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1绪言预备知识
绪言(课程介绍)
什么是逻辑?
命题(判断)对象、以及对象间的(推理)关系。
数理逻辑:
用数学的方法研究逻辑。
数理逻辑研究分支:
模型论、集合论、递归论、证明论。
数理逻辑研究什么?
逻辑推理:
当前提为真时,保证结论为真。
逻辑研究这样的可推理关系。
即,前提和结论之间的推理关系是否正确。
演绎推理---演绎逻辑。
它不同于归纳逻辑。
归纳逻辑是从前提出发,使用归纳推理,得到的结论与自身协调,或与前提协调。
数理逻辑属于演绎逻辑范围。
只研究推理及可推理关系,不关心前提与结论中各个命题的真假。
例1.前提:
所有大于2不被自身整除的自然数为素数。
7不被自身整除。
结论:
7不是素数。
例2.前提:
所有中学生打网球。
王君不打网球。
结论:
王君不是中学生。
命题有内容和形式:
内容决定命题的真或假。
决定前提和结论之间的可推导关系,是命题逻辑形式。
如:
前提:
集合S中的所有元素具有R性质。
a不具有R性质。
结论:
a不是S中元素。
命题的陈述需要语言。
元语言:
描述对象的所用的最基本语言。
如:
自然语言(汉语)。
对象语言:
描述“对象所用元语言”的语言。
如:
形式语言(符号语言)。
自然语言中语言上的相似并不保证逻辑形式上的相同。
例1:
X认识Y。
(前提)
Y是足球队长。
(前提)
X认识足球队长。
(结论)
例2:
X认识A班某学生。
(前提)
A班某学生是足球队长。
(前提)
X认识足球队长。
(结论)
近代数理逻辑思想:
Leibniz力图建立一种精确的、普适的科学语言作为形式语言。
直到1879年,Frege才建立了这样的语言。
近代数理逻辑介绍的就是这种形式语言。
所以,数理逻辑史从1879年算起。
在数理逻辑中要构造一种符号语言来代替自然语言,这种人工构造的符号语言称为形式语言。
对象的描述和对象间的推理关系全部用形式语言表示。
数理逻辑研究的主要内容:
(1)引入一个形式语言,以表示非结构化对象。
并且要求表示公式的语言是递归生成的。
(2)引入一套形式化推理规则,基于这些规则进行符号化演算。
引入形式证明的一般形式。
(
)
(3)引入一套解释系统---语义(映射)函数,赋予形式符号在给定环境下的具体含义。
(4)基于语义模型,引入逻辑推理概念。
(
)
(5)研究形式推理与逻辑推理之间的关系。
(可靠性和完备性)。
形式推理系统的可靠性:
。
形式推理系统的完备性:
。
一般,逻辑中的语言和推理是某类智能推理的抽象,语言解决表示问题(即,数据结构问题)。
从某种意义上讲,应该是先有具体实例,想找一种一般描述,这就产生了形式语言和形式推理。
实例数据对形式符号给出一种解释(或赋值)。
两者之间的映射关系形成一个解释系统。
实例数据与形式符号有解释(或赋值)和被解释(或赋值)之分。
如:
a:
=0.可以理解为:
将数字0赋给符号a.
也可理解为:
a被解释为0.
其中,a是抽象的,而0是具体的。
为什么会有各种逻辑?
由逻辑研究内容,我们可以观察下表:
语法
语义
形式语言
(表达方式和能力)
解释系统
语义(映谢)函数
形式推理:
逻辑推理:
可靠性:
完备性:
在表中,形式语言、解释系统、推理规则是可变的。
(1)当形式语言的表达能力不够用时,新的语言就会出现。
(2)不同规则系统的引入,直接关系到形式推理的能力说、有效性、以及单调性等。
(3)不同的解释系统,给出不同的语义模型。
思考题:
1、逻辑研究的主要内容。
2、为什么会有各种逻辑?
第一章预备知识
集合:
某些对象全体。
集合表述方式:
内涵:
元素具有的性质P。
外延:
所含元素的全体。
自然数集合N上的二元关系<(作为集合):
(内涵)m 存在不为0的自然数x,使得m+x=n。 (外延){(0,1),(0,2),……} 二元关系的性质: 自反,对称,等价,……。 集合等势: 可数无限集: 与自然数集等势的集合。 可数集: 有限集或可数无限集。 定理: (1)可数集的子集仍然可数。 (2)有限个可数集的并仍为可数集。 (3)可数个可数集的并仍为可数集。 自然数集合N的归纳定义: (1) . (2)如果 ,则(后继) 。 (3)N只含通过 (1) (2)有限次使用得到的数。 等价定义: 自然数集合N是满足如下条件的最小集合S (1) 。 (2)如果 ,则(后继) 。 设R是一个性质, 表示x具有性质R。 定理1(数学归纳法)如果 (1) 。 (2)对于任意的 ,如果 则 。 则对于任意的 有 。 设h,g为两个N上的己知函数。 递归定义N上一个函数f如下: (1) . (2) . 定理2(递归原理)对于给定的函数g和h,能唯一定义N上一个函数f满足上述递归条件。 一般集合S的归纳定义: (1)指定一个集合M。 (基元,生成元) (2)指定k个函数 为生成函数.分别为 元函数。 归纳定义.集合S是满足如下条件的最小集合T: (1) 。 (2)对于每个 , 如果 ,则 。 设 为k+1个己知基函数: . 递归原理定义S上的一个函数f: 定理3(递归原理)对于给定的函数 ,能唯一定义S上一个函数f满足上述递归条件。 归纳系统: 。 递归系统: 。 例: 自然数(算术)系统
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