\
比J
十
<业
dx)
十
Sy比)
dxdy丿
注匕+丄血+Ho
dxdydxdzdydzdxdydxdzdydz
25求数量场u=+2y2?
在点a/(2,0-1)处沿/=2xi-xyj+3fk方向的方向导数。
解:
—=2z3x,—=4zy,型二3宀2+2),,2
dxdydz,
在M(2,0,—1)处有色二一4,—=0,—=12
dxdydz
另外,在M(2,0-1)处!
=2xi—xyf+3z4k=4i-b3k则Z的方向余弦分别为:
4433
cosa='.==—;cos0=0;cos/='.=二一所以,方向导数
732+02+425732+02+425
dududundu.43.
——二一cosq+—cosp+——cosy二一4x—+12x—二4
dldxdydz55
26已知A={ay-bz-{ax一cz),bx-cy},求rotA。
w:
27求数量场u=3x2z-xy+z2在点处沿曲线x=t,y=-t2,z=户朝(增大方向的方向导数。
解:
将所给的Illi线方程改写成矢量形式。
r=xi+yj+zk=Sfk其导矢F
=i-2rj+3rk/就是曲线沿f大一方的方向的切向矢量。
当r=l时,厂正好过刈点将21代入得,rf=i-2tj^3t2k=i-2j+3k其方向余弦为
11a一2一2
COSQ二『=—7=;COSP二J
Jl2+(-2)2+32V14J"+(—2)2+32V14
3
cos/二,,
Jr+(—2)2+32
rotA=—
dx
y2+2xz2
d8_
dydz
2xy-z2x2一y+2z
=[-l-(-l)]i-(4x一4xz)j+(2y-2y)k
=4x(z-l)j
因为rotA0,所以A不是有势场。
29设r=xi+yj+dk求
(1)V•r,
(2)Vxr
解:
根据▽的定义V*r=V*(xi+)7+^)=—^-+—+£亠其中,rxrvr.为厂的三个分dxdydz
量上的坐标,即匚=x,rv=yr.=z,
Srordr.dxdydzn
―+—+—=—+丄+—=3
dxdydzdxdydz
(2)Vxr=Vx(xi+yjzk)
ijk
dd_d_
dx8y&
xyz
扳——&一知z
二[牛_夕皿+』兀_・1/+[dydzcz
30
设d为常矢量,r=xi+yj+zk,r=\r\o证明V(ra)=-(ra)。
r
证明:
设a=xai+儿/+%,因为a为常矢量,所以x“,儿,°为常量。
口/、V7/・・、、&dd
▽(ra)=Vr(x?
i+儿j+^k)二〒比+〒厂儿+才乙oxdydz
m..、』严且。
cdd
因力乙,儿‘J为吊量+〒厂儿+=5=X。
—rdxdyozox
厂=J%2+y2+乙2代入上式'则兀“£_厂+儿?
厂+°?
厂
oxdydz
-x-.V+2!
y+Bz丄兀
冷将
cz
+一儿+_z“
=-(ra)
r
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