工业机器人作业Word格式.docx
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⑶作图说明每个从左至右的变换序列。
3.求出类型2和类型3欧拉角表达的正逆运动学方程的解。
类型2的正运动学解
-sin©
0入
cos日
sin日'
cos即
-sin屮
R=
sin©
cos©
sin屮
cosW
b
(-Sin日
cos日丿
、、0
cos^cos屮-sin©
sin屮-cos^cos日cos屮-sin©
co曲co^sin旷
cosTcos屮+cos©
sin屮—sin©
cosGsin屮+cos©
co劃sin^sinG
\、—sin日co就sinBsin即cos日」
类型3的正运动学解
■'
cos日
sin日、
「1
0、
sin♦
cos1
-sin即
l-sin日
cosB丿
cos屮丿
cossin^cos-sinsin'
sinsin=cos--cossin'
cosmos'
cos日cos©
sinBsin即-sin©
cos即sin©
cos&
sin©
sin&
sin即+co^cos^
—sin日cos^sin即
类型2的逆运动学解
Ox
ax
0'
cos日
■‘COsW
ny
Oy
ay
=
-sin©
sin即
2Oz
azJ
v_-sin日
COS日J
1」
则
类型3的逆运动学解
nxOx
cos*
sin日
□yOy
sin*
-sin即
WzOz
az>
l—sin日
COS日J
si
co册丿
,Zcos©
sin©
nx
cos日
cos®
oy
\、0
5
Oz
az」
i—sin日
sinW
co占j
,'
sin'
■
cos'
sinny
cosnx
-sinnxcosny=0
nz
nxo
xx
oyay
Ozaz
cosoxsin'
-sinox-cosoy
oz
由(2,3)元素相等,则
-sinaxcosay=0
."
ay'
,■”9=arctan|——貝一
二arctan(ay,ax)
的正负由定义知
由
-sinoxcosoy二cos'
-
-sinnxcosny二sin
…-sin©
nx+cos©
屮=arctan丨y
COST
-sinv
sin日"
cos屮0
cos日人
-sin
cos'
-:
+sin©
ay)*cos日cos屮sin屮
-sinzicos'
cos?
「sina-cosPy
az
—costsin
-sinvsin
sinv
cos;
=arctan(-sin如x+cos©
ny,—sin©
ox—sinoxcosoy
COSOy)
cosaxsinay=sin
az=cost
,•亠arctan『血知啣
=arctan(cosax
sinay,az)
nx+sin©
cos^Ox+sin©
cos帕x+sin©
■‘COS日
sin0sin屮
sinOcos屮、
-sin帆+cos4toy
_sin帕x+cos$ay
—
cos屮
-sin屮
Inz
az」
sing
cos日sin屮
cos0cos屮丿
由(2,1)元素相等,贝U
-sin「xcosriy=0得
_ny
=arctan—
|lnx
=arctan(ny,nx)
的正负由定义知由cosnxsinny=cosr和①--si
得
日=arctan1,,,
cos^nx+sindny
二arctan(-nz,cosnxsinny)
又有
「sinoxcosoy二cos'
-sinaxcosay二一sin'
=arctan
ax-cos^a
■-sin%>
x+cos©
=arctan(sinax「cosay,-sinox
cosoy)
4.求PUMA560机器人的逆运动学方程的解。
建立PUMA56(机器人的D-H坐标系如图如下:
求各连杆变换矩阵如下:
c1
_s1
C2
_s2
0T=
s1
Ci
1t-
4
T-
-s2
-c2
一0
c3
■S3
c4
_s4
£
1=
S3
C3
_1
气=
a
-s
S4
-c4
C5
■S5
c6
_s(
6
00
_1
t5=
S5
T6
=1
.「Sc
S6
_c(
_0
_0
01
求PUMA560机器人的逆运动学方程的解,则末端执行器的位姿已知,即
Qax
Px
qa
Py
R
Qaz
pz其中noas已知量;
且有
Q
a<
0°
y
q
P7
玄2)2攻3)3味4)4欧5)5攻6)
nzqazPz
_0001
则求关节变量B1,92,03,04,05,06的值。
具体求解步骤如下:
1.求01
用逆变换°
T)-门左乘(式1)两边:
0012345
T6=T2(QT3C3)3T4C4)咲5)5
I
S1
0nx
J1
0ny
Py二1
-s1
C1
0nz
1I
Pz
令矩阵方程两端的元素(2,4)对应相等,可得:
-SP/GPrd2
利用三角代换:
2二?
cosPy二sin
1的解:
式中,‘二...Px2Py2;
,atan2(Py,px)。
带入可以得出0
sin(-S)=d2/匕cos(-91^(d?
点
日1=atan2(Py,Px)-atarCg,土JpX^p^d)丿
式中,正、负号对应于01的两个可能解。
2.求03
)分别对
在选定二1的一个解之后,再令矩阵方程两端的元素(1,4)和应相等,即得两方程:
qPxSip厂a3C23-d4S23a?
一Px=a3S2^d4C23a2S2
结合式2与上式,消去二2,可以求解得03为:
丁atan2(sb,d4)-atan2(k,-、a2d42-k2)
Px2Py2pz^af-a^-df-d
其中,
式中正、负号对应1的两种可能解
2a2
3.求02
为求解求02,在矩阵方程(式1)两边左乘逆变换。
屯1:
0345
日1』2』3)丁6,丁4(。
4)4丁5(日5)汁6化)
展开得
C1C23
S1C23
_S23
Px1
|_CIS23
_SlS23
C23
a2S^||ny
Py|=3
_S1
-d21nz
pz;
.0
1II
1」.o
令矩阵方程两边的元素(
1,4)和
(2,4)分别对应相等可得:
C1C23px+SlC23py-
勺3Pz一a2C=
a3
A
C1S23px-
SIS23py
-SPy*a2S3
=d4
联立求解得勺3和勺3:
(飞3-a2C3)Pz(CiPxsiPy)(a2S3-d4)
p;
(CiPSiP)2
(-d/a2S3)Pz-(CiPxSiPy)(-a2C3-a?
)
P2(OPqp)2
由上式得
G「2•二atan2[(a32視(羽qPy)(a2Srdq),(-d4+a2S3)Pz+(GPx+SPy)(a2(V比)]
根据十和兀解的四种可能组合,由上式可以得到相应的四种可能值^23,于
是可得到七的四种可能解:
0=0-0
2233
式中,二2取与二3相对应的值。
4.求B4
因为式4-3的左边均为已知,令两边元素(1,3)和(3,3)分别对应相等,则可得:
axCiC23aySlC2^azS23二-C4S5
-ax®
ayq=S4S5
只要S5工0,便可求出"
4:
=atan2(ax3可50<
%23一ay*23azSz3)
5.求B5
据求出的=4,可进一步解出=5,将式1两端左乘逆变换0T「=i「2「3「4
得:
斤7(日ee6、片二行但)5t)
M123465566丿
0-1
逆变换T4匚•乙「4为:
cgsq
SQ3GTCS4
PA
-acc4dsraq
1234
®
3
SC23VCC
ac4加an
_^S>
飞3
根据矩阵两边元素分别对应相等,可得:
ax(ClC23C^+SS4)十ay(SlC23C4-C1S4)-az(S23C4_S5I
ax(-GS23)ay(-3823)azg?
)=C5
由此得到95的解:
讥二atan26,C5)
6.求96
将式1改写为:
Ll「2,广5)°
Tr工化)令上面矩阵方程两边元素分别对应相等可得:
-rx(cq3VSC4)—ny(Sq3SiCQ)nz63Si)=S6
q[(Cq3^sq)C5yq总]q[(sq3CrCQ)匕8勺35]一。
(勺心扌Q35)=Q
从而可求出96的解:
日6二atan2(s6,c6)
以上求解过程即是PUMA56机器人的逆运动学方程求解过程
至此,弓、砂、二3、二4、二5、二6都以求得。
5.对于下图所示三自由度机械手,其关节1与关节2轴线相交,
关节2与关节3轴线平行,各关节的正向转动角度如图标示,请建立该机械手的D-H坐标系,并求其变换矩阵°
A1,>
2,2A3。
坐标系建立如图:
fy3
关节
转角
扭角®
杆长
距离
90
L2
L3
rcl
-al
0)
c2
s2
0]
广c3
d
0.
Z2,
js3
4=
lA=
o
1J
Ij
第四章作业
1、求图(a)所示的二连杆非平面机械臂的动力学方程。
假设每个连杆的质量为集中质量并处于连杆最外端;
每个关节的粘性阻尼系数分别为b1,b2。
L=Ek-Ep
121212
二一miid)m2[(hI2cosj2)3]m2(l2r)-m2gl2sinv2
222
1•21•21•2
Ed=6(1"
)二b2【(hJCOS^K]沖2(「2)
222
则对于m1来说,
ddLdLdEd
“:
dtd;
dKd[
2222*
=m1l1二m2(l1l2cosi2)-2m2(l1l2cosr2)l2sin:
i2-b1l1:
vb2(hl2cosr)y
则对于口2来说
.2=-
dtd;
竝d<
___2
222*
=mih^2m2(hLcoseRI2sinem^gLcos^bL-2
2、求图(b)所示具有分布质量的2自由度机器人的动力学方程。
(1)系统的动能:
1*2
Ekili二1
11mh
—hG'
0.5l2C12
y2
—hq0.5l2S12
=-1佝V1—0.512$2(F^2)
=l1C|0.5l2c12(R•:
2)
对连杆2,其绕质心转动的动能为:
121l2(『1•^2)
2.2v;
=X2y2
Ek2
m2v22
2222
h[h0.25l2l1l2c2R0.25l2d20.5l2l1l2c2力九
所以,系统的动能和势能为:
Ek=Ek1•Ek2
11212
l1■112(12)2m2v|
=(1m1l121m2l|1m2l121m2l1l2c2^^^1m2l;
fs1m2l/1m2l1l2c2R陀
6622632
Ep=EpiEp^mig0.5liS!
(3)Lagrange函数为:
L二Ek-Ep
1212121212?
2121
=(m1l1m2l2m2l1m2l1l2c2^^^m2l22m2l2m2l1l2c2x"
-gg0.5l1S!
+m2g(hs+0.5朋2)
(4)求动力学方程:
1二
12
讪2
M
1m2l|m2l12m2l1l2c2比-m2l|1m2l1l2c^J:
:
^-m2l1l2c2-
332
211
匕-m,m2ghG:
m2gl2G2
丿12丿2
1T12
■2二
1,211,2121,m2l2m2l1l2c2上1mJ2■2m2l1l2s2J:
1m2gl2G2
32322
第七章作业
1.
LaSRa
如图所示某工业机器人的双爪夹持器控制原理图。
夹持器由直流电机驱动,电机输出的旋转运动经齿轮传动带动两个手指。
若每个手指的惯量为J,线性摩擦阻尼系数为B,已知直流电动机的传递函数(输入为电枢电压V,输出为电动机输出轴转矩Tm)为:
TmSw
其中,La,Ra分别为电枢绕组的电感和电阻
K1,K2:
(1)试证明以下等式并用系统参数表示
KS_K1
TmsSJsB
》S_K2
TmssJsB
(2)利用
(1)的结果,画出以给定角-
图;
(3)如果采用比例控制器(G二Kp),求出闭环系统的特征方程式。
并确定Kp
是否存在极限最大值?
为什么?
(1)证明这里Tm是输入,3和①是输出建立手指传动系统的传递函数如下:
J二J屮m〜珀K订
其中J'
Jm*J/2+J,B=BmB/2+B分别表示传动系统对传动轴的总转动
惯量、总粘滞摩擦系数;
Jm和Bm表示电动机转子转动惯量及粘滞摩擦系数,并且由于总刚度较小往往假设K=0;
且二匹为减速比
对上式拉氏变换得
TmS=(JS2BsPmS
则代入J和B•,有
TmS=((JmJ/2J)£
但B/2B)S)如S
若不计电动机转子转动惯量及粘滞摩擦系数Jm和Bm,则可化简上式得
TmS=((J/J)s(B/B)sHmS
即有
n2
為s_「2
TmSs(JsB)
由系统结构有--1,则為s=®
s=ys,故可以得出以下表达式
n
即K1
即k2
s1•2
1S=12
K1和K2均是由系统参数决定的量。
(2)以给定角-d为输入,以二为输出的系统闭环方框图如下:
sita
sitad
这里采用的是PID控制器。
(3)如果采用比例控制器(G二Kp),求出闭环系统的特征方程式为
LaJs3(RaJLaB)s2RaBsKp(0eo
系统能够正常运行的一个条件就是系统是稳定的,则根据劳斯稳定性判据得出满足系统稳定性的条件。
①劳斯数列:
②由稳定性判据有:
3s
2s
s0
LaJ
RaJLaB
RaJLaBRaB-LaJKpK1'
K2
Kp(KiK2)
RJLaB&
B—LaJKpKi心°
RJLaB
RaB
KpKiK2
Kp(K「K2)0
求解得
RaJLaBRaB
0Kp--—
PLaJKiK2
上式中右边表达式各参数均是由物理系统本体决定的具体值,所以比例控制器
的比例系数存在极限最大值。
在满足系统稳定的条件下该值为先晋严
2.试画出图示质量均匀分布的二连杆机械手的关节空间和直角空间控制器方块图,以使机械手在全部工作空间内处于临界阻尼状态。
并说明方块图中各方块内的方程式。
图示质量均匀分布的二连杆机械手的关节空间控制器方块图如下"
Pro
在以上关节坐标控制方块图中,对输入和输出信号稍作转换和变换就可以构成直角坐标下的控制器方块图,如下:
下面对控制器中的各个参量进行说明以及对相应表达式进行计算:
R电机电枢回路电阻
U减速器传动比
Ki电动机转矩常数
B1=B+u2B2+BI为传动轴1上的等效阻尼系数,其中B为电机传动端的阻尼系数
Bi为负载阻尼系数
B2=Bm+B为传动轴2上的等效阻尼系数
Ki――速度反馈信号放大器的增益
K――测速发电机的传递系数
Ke――变换系数
&
、K——均为一些反馈增益系数
J1=Jai+Jii+uJI2+Jm为传动轴1上的等效转动惯量
J2=Ja2+JI2+Jm为传动轴2上的等效转动惯量
X(s)――广义的输入指令
Fm(s)、Fl(s)、Tg(s)――电动机-测速机的平均摩擦力矩f、外加负载力矩T、重力矩T的拉氏变换变量
n66
下面着重由运动学方程:
Ti二DjMj・|詞7二DjkqjdkDi来计算图中来自
j=ijTk#
)1
D1m1m2glQm2g2l2c12
D2
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- 工业 机器人 作业