北师大九年级上过关自测卷含答案第二章实数.docx
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北师大九年级上过关自测卷含答案第二章实数
第二章过关自测卷
(120分,90分钟)
一、选择题(每题3分,共24分)
1.关于x的方程(a-1)
是一元二次方程,则a的取值范围是()
A.a≠1B.a>-1且a≠1
C.a≥-1且a≠1D.a为任意实数
2.〈无锡南菁中学九上期末〉已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3,则实数k的值为()
A.1B.-1C.2D.-2
3.方程x2+|x|-6=0的解为()
A.x1=-3,x2=2B.x1=3,x2=-2
C.x1=3,x2=-3D.x1=2,x2=-2
4.〈四川达州〉若方程3x2-6x+m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围在数轴上表示正确的是图1中的()
图1
5.以1+
与1-
为根的一元二次方程是()
A.
B.
C.
D.
6.已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程x2-4x+
=0的两根,则这个直角三角形的斜边长是()
A.
B.3C.6D.
7.〈广东湛江〉由于受H7N9禽流感的影响,今年4月份鸡的价格两次大幅下降,由原来每斤12元,连续两次降价a%后售价下调到每斤5元,下列所列方程中正确的是()
A.12(1+a%)2=5B.12(1-a%)2=5
C.12(1-2a%)=5D.12(1-a2%)=5
8.〈湖北黄石竞赛〉若方程x2-mx+n+1=0的两个实根均为正整数,则m2+n2为()
A.合数B.质数C.完全平方数D.偶数
二、填空题(每题3分,共21分)
9.已知a是x2-3x+1=0的根,则2a2-6a=.
10.在一幅长50cm,宽30cm的风景画的外围镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是1800cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程为(化为一般形式).
11.〈浙江湖州竞赛〉若多项式P=2a2-8ab+17b2-16a-4b+2070,那么P的最小值是.
12.关于x的二次三项式ax2+bx+c,满足下表中的对应关系:
x
…
-4
-2
-1
0
1
3
…
ax2+bx+c
…
6
-4
-6
-6
-4
6
…
则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个整数根分别是.
13.〈浙江金华模拟〉一元二次方程x(2x+3)=0的解为.
14.〈山东临沂〉对于实数a,b,定义运算“*”:
,例如:
,因为4>2,所以
=
-4×2=8.若x1,x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根,则
=.
15.小华将勤工俭学挣得的100元钱按一年定期存入银行,到期后取出50元来购买学习用品,剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入银行,若存款的年利率下调到原来的一半,这样到期后可得本息和53.795元,则她第一次存款的年利率为.
三、解答题(16,17题每题12分,18,19题每题9分,其余每题11分,共75分)
16.
(1)〈广东广州〉解方程:
x2-10x+9=0;
(2)〈浙江杭州一模〉用配方法解方程:
2x2-4x-1=0.
17.〈广西桂林十二中九上期末〉关于x的方程为x2+(m+2)x+2m-1=0.
(1)证明:
方程有两个不相等的实数根;
(2)是否存在实数m,使方程的两个实数根互为相反数?
若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
18.已知:
,
,且
,求
的值.
19.要做一个高是8cm,底面的长比宽多5cm,体积是528cm3的长方体木箱,问底面的长和宽各是多少?
20.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价为x元,则可卖出(350-10x)件.但物价局限定商品加价不能超过进价的20%,商品计划要赚400元,需要卖出多少件商品?
每件商品的售价应该是多少元?
21.如图2,等边三角形ABC的边长为6cm,点P自点B出发,以1cm/s的速度向终点C运动;点Q自点C出发,以1cm/s的速度向终点A运动.若P,Q两点分别同时从B,C两点出发,问经过多少时间△PCQ的面积是2
cm2?
图2
22.如图3,每个正方形是由边长为1的小正方形组成.
图3
(1)观察图形,请填写下列表格:
正方形边长
1
3
5
7
…
n(奇数)
黑色小正方形个数
…
正方形边长
2
4
6
8
…
n(偶数)
黑色小正方形个数
…
(2)在边长为n(n≥1)的正方形中,设黑色小正方形的个数为P1,白色小正方形的个数为P2,问是否存在偶数n,使P2=5P1?
若存在,请写出n的值;若不存在,请说明理由.
参考答案及点拨
第二章过关自测卷
一、1.C点拨:
根据一元二次方程二次项系数不能为0,以及二次根式有意义的条件是被开方数是非负数,可知a-1≠0,且a+1≥0,可知a的取值范围是a≥-1且a≠1.
2.A点拨:
由方程的根的定义可知将x=3代入方程,方程两边相等,即32-3k-6=0,解得k=1.
3.D方法规律:
用换元法,令y=|x|,则有y2+y-6=0,解得y1=-3,y2=2.当y=-3时,|x|=-3,无解;当y=2时,|x|=2,x=±2.
4.B点拨:
因为方程有两个不相等的实数根,所以,Δ=36-12m>0,解得m<3.
5.A点拨:
这两根的和为2,积为-6,则由根与系数的关系可知,以它们为根的一元二次方程是x2-2x-6=0.
6.B点拨:
设这个直角三角形两直角边长分别为a,b,则由根与系数的关系知a+b=4,ab=
.由勾股定理知这个直角三角形的斜边长=
=
=
=3.
7.B
8.A点拨:
设方程的两正整数根分别为x1,x2,则x1+x2=m,x1x2=n+1,故m2+n2=(x1+x2)2+(x1x2-1)2=(x12+1)(x22+1),因x12+1>1,x22+1>1,所以m2+n2必为合数.
二、9.-2点拨:
由题意得a2-3a+1=0,则a2-3a=-1,所以
2a2-6a=2(a2-3a)=-2.
10.x2+40x-75=0
11.2002方法规律:
用配方法,将多项式化成几个完全平方式与常数的和的形式得P=(a2-8ab+16b2)+(a2-16a+64)+(b2-4b+4)+2002=(a-4b)2+(a-8)2+(b-2)2+2002.显然当a=8,b=2时,P有最小值2002.
12.-3,2方法规律:
用待定系数法,将x=0,1,-1分别代入ax2+bx+c得c=-6,a+b+c=-4,a-b+c=-6,联立成三元一次方程组,解得a=1,b=1,c=-6,则方程为x2+x-6=0,解得两根分别为-3,2.
13.x1=0,x2=-
方法规律:
观察方程的结构,左边为两因式之积,右边为0,可知左边两因式必有其一为0,由此将方程转化为两个因式分别为0求解,这实质上就是解一元二次方程的因式分解法.
14.-3或3方法规律:
解一元二次方程x2-5x+6=0得两根为2,3.运用分类讨论思想,当x1=2,x2=3时,可得x1*x2=2*3=2×3-32=-3;当x1=3,x2=2时,x1*x2=3*2=32-2×3=3.
15.3%点拨:
设第一次存款的年利率为x,则第二次存款的年利率为
x,第一次的本息和为(100+100×x)元.由题意,得(100+100×x-50)×
x+50+100x=53.795,解得x=0.03或x=-2.53(舍去),所以第一次存款的年利率为3%.
三、16.解:
(1)因式分解,得(x-1)(x-9)=0,解得x1=1,x2=9.
方法规律:
本题用因式分解法较简便,若用配方法或公式法也可得到正确答案.
(2)移项得2x2-4x=1,两边同除以2,得x2-2x=
,两边都加上1,得(x-1)2=
,即x-1=±
,∴x1=1+
,x2=1-
.
方法规律:
本题指定使用配方法,其一般步骤是:
先整理成左边为含二次项与一次项的二项式,右边是一个常数的形式,将二次项系数化为1后,配方,用直接开平方法求解.
17.
(1)证明:
∵Δ=(m+2)2-4(2m-1)=m2-4m+8=(m-2)2+4>0,∴原方程有两个不相等的实数根.
(2)设两根分别为x1,x2,则由一元二次方程根与系数的关系知x1+x2=-m-2.若两根互为相反数,则有x1+x2=0,此时-m-2=0,可得m=-2.验证:
当m=-2时,原方程化为x2-5=0,解得x1=
,x2=-
,符合题意.故存在实数m,当m=-2时,使方程两个实数根互为相反数.
18.解:
∵
+
-1=0,∴
+
-1=0.又∵b4+b2-1=0,
∴(b2)2+b2-1=0.∴
、b2是方程x2+x-1=0的两个根.
∴
+b2=-1,∴
=b2+
=-1.
点拨:
观察所给两个式子的结构,通过对比,可以发现其中的规律,从而把
、b2看成是方程x2+x-1=0的两个根,运用根与系数的关系求解.
19.解:
设宽为xcm,则长为(x+5)cm,得8x(x+5)=528,解得x1=6,x2=-11.又x>0,故x=-11舍去,只取x=6,此时x+5=11.
答:
底面的长和宽分别是11cm和6cm.
点拨:
因长比宽多5cm,则将宽设为未知数,可把长用代数式表示,从而将木箱的体积用代数式表示出来,与已知木箱体积528cm3相等列出方程,解方程并检验方程的解是否符合题意即可.
20.解:
设每件商品的售价为x元时,商店能赚400元,根据题意,得(x-21)(350-10x)=400,解得x1=25,x2=31.当x=25时,350-10×25=100(件);当x=31时,350-10×31=40(件).但当x=31时,31>21×(1+20%)=25.2,所以x=31不合题意,应舍去,只取x=25.答:
商店要赚400元,需要卖出100件商品,每件商品的售价为25元.
点拨:
必须要注意根据“限定商品加价不能超过进价的20%”的条件对一元二次方程的解进行取舍.
21.解:
设经过xs时,△PCQ的面积是
cm2,则BP=CQ=xcm.PC=(6-x)cm.作QD⊥BC于点D.∵∠C=60°,∴CD=
CQ=
xcm,QD=
xcm.由S△PCQ=
PC·QD=
(cm2),得
(6-x)·
x=
,解得x1=2,x2=4.当x=2或x=4时,BP<6,CQ<6,P,Q分别在BC,AC上,符合题意.答:
经过2s或4s时,△PCQ的面积是
cm2.
点拨:
将运动时间设为未知数,则△PCQ的边PC和高QD都可以用含有未知数的代数式表示,从而也可用代数式表示△PCQ的面积,列出方程求解即可.
22.解:
(1)1;5;9;13;2n-1;4;8;12;16;2n
(2)由
(1)可知n为偶数时P1=2n,所以P2=n2-2n.根据题意,得n2-2n=5×2n,即n2-12n=0,解得n1=12,n2=0(不合题意,舍去),所以存在偶数n=12,使得P2=5P1.
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