高等数学经管类下林伟初郭安学主编复旦大学出版社课后习题答案.docx
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高等数学经管类下林伟初郭安学主编复旦大学出版社课后习题答案
习题7-1
1.指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限:
A(2,1,-6),B(0,2,0),C(-3,0,5),D(1,-1,-7).
解:
A在V卦限,B在y轴上,C在xOz平面上,D在VIII卦限。
2.已知点M-1,2,3),求点M关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标解:
设所求对称点的坐标为(x,y,z),则
(1)由x-1=0,y+2=0,z+3=0,得到点M关于坐标原点的对称点的坐标为:
(1,-2,-3).
⑵由x=-1,y+2=0,z+3=0,得到点M关于x轴的对称点的坐标为:
(-1,-2,-3).
同理可得:
点M关于y轴的对称点的坐标为:
(1,2,-3);关于z轴的对称点的坐标为:
(1,-2,3).
⑶由x=-1,y=2,z+3=0,得到点M关于xOy面的对称点的坐标为:
(-1,2,-3).
同理,M关于yOz面的对称点的坐标为:
(1,2,3);M关于zOx面的对称点的坐标为:
(-1,-2,3).
3.在z轴上求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点.
解:
设所求的点为M0,0,z),依题意有|MA2=|MB2,即
222
0)(50)(-2z)
222
(-40)(10)(7z)(3
14解之得z=11,故所求的点为M0,0,).
9
4.
证明以M(4,3,1),M(7,1,2),
M(5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形
解:
由两点距离公式可得
M1M2
14,M1M3
6,M2M3
所以以M(4,3,1),M(7,1,2),
M(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形
5.
设平面在坐标轴上的截距分别为
a=2,b=—3,c=5,求这个平面的方程.
解:
所求平面方程为x弋|
6.
求通过x轴和点(4,—3,—1)的平面方程.
解:
因所求平面经过x轴,故可设其方程为
Ay+Bz=0.
又点(4,—3,—1)在平面上,所以-3A-B=0.即B二3A代入并化简可得y-3z=0.
7.求平行于y轴且过M(1,0,0),M(0,0,1)两点的平面方程.
解:
因所求平面平行于y轴,故可设其方程为
Ax+Cz+D=0.
又点M和M都在平面上,于是
ADO
CD0
可得关系式:
A=C=-D,代入方程得:
—Dx—Dz+D=0.
显然D*0,消去D并整理可得所求的平面方程为x+z—仁0.
8.方程x2+y2+z2—2x+4y=0表示怎样的曲面
解:
表示以点(1,-2,0)为球心,半径为...5的球面方程。
9.指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形
22
(1)x—2y=1;
(2)x+y=1;
222
(3)2x+3y=1;(4)y=x.
解:
(1)表示直线、平面。
(2)表示圆、圆柱面。
(3)表示椭圆、椭圆柱面。
(4)表示抛物线、抛物柱面。
习题7-2
1.下列各函数表达式:
(1)已知f(x,y)=x2+y2,求f(xy,.ry);
⑵已知f(xy,、,xy)x2y2,求f(x,y).
解:
(1)f(x卅,齐)(xy)2(.齐)2x2xyy2
(2)f(xy,而
22
y(xy)
所以f(x,y)x22y2
2.求下列函数的定义域,并指出其在平面直角坐标系中的图形:
(1)
f(x,y)
.1xln(xy);
f(x,y)
22
arcsin(3_xy)
Jxy2
解:
(1)由
10可得x
故所求定义域为
D={(x,y)|
2
y1}表示xOy平面上不包含圆周的区域。
x2y21;
(2)由
1x20
y210
1x可得y1或y
故所求的定义域为
D={(x,y)|
1},表示两条带形闭域。
(3)由
可得
y
故所求的定义域为
D={(x,y)|
1且yx},表示
xOy平面上直线y=x以下且横
坐标x
1的部分。
(4)由
2x
2y
y21
0
可得
2
x
2y
故所求的定义域为
D={(x,y)|
y24且y2
x}。
3.
lim6
x0x6
y0
3
xy
2・
y
说明下列极限不存在:
(1)00j;
x0xy
y0
解:
(1)当点P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0)时,有
limlim(k1)x丄」
(警)应(0,0)xyx0(k1)xk1
显然,此时的极限值随k的变化而变化。
因此,函数f(x,y)在(0,0)处的极限不存在。
(2)当点P(x,y)沿曲线ykx3趋于点
(0,0)时,有
3
xy
lim62
(x,y)(0,0)x6y2
ykx3
lim
x0
kx6
(k21)x6
k
k2
显然,此时的极限值随
k的变化而变化。
因此,函数f(x,y)在(0,0)处的极限不存在。
4.计算下列极限:
⑵(Ji%)x
sin(xy).
x
⑴IJm。
;
x0xy
y1
sin(x3y3).
⑶』叫,0)xy
⑷J)%0)"yxy42
解:
(1)因初等函数
f(X,y)
y在(0,1)处连续,故有
(2)
x
..eylim
x0xy
y1
limS^l
(x,y)(0,3)x
(x』m
sin(xy)y
(0,3)xyy
(3)
limSin(x3
(x,y)(0,0)xy
3\
y)
lim啤
(x,y)(0,0)x3
3\
y)/22、
(xxyy)y
(4)
limd4
(x,y)(0,0)xy
(x,y)
|im(血尸2)(仮尸2)
(0,0)
xy(.xy42)
(肿(0,0)
xy42
5.究下列函数的连续性:
解:
(1)(x』%0)x
2x
2y
x
j
y
0,
2
2
x
y
2
2,
x
y
0,
2
2
x
y
(x,y)
f(x,y)
(x,y)
(x,y)
f(x,y)
(x,y)
y
(o,o)
(o,o)
(o,o)
(o,o)
(x,y)
lim(0,0)
(xy)
0f(0,0)
6.
所以f(x,y)
在(0,0)
处连续•
2
cx
⑵lim2
(x,y)(0,0)x2
ykx
2
^7lim2y2x0x2
x2j k2x2 1k2 1k2 该极限随着k的取值不同而不同,因而f(x,y)在(0,0)处不连续• F列函数在何处间断 Z212; xy ⑵zInj1x2y2. 解: (1)z在{(x,y)| y}处间断. (2)z在{(x,y)| x2 y21}处间断. 习题7-3 1.求下列函数偏导数: 2 (1) 3c3 z=x+3xy+y; (2) zsiny; x ⑶ zln(x3y); (4) zxyInxy(x 0,y0,x1) z uxy; ⑹ ucos(xy2e z) 解: (1)二3x23y,- —3x 2 3y. x y 2 siny -cosy2g2y. x X3y‘y 3 x3y yiyx y xy y1yx y xInx z xyInxa二). y z ez)g2x, xylnxg(t) zyuz sin(x2 sin(x2 x2 ez)a ez)g( 2z\ ye) ezsin( 2.求下列函数在指定点处的偏导数: f(x,y)=x2—xy+y2,求fx(1,2) 2 2y)2ysin(x ez). z) fy(1,2); 22 ⑵f(x,y)arctanx;求fx(1,0) xy ⑶f(x,y)ln厂寸sin(x21岸皿x2y2);求彳乂⑴刁; ⑷f(x,y,z)In(xyz),求fx(2,0,1),fy(2,0,1),fz(2,0,1). 解: (1)fx(x,y) 2xy,fy(x,y) x2y. fx(1,2) 220,fy(1,2) 143 (2)f(x,0) arctanx,故fx(x,0) 1 2 1x 因此fx(1,0)占2. f(x,2) lln(x2 2 4)sin(x21)earctan(x2厂) fx(x,2) 12x 2x24 因此 2arctan(x2Jx24) cos(x1)g2xge sin(x2 arctan(x2 1)e 1(x2■,x24)2 所以fx(1,2)1 5 2earcta门"弋⑸ fx(x,y,z) 七,fy(x,y,z) —,fz(x,y,z) xyz y xyz 11 22 rz 3 r 故fx(2,0,1)1,fy(2,0,1)2,fz(2,0,1)0. 3•设 r,x 2 y 22z 证明: 2 2 2 (1) r r r 1; x y z 2 2 2 2. 5 ⑵- r 2 r 2 r 2 x y z r ⑶- 2(lnr) 2 2 (Inr) 2 2(lnr)1 2: x y zr 证明: r x x x x2 2 y z' 2r, 利用函数关于自变量的对称性,可推断得到: 2 2 2 222 2 (1) r r r xyz 打1 2 x y z r r 2 r x 2r x- — r 22 ⑵ r x r rx 2 2 2 3 x r r r 利用函数关于自变量的对称性,可推断得到: 222 rrr 3r2 2x 2 y 2r2 2 222 xyz 3r 3r r' 12 (3)Inr2“(x 2 y 2 z),- (Inr) x 2x x 22 yz x 2r 2,r 2rxc2r22 (lnr)xr2x 44 xrr 利用函数关于自变量的对称性,可推断得到: 2(lnr) 2 y 22 r2y 4 r 2(lnr) 2 z 22 r2z 4 r 2(lnr) 2 x 2(lnr) 2 y 222 (Inr)3r2(x r z2) ~4 4.求下列函数的二阶偏导数 2 z y 解: z y z4x33x2y3xy2 xln(x y). (i) 2 3x 6xy ln(x 12x26xy 3y2 i, 24x6y. 1, 6x y) 12z y,x2 xyx (xy)2 x2y (xy)2. 2 z~2y z y 5.某水泥厂生产 x 2. (xy) AB两种标号的水泥,其日产量分别记作x,y(单位: 吨),总成本(单 位: 元)为 22 C(x,y)=20+30x+10xy+20y, 求当x=4,y=3时,两种标号水泥的边际成本,并解释其经济含义 解: Cx(x,y)60x10y,Cy(x,y)10x40y, Cx(4,3)270,Cy(x,y)160. 经济含义: 当A,B两种标号的水泥日产量分别4吨和3吨时,如果B水泥产量不变,而 A水泥的产量每增加1吨,成本将增加270元;如果A水泥产量不变,而B水泥的产量 每增加1吨,成本将增加160元。 6.设某商品需求量Q与价格为p和收入y的关系为 Q=400—2p+. 求当p=25,y=5000时,需求Q对价格p和收入y的偏弹性,并解释其经济含义. 解: Qp(p,y)2,Qy(p,y)0.03, Qp(25,5000)2,Qy(25,5000)0.03. 经济含义: 价格为25和收入为5000时,如果价格不变,而收入增加1个单位,商品 的需求量将增加;如果收入不变,而价格增加1个单位,商品的需求量将减少2. 解: - _z y, z 一x, 所以丄 3,丄 2, x y x (2,3) y (2,3) z- _z x丄 y 0.3 0.4 0.7 x (2,3) y (2,3) dz(2,3) 3dx 2dy. 4.计算的近似值. 习题7-4 1.求下列函数的全微分: 326 z=4xy+5xy; u=ln(x—yz); x叫eyz 解: (1) 4y3〔Oxy6,-? y 2 12xy 25 30xy, 所以 dz 33 2y(2+5xy)dx 6xy2(2+5xy3)dy. 所以 dz 所以 所以 x —2 x 一2 y x —2 x xyz'y du- x -dx yz du dx z y y —2 x 一2 y —dx 一2y =Tdy.y —dyxyz »dz. xyz ze yzu yz ye, zeyz)dy yeyzdz. 1)处的全微分. 解: 丄 yx y1_z 5 xyln x, x y 所以 dz y1 yxdx xy Inxdy dz(3,1) dx 3ln3dy. 2.计算函数 z=xy在点(3, 求函数z=xy在点(2, 3. 3)处,关于△x=,Ay=的全增量与全微分 设函数f(x,y)==1,y=2,Ax=,Ay=. f(1,3)=13=1,fx(x,y)=yxy-1,fy(x,y)=xylnx, fx(1,2)=2,fy(1,2)=0. 由二元函数全微分近似计算公式(7-18),得 〜1+2X+0X=. 5.设有一个无盖圆柱形玻璃容器,容器的内高为20cm内半径为4cm容器的壁与底的厚度均为o.1cm,求容器外壳体积的近似值. 解: 解设圆柱的直径和高分别用x,y表示,则其体积为 f(x,y)Tt(|)2y1nc2y. 于是,将所需的混凝土量看作当x+Ax=8+2X,y+Ay=20+与x=8,y=20时的两个圆柱 体的体积之差△V(不考虑底部的混凝土),因此可用近似计算公式 AV~dV=fx(x,y)Ax+fy(x,y)Ay. 112 又fx(x,y)2ncy,fy(x,y)4,代入x=8,y=20,Ax=, Ay=,得到 VdV18200.2丄820.117.655.264.(ni). 24i 因此,大约需要的混凝土. 习题7-5 1.求下列函数的全导数: (1)设z=e3"2,而u=t2,v=cost,求导数密;dt (2)设z=arctan(u—v),而u=3x,v=4x3,求导数虫; dx (3)设z=xy+sint,而x=et,y=cost,求导数虫. dt 解: ⑴ dzzduzdv dtudtvdt 3u2v3u2v 3e2t2e(sint) 3t22cost3t22cost 6te2sinte dzzduzdvdxudxvdx 1 2(uv) 2 (uv) 12x 3 1(3x 硏(14x) ⑶皓 zdx z dy z dt xdt y dt t yetx(sint)cost costetdsint 2.求下列函数的偏导数 cost (其中f具有一阶连续偏导数): (1) 设z=u2v—uv2,而 u=xsiny,v=xcosy,求—禾口二;y 设z=(3x2+y2)4x+2y, 求—禾廿二; xy X+0+3z2 设u=f(x,y,z)=e,z=xcosy, -u和 x 设w=f(x,x2y,xy2z),求— 解: z_v vx (2uv )sin (u2 2uv)cosy 2 (xsin2y 2 xcos y)sin 2 (xsinyxsin2y)cosy z z u z v y u y v y (xsin2y 2: xcos ⑵ 令u 3x2 y 2 v z z u z v x u x v x 2 2 4x2y 6x 3x y z z u z v x u y v y 2 2 4x2y 2y 3x y ⑶ w f1 f2 2xy i i 4 x v vu 1 2 v1vu 2、 (2uvv)xcosy (u2 2uv)xsiny 3. 解: dz 222 y)xcosy(xsiny 4x 2y,则zuv. 6x 3x2 2y 3x2 uv|nu4 24x2y y ln(3x2 v. uInu2 4x 2yln(3x2 sin2y)xsiny y2) y2) w y w z f2 2 xf32xyz 2 xy 应用全微分形式的不变性,求函数 令uxy,v1xy,则z d(arctanu)- v1 」du u、2v zarctan arctanu v 「吕dv 出\2v2 的全微分. 1xy 而dudxdy,dvydxxdy 故dz 11 厂㈡血dy xy1xyxy (xy)(ydxxdy)] 1xy dxdy 22. 1x1y 4.已知sinxy—2z+ez=0,求二和工..xy 解: 两同时对x求偏导,可得 ycosxy2—e—0. xx 故_zycosxy x2ez 两边同时对y求偏导,可得 zzz xcosxy2e0. yy 故_zxcosxyy2ez' 5.若f的导数存在,验证下列各式: (1) 设u=yf(x2—y2),则y2」 x xy. 设zxyxf(y) 证: (1)—yf'(x2 x y2)2x,丿f(x2 y y2) 22 2yf'(x y2). 所以 3 yf'(x 2 y)2xxy[f(x 22 y)2yf'(x 2 y)] xu- xf'(’) 4),丄xxf'C)丄 xyx,x 所以 y冷x[y f® 1 (-)]y[xxf' 入 x]z xy. 6. 求下列函数的二阶偏导数(其中f具有二阶连续偏导数): (1)zarctan—―y 1xy Inx ⑵z=y; ⑶z=f(xy,x2—y2). 2x 2 z 2y2z 22, (1x) 2 y 22、 (1y)xy 解: ⑴由第3题可知Z x 2 故—Z x 2 z yx 1zdy 2,2 o. 1xy1y ZInx1zInx1 (2)—yIny—,—Inxy xxy 2故Zlnx[21lnx[1 故—ryIny—2yIny—2 z22 —x(f11Xf122y)2f22y(f21Xf222y)xfn4xyf〔24yf? 2y f1y(fnx2yf12)2x(f21x2yf22) 2 f1xyfn(2x 2f2. 2y2)f12 4xyf22. x x x 2 z 2 lnx(lnx lnx2 1)y, y 2 2 1lnx1, yln lnx1,1 ixylny_ 1lnx y z z 1 (1lnxlny). xy yx x x x ⑶- -by f22x,Z f1xf22y. x y 2 22 yf114xyf124xf222f2 故z -y(fny f122x) 2f22x(f21yf 222x) x 2 7.求由下列方程所确定的隐函数z=f(x,y)的偏导数二,二: xy (1)x2+y2+z2-4z=0; ⑵z-3xyz=1. 解: (1)两边同时对x求偏导得2x 两边同时对y求偏导得2y2z_z y (2)两边同时对x求偏导得3z^z x 2z二4二0,故二土 xxx42z 4鼻0,故-z- 2y 2z. y y4 3
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