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这节课,我们就来学习简单的多面体。
(2)、研探新知
1.多面体
首先,我们来看多面体的概念。
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,如面BCC'
B'
;
相邻两个面的公共边叫多面体的棱,如棱AA'
棱与棱的
公共点叫多面体的顶点,如顶点B。
连接不在多面体同一
面上两顶点的线段称为多面体的对角线,如对角线AC'
、
DB'
。
过多面体不相邻两侧棱的截面称为多面体的对角面,
如对角面ACC'
A'
,BDD'
具体如右图所示。
2.
简单的多面体
(1)棱柱
房屋建筑中的立柱、方砖等都给我们棱柱的形象。
那么,棱柱的定义是什么呢?
定义
两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻
两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的
几何体称为棱柱.棱柱和圆柱统称为柱体。
棱柱中两个互相平行的面称为棱柱的底面,其余各面
称为棱柱的侧面,棱柱的侧面是平行四边形。
两个面的公共边称为棱柱的棱,其中两侧面的公共边
称为棱柱的侧棱,底面多边形与侧面的公共顶点称为棱柱的顶点。
与两底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长称为棱柱的高。
表示
A.用表示底面各顶点的字母表示棱柱,如右图的棱柱可表示为棱柱ABCDEF-A'
C'
D'
E'
F'
B.用棱柱的一条对角线表示,如右图的棱柱可表示为棱柱AD'
或棱柱CE'
分类
A.按底面多边形的边数分类
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
B.按侧棱与底面多边形的关系分类
侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱。
侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱,底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱。
结构特征
A.底面是平行且全等的多边形;
B.侧面是平行四边形;
C.侧棱平行且相等;
D.平行于底面的截面是与底面全等的多边形;
对角面是平行四边形。
几种特殊的四棱柱及各种四棱柱间的关系
A.几种特殊的四棱柱
a.平行六面体:
底面是平行四边形的棱柱,如图
(1);
b.直平行六面体:
侧棱垂直于底面的平行六面体,如图
(2);
c.长方体:
底面是矩形的直平行六面体,如图(3);
d.
正方体:
棱长都相等的长方体,如图(4);
(1)
(2)(3)(4)
B.各种四棱柱间的关系
(2)棱锥
金字塔、大江截流用的四面体水泥块等都给我们棱锥的形象。
那么,棱锥的定义是什么呢?
有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,
这些面所围成的几何体称为棱锥。
棱锥和圆锥统称为锥体。
这个多边形面称为棱锥的底面或底;
有公共顶点的各个
三角形面叫做棱锥的侧面;
各侧面的公共顶点称为棱锥的顶点;
相邻侧面的公共边称为棱锥的侧棱。
过顶点作底面的垂线,顶点
和垂足间的线段长称为棱锥的高。
A.用表示顶点和底面各顶点的字母表示,如右图中的棱锥可表示为棱锥S—ABCD。
B.用表示棱锥顶点和底面一条对角线的字母表示,如右图的棱锥可表示为棱锥S—AC或棱锥S—BD。
按底面多边形的边数分类
底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥……,其中三棱锥又称为四面体。
A.底面是多边形;
B.侧面是有一个公共顶点的三角形;
C.侧棱相交于一点.
正棱锥
定义:
底面是正多边形,且各侧面全等的棱锥称为正棱锥。
其中正三棱锥也称为正四面体。
性质:
A.顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心;
B.各侧面是全等的等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高相等,称为棱锥的斜高;
C.正棱锥的高、斜高和底面多边形的边心距构成直角三角形;
正棱锥的高、侧棱和底面多边形对角线的一半也构成直角三角形。
(3)棱台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面
之间的部分称为棱台。
棱台和圆台统称为台体。
原棱锥的底面和截面分别称为棱台的下底面和上底面;
除两底面外的其余各面称为棱台的侧面;
各侧面的公共顶点
称为棱锥的顶点;
相邻侧面的公共边称为棱台的侧棱。
与两
底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长称为棱台的高。
A.用表示上、下底面各顶点的字母表示棱柱,如右图的棱台可表示为棱台ABCD—A'
B.用表示棱台一条对角线的字母表示,如右图的棱台可表示为棱台AC'
或棱台BD'
底面是三角形、四边形、五边形……的棱台分别称为三棱台、四棱台、五棱台……。
A.底面是相似的多边形;
B.侧面都是梯形;
C.侧棱延长线交于一点。
正棱台
由正棱锥截得的棱台称为正棱台。
A.底面是平行且相似的正多边形;
B.各侧棱相等,各侧面是全等的等腰梯形,这些等腰梯形底边上的高相等,称为棱台的斜高;
C.正棱台两底面中心的连线,相应的边心距和斜高构成直角梯形;
正棱台两底面中心的连线、侧棱和底面多边形对角线的一半也构成直角梯形。
3.柱体、锥体、台体的联系
柱体、锥体、台体的形状虽然不同,但它们可以互相转化:
当台体的上、下底全等时,台体转化为柱体,当台体的上底面收缩为一点时,台体转化为锥体,即:
因此,柱体与锥体都是台体的特例.在学习时,要注意柱体、锥体、台体这三类几何体之间的联系.
(3)典例精讲
题型一 有关棱柱的概念
例1 下列说法:
①有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱;
②棱柱的侧面是平行四边形,而底面不是平行四边形;
③棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面;
④侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱;
⑤底面为菱形的直棱柱为正四棱柱;
⑥棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形。
其中正确命题的个数为( B )
A.1B.2C.3D.4
点拨 根据棱柱的定义,性质解题.
答案与解析:
B;
①中有两个面互相平行,各侧面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱,如图所示的几何体就不是棱柱,因为棱柱要求有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻的两个公共边都互相平行,而该图中相邻四边形的公共边是不平行的,故①不正确;
在棱柱的定义中,底面是多边形,当然也可以是平行四边形,故②不正确;
在棱柱中,底面是特指的,因此棱柱中互相平行的两个面不一定是底面,如底面是梯形时,棱柱有两个侧面互相平行,但它不是棱柱的底面,故③不正确;
根据直棱柱的概念,可知④正确;
由于底面为正方形的直棱柱为正四棱柱,故⑤不正确;
由棱柱的性质,可知⑥正确,故正确的有④⑥.
规律技巧 棱柱有两个主要特征:
(1)有两个面互相平行.
(2)各侧棱都平行,各侧面都是平行四边形.
变式训练1 下列说法中正确的是( A )
A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行
B.棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
C.棱柱中的一条侧棱就是棱柱的高
D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形
题型二 棱锥、棱台的概念与性质
例2 下列命题中正确的是____⑤____.
①底面是正多边形的棱锥为正棱锥;
②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥;
③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥;
④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥;
⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥.
点拨 根据棱锥的概念解题.
⑤;
由正棱锥的定义可知①②③均不正确;
而④命题不能保证这些全等的等腰三角形的腰长都作为侧棱长,故也不正确;
只有⑤符合正棱锥的定义,故正确.
规律技巧 一个棱锥为正棱锥必须具备两条:
①底面是正多边形;
②侧面是全等的等腰三角形,这两个条件缺一不可.
变式训练2 下面关于三棱锥的四个命题:
①底面是正三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥为正三棱锥;
②底面是正三角形,侧面积都相等的三棱锥为正三棱锥;
③底面是正三角形,侧棱均相等的三棱锥为正三棱锥;
④各个面都是正三角形的三棱锥是正三棱锥.
其中正确命题的序号是________.
解析:
根据棱锥的概念,知答案为③④.
例3
(1)下面给出了三个命题:
①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;
②两个底面平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台;
③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中正确命题的个数是( A )
A.0B.1C.2D.3
(2)下面能推断如图所示的几何体可能是三棱台的是( C )
A.A1B1=4,AB=3,B1C1=5,BC=6,C1A1=5,AC=4
B.A1B1=4,AB=6,A1C1=3,AC=5,BC=7,B1C1=4
C.A1B1=2,AB=4,B1C1=
,BC=3,A1C1=2,AC=4
D.A1B1=AB,A1C1=AC,B1C1=BC
点拨 对于
(1)利用棱台的性质解题,对于
(2)若该几何体为棱台,需对应边成比例.
(1)由棱台的定义,截面必须与底面平行,但①中的截面与底面的位置关系不明确,故①错误;
由图可知,平面ABCD与平面A1B1C1D1平行,其余各面都是梯形,但AA1,BB1,CC1,DD1延长后没有相交于同一点(因为棱台是由棱锥截得,故棱台的侧棱延长后必须交于同一点),故②也是错误的;
由图,若
,由于AA1=BB1=CC1=DD1,可知AA1和BB1的交点与BB1和CC1的交点不重合,故③也是错误的,故选A.
(2)由棱台的定义,可知三条侧棱延长后相交于一点,设为O,如图,则有
=
,只有C中满足
,故选C.
规律技巧 棱台可以看成是用平行于棱锥底面的平面截棱锥所得到的底面与截面之间的部分,故棱台的各条侧棱延长后交于一点.
变式训练3 下列描述是棱台的性质的是________.
①两底面平行;
②侧面都是梯形;
③侧棱都相等;
④侧棱延长后相交于一点;
⑤底面不可能为三角形.
解析 由棱台是由棱锥截得的,截面与底面平行,①正确;
棱台的侧面都是梯形,②正确;
③错误;
由棱台侧棱延长后必交于一点知,④正确;
由三棱锥截得的棱台为三棱台,底面为三角形,⑤错误.
题型三 棱柱、棱锥、棱台的应用
例4 如图所示,在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,E,F,G分别为A1B1,BB1,B1C1的中点,则用平面EFG去截棱柱,则截掉的部分为________,再用平面A1BC1去截剩下的几何体,截去的部分为________.
点拨 根据棱柱、棱锥、棱台的概念解题.
用平面EFG去截几何体,截去的部分为B1—EFG,符合棱锥的概念,故截去的为三棱锥,若再用A1BC1去截剩下的几何体,由于A1E,C1G,BF的延长线相交于一点,且E,F,G分别为A1B1,BB1,B1C1的中点,故面EFG与面A1BC1平行,故截去的部分为一个三棱台.
规律技巧 掌握棱柱、棱锥、棱台的概念是解决此类问题的关键.
变式训练4 用一个平面去截一个几何体,如果截面是三角形,则这个几何体可能是棱柱、棱锥、棱台。
(4)课时小结
棱柱、棱锥、棱台是简单的多面体,它们是日常生活中常见的几何体。
棱柱和圆柱统称为柱体;
棱锥和圆锥统称为锥体;
柱体、锥体、台体的形状虽然不同,但它们可以互相转化,在学习时,要注意柱体、锥体、台体这三类几何体之间的联系。
(5)作业布置
预习:
课本第7—10页§
2直观图
提纲:
直观图的定义是什么?
斜二测画法的规则是什么?
五.课后练习与提高
1.下列说法中正确的是( A )
A.棱柱的各个面中,至少有两个面互相平行
B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C.棱柱中侧棱的长叫做棱柱的高
D.棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形
2.若棱台上、下底面的对应边之比为1:
2,则上、下底面的面积之比为( B )
A.1:
2B.1:
4C.2:
1D.4:
1
3.棱台不一定具有的性质是( B )
A.侧面都是梯形B.侧棱都相等C.两底面相似D.侧棱延长后交于一点
4.以下命题正确的是( C )
A.棱锥的各侧棱长相等B.棱柱的各侧面都是矩形
C.棱台的各侧棱延长线相交于一点D.圆锥的母线长等于底面圆的周长
5.一个正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是( D )
A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥
D;
由于正六边形的中心到顶点的距离与边长都相等,故正六棱锥的侧棱长大于底面边长.
6.给出下列命题:
①有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱;
②有一个面是多边形,其余各面都是三角形所围成的几何体是棱锥;
③用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到的几何体叫棱台.以上命题中真命题的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
A;
对于①②不符合棱柱、棱锥的定义;
对于③,用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得的几何体一个是棱台,另一个是棱锥,故③不正确.
7.已知正四棱锥V—ABCD,底面面积为16,一条侧棱长为2
,则它的斜高为________.
2
由S底=16,知底面边长为4,又侧棱长为2
,故斜高h′=
=2
.
六.教学反思
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